FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

* A U L A NET - 23 *

 

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Apresentaremos neste capítulo três modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá a solução de grande número de problemas práticos.

Variável Aleatória

Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória.

Muitas vezes não estamos interessados propriamente no resultado de um experimento aleatório, mas em alguma característica numérica a ele associada. Essa característica será chamada variável aleatória.

Assim, se o espaço amostral relativo ao "lançamento simultâneo de duas moedas" é S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} e se X representa o "número de caras" que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela abaixo ( X é a variável aleatória associada ao número de caras observado):

 

 Ponto Amostral    X  
(ca,ca) 2
(ca,co) 1
(co,ca) 1
(co,co) 0

 

Logo podemos escrever:

Número de caras (X) Probabilidade (X)
2 1/4
1 2/4
0 1/4
Total 4/4 = 1

 

Exemplo prático de uma distribuição de probabilidade:

Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de acidentes diários na Rodovia do SOL durante o mês de nov/97:

 Número de Acidentes  Frequência 
0 22
1 5
2 2
3 1

 

Podemos então escrever a tabela de distribuição de probabilidade:

Número de Acidentes (X) Probabilidade (X)
0 0,73
1 0,17
2 0,07
3 0,03
Total 1,00

 

Construimos acima uma tabela ondem aparecem os valores de uma variável aleatória X e as probabilidades de X ocorrer que é a tabela de distribuição de probabilidades.

Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi)

Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P (probabilidade). Esta correspondência define uma função onde os valores xi formam o domínio da função e os valores pi o seu conjunto imagem. Assim, ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por "pontos de um dado", pode tomar os valores 1,2,3,4,5 e 6. Então resulta a seguinte distribuição de probabilidade:

  X    P (X) 
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
 T o t a l 6/6 = 1

  

Distribuição Binomial

Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é condiderado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q = 1 - p) do insucesso manter-se-ão constantes. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial.

P(x) =

P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.

p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.

q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.

OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.

Parâmetros da Distribuição Binomial

Média = n . p                Desvio padrão = é a raiz quadrada do produto de n . p . q               Variância = n . p . q

 

Exemplos:

1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.

n = 5    x = 3    p = 1/2    q = 1 - (1/2) = 1/2      P(x=3) = 5/16

2- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.

   

3- Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.

    

4- Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes.

  

5- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A :

a- ganhar dois ou três jogos;

  

b- ganhar pelo menos um jogo;

  

6- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros ?

  

7- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles ?