FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

A U L A NET - 25 

 

Valor Esperado (Esperança Matemática)

 

 

Valor esperado de uma variável aleatória ou de função de variável aleatória corresponde à média ponderada dos valores que esta variável aleatória ou esta função assume, usando-se como pesos para ponderação, as probabilidades correspondentes a cada valor.

 

Para o caso de uma variável aleatória discreta “x”, podemos escrever:

 

E (x) = ∑ ( xi . pi ) / ∑ pi

 

Como  ∑ pi = 1

 

E (x) = ∑ ( xi . pi )

 

 

Exemplo 1:

 

Calcular o número esperado em ponto, quando se lança um dado perfeito.

 

X = xi

p(xi)

xi . p (xi)

1

1/6

1/6

2

1/6

2/6

3

1/6

3/6

4

1/6

4/6

5

1/6

5/6

6

1/6

6/6

 

∑ =

21/6 = 3,5 pontos

 

 

Exemplo 2:

 

Uma instituição vende bilhetes de rifas por R$ 5,00 cada um. Há 10 prêmios no valor de R$ 25,00 e um prêmio maior no valor de R$ 100,00. Se forem vendidos 200 bilhetes e você comprar um deles qual a sua expectativa em relação ao sorteio?

 

X = xi

p(xi)

xi . p (xi)

0

189/200

0

25

10/200

250/200

100

1/200

100/200

 

∑ =

1,75

 

 R$ 1,75 corresponde ao ganho do premiado e R$ 5,00 – 1,75 = R$ 3,25 é o ganho da instituição.

 

 

Exemplo 3:

 

Numa empresa, as previsões de despesa para o próximo ano foram calculadas como; R$ 9, 10, 11 , 12 e 13 bilhões. Supondo que as despesas do ano corrente sejam desconhecidas, as seguintes probabilidades foram atribuídas respectivamente: 30%, 20%, 25%, 5% e 20%.

 

      Qual é a distribuição de probabilidade para o próximo ano ?

 

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

 

 

 

ANO

DESPESA* (X)

P (X)

1

9

0,30

2

10

0,20

3

11

0,25

4

12

0,05

5

13

0,20

 

total =

1,00

* em R$ bilhões

 

 

 

 

Qual é o valor esperado das despesas para o próximo ano ?

 

VALOR ESPERADO DAS DESPESAS

 

 

 

 

 

ANO

DESPESA*  X

P (X)

X . P (X)

1

9

0,30

2,70

2

10

0,20

2,00

3

11

0,25

2,75

4

12

0,05

0,60

5

13

0,20

2,60

 

 

VALOR ESPERADO  E(X) =

10,65

* em R$ bilhões

 

 

 

 

Qual é a variância das despesas para o próximo ano ?

 

 V(X)  = ∑ [ ( x - E(X) )2 . P(x) ]

 

VARIÂNCIA DAS DESPESAS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANO

DESPESA* ( x)

P (x)

x . P (x)

E(X)

x - E(X)

( x - E(X) )2

( x - E(X) )2 . P(x)

1

9

0,30

2,70

10,65

-1,65

2,72

0,82

2

10

0,20

2,00

10,65

-0,65

0,42

0,08

3

11

0,25

2,75

10,65

0,35

0,12

0,03

4

12

0,05

0,60

10,65

1,35

1,82

0,09

5

13

0,20

2,60

10,65

2,35

5,52

1,10

 

 

 

              VARIÂNCIA DAS DESPESAS  V(X) =

2,1275

* em R$ bilhões

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Caso as projeções ao longo do ano tenham sido estimadas em R$ 12 bilhões, comente a posição financeira da empresa.

 

 

 

Exemplo 4:

 

Um jogo consiste no lançamento de 3 moedas ( a moeda não é viciada). Se der tudo cara ou tudo coroa, o ganho é de R$ 5,00; mas, dando uma ou duas caras, a perda é de R$ 3,00. O resultado esperado para o jogo, em reais, será:

 

Espaço amostral do lançamento de 3 moedas:

 

CA  CA  CA

CA  CA  CO

CA  CO  CA

CA  CO  CO

 

CO  CA  CA

CO  CA  CO

CO  CO  CA

CO  CO  CO

 

 

X = xi

p(xi)

xi . p (xi)

Tudo cara ou tudo coroa = R$ 5,00

2/8

1,25

Uma cara ou duas coroas = - R$ 3,00

6/8

-2,25

 

∑ =

-1,00

 

Resposta:  - 1,00 real