FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

TÉCNICAS DE CONTAGEM EM PROBABILIDADE

É o uso das fórmulas de análise combinatória para o cálculo do número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Arranjo com repetição: AR n,p

AR 9,3 = 9 x 9 x 9 = 729

AR 9,2 = 9 x 9 = 81

Exemplo: Se mil títulos entram em sorteio com os números de 000 a 999. Qual a probabilidade:

a - De sair números com a dezena 24 = A10,1 / 1000 = 10 / 1000 = 0,01 ou 1%

b - De sair números com a unidade 4 = A10,2 / 1000 = 100 / 1000 = 0,1 ou 10%

c - De sair números com a centena 323 = 1 / 1000 = 0,001 ou 0,1%

Revisão de Fatorial:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 20

3! x 4! / 5! = 3 x 2 x 1 x 4! / 5 x 4! = 3 x 2 x 1 / 5 = 1,2

Combinação: Cn,r = n! / (n - r)! . r!

C15,3 = 15! / (15-3)! . 3! = 15 x 14 x 13 x 12! / 12! x 3! = 15 x 14 x 13 / 3 x 2 x 1

Exemplos:

1- Qual a probabilidade de tirarmos 5 cartas de espadas sem reposição de um baralho de 52 cartas ?

Método tradicional: P(5 espadas) = 13/52 . 12/51 . 11/50 . 10/49 . 9/48 = 0,0005...

Técnica de contagem:

P(5 espadas) = C13,5 / C52,5 = (13.12.11.10.9 / 5.4.3.2.1) / (52.51.50.49.48 / 5.4.3.2.1) =

13.12.11.10.9 / 52.51.50.49.48 = 0,0005...

2- De 20 pessoas que se oferecem para doar sangue 15 possuem sangue tipo B. Qual a probabilidade de, escolhendo-se 3 pessoas desse grupo todas as 3 escolhidas tenham sangue tipo B ?

P (3 sangue B) = C15,3 / C20,3 = (15.14.13 / 3.2.1) / (20.19.18 / 3.2.1) = 15.14.13/20.19.18 = 0,399

3- Qual a probabilidade de retirarmos 2 ases em uma amostra de 5 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas ?

P (2 ases) = (C4,2 x C48,3) / C52,5

4- Qual a probabilidade de retirarmos 4 ases em uma amostra de 13 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas ?

P (4 ases) = (C4,4 x C48,9) / C52,13 = C48,9 / C52,13

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Seja B1, B2, B3...Bk um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral. Seja A outro evento no mesmo espaço amostral, tal que P(A) > 0 .

Então: P(A) = P( A n B1) + P( A n B2) + P( A n B3) + . . . + P( A n Bk)

  P(A) = P(B1) . P(A|B1) + P(B2) . P(A|B2) + . . . P(Bk) . P(A|Bk)

Então podemos escrever a fórmula da probabilidade total como : P(A) = E P(Bi) . P(A|Bi)

Exemplo: Segundo especialistas esportivos, a probabilidade de que o Flamengo vença o próximo jogo é estimada em 0,70 se não chover, e só de 0,50 se chover. Se os registros meteorológicos anunciam uma probabilidade de 0,40 de chover na data do jogo, qual será então a probabilidade desse time ganhar o próximo jogo ?

P(A) = E P(Bi) . P(A|Bi)

P(ganhar) = P(ganhar n chuva ) + P(ganhar n não chuva )

P(ganhar) = P(chuva) . P(ganhar | chuva) + P(não chuva) . P(ganhar | não chuva)

P(ganhar) = (0,40 . 0,50 ) + (0,60 . 0,70) = 0,20 + 0,42 = 0,62 ou 62%

TEOREMA DE BAYES

Sabemos que:

P(A) = E P(Bi) . P(A|Bi)

P(A n Bi) = P(A) . P(Bi|A)   logo    P(Bi|A) = P(A n Bi) / P(A)  então substituindo teremos :

P (Bi|A) = P (Bi) . P (A|Bi) / E P(Bi) . P(A|Bi)   que é a fórmula de Bayes

Exemplo:

Certo professor da FACEV 4/5 das vezes vai trabalhar usando um fusca e usando um carro importado nas demais vezes. Quando ele usa o fusca, 75 % das vezes ele chega em casa antes das 23 horas e quando usa o carro importado só chega em casa antes das 23 horas em 60% das vezes. Ontem o professor chegou em casa após às 23 horas. Qual a probabilidade de que ele, no dia de ontem, tenha usado o fusca ?

Exercício:

Certo aluno da FACEV 3/4 das vezes vai estudar usando um fusca e usando um carro importado nas demais vezes. Quando ele usa o fusca, 35 % das vezes ele chega em casa depois das 23 horas e quando usa o carro importado só chega em casa antes das 23 horas em 0,55 das vezes. Ontem o aluno chegou em casa antes das 23 horas. Qual a probabilidade em percentual de que ele, no dia de ontem, tenha usado o fusca ?

Resposta: 78 %