FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

DESVIO PADRÃO

É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por  S .

A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.

Exemplo: Calcular o desvio padrão da população representada por  - 4 , -3 , -2 , 3 , 5

Xi
- 4	- 0,2	- 3,8	14,44
- 3	- 0,2	- 2,8	7,84
- 2	- 0,2	- 1,8	3,24
3	- 0,2	3,2	10,24
5	- 0,2	5,2	27,04
		E =	62,8

Sabemos que n = 5  e   62,8 / 5 = 12,56.

A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54

Obs: Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população, convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n. A fórmula ficará então:

Se os dados - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 representassem uma amostra o desvio padrão amostral seria a raiz quadrada de 62,8 / (5 -1) = 3,96

O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

1ª = Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.

2ª = Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado ( ou dividido) por essa constante.

Quando os dados estão agrupados (temos a presença de frequências) a fórmula do desvio padrão ficará :

Exemplo:

Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo:

Xi	f i	Xi . f i				. f i
0	2	0	2,1	-2,1	4,41	8,82
1	6	6	2,1	-1,1	1,21	7,26
2	12	24	2,1	-0,1	0,01	0,12
3	7	21	2,1	0,9	0,81	5,67
4	3	12	2,1	1,9	3,61	10,83
Total	30	63			E =	32,70

Sabemos que E fi = 30  e   32,7 / 30 = 1,09.

A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044

Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padrão seria :     a raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062

Obs: Nas tabelas de frequências com intervalos de classe a fórmula a ser utilizada é a mesma do exemplo anterior.

VARIÂNCIA

É o desvio padrão elevado ao quadrado e é simbolizado por  S2

A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

1- Considere os seguintes conjuntos de números:

A = { 10, 20, 30, 40, 50 }            B = { 100, 200, 300, 400, 500 }

Que relação existe entre os desvios padrões dos dois conjuntos de números ?

2- Dados os conjuntos de números:

A = { 220, 230, 240, 250, 260 }            B = { 20, 30, 40, 50, 60 }

Que relação existe entre os desvios padrões dos dois conjuntos de números ?

3- Dados os conjuntos de números: A = { -2, -1, 0, 1, 2 }         B = { 220, 225, 230, 235, 240 }

Podemos afirmar, de acordo com as propriedades do desvio padrão, que o desvio padrão de B é igual:

a) ao desvio padrão de A;

b) ao desvio padrão de A, multiplicado pela constante 5;

c) ao desvio padrão de A, multiplicado pela constante 5, e esse resultado somado a 230;

d) ao desvio padrão de A mais a constante 230.