FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal.

Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam.

Propriedades da distribuição normal :

1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.

2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.

3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.

5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.

Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm ?

P ( 2 < X < 2,05) = ?

Com o auxílio de uma distribuiçào normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média = 0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável  z , onde z = (X - ) / S

Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z)

Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média  e desvio padrão S, podemos escrever: P(  < X < x ) = P (0 < Z < z)

No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). para obter ees probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que correponde a x = 2,05

z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25

Utilização da Tabela  Z

Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25

Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira liha, o valor 5, que corresponde ao último alagarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever:

P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.

1- Determine as probabilidades:

a) P(-1,25 < Z < 0) =

b) P(-0,5 < Z < 1,48) =

c) P(0,8 < Z < 1,23) =

d) P(-1,25 < Z < -1,20) =

e) P( Z < 0,92) =

f) P(Z > 0,6) =

2- Os salários dos báncarios são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00.

Devemos inicialmente calcular os valores z1 e z2,

z1 = (9800 - 10000) / 800 = -0,25        e        z2 = (10400 - 10000) / 800 = 0,5

P( 9800 < X < 10400) = P(-0,25 < Z < 0,5) =

P(-0,25 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 +0,1915 = 0,2902 ou 29,02 %

3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 e desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota :

a) maior que 120

b)maior que 80

c)entre 85 e 115

d)maior que 100