Вопросы к экзамену по Дифференциальной Геометрии.
2006 год. Группы 23, 23А, 24, специальность: прикладная математика.
После каждого вопроса приведен комментарий, в котором перечислено все, что требуется ответить по данному вопросу.
Часть 1. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
1. Кривые. Регулярные и особые точки параметрической кривой. Интеграл длины и выбор натурального параметра на кривой.
Векторно-параметрический и координатно параметрический способы задания кривой на плоскости и в пространстве, кратко о других способах задания кривой. Смена параметризации. Касательный вектор и его зависимость от выбора параметризации на кривой. Интеграл длины. Натуральная параметризация. Касательный вектор в натуральной параметризации.
2. Репер Френе. Динамика репера Френе. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Лемма о производной единичного вектора. Построение репера Френе и вывод дифференциальных уравнений для его динамики в натуральной параметризации. Кривизне и кручение.
3. Центр кривизны и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой.
Определение центра кривизны кривой, исходя из примера окружности. Определение эволюты и вывод ее параметрического уравнения. Определение эвольвенты. Вывод параметрического уравнения эвольвенты в случае плоских кривых.
4. Кривые как траектории материальных точек в механике.
Кривая, как траектория материальной точки. Вектор скорости и вектор ускорения. Разложение вектора ускорения на тангенциальную и центростремительную компоненты.
Часть 2. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
5. Общее определение тензора и тензорного поля. Примеры тензоров. Матрица Грама и метрический тензор. Дуальный метрический тензор. Процедуры поднятия и опускания индексов.
Определение тензора как многокомпонентного массива чисел, определенным образом зависящего от выбранного базиса. Векторы и ковекторы, как примеры тензоров. Определение тензорного поля. Тензорный характер матрицы Грама, ее невырожденность и тензорный характер матрицы, обратной к матрице Грама. Использование прямой и обратной матриц Грама в поднятии и опускании индексов.
6. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений в косоугольных координатах. Тензор объема и структурные константы векторного произведения.
Вывод формул для скалярного, векторного и смешанного произведений в декартовой косоугольной системе координат. Построение тензора объема и структурных констант векторного произведения. Доказательство тензорного характера массива из структурных констант векторного произведения.
7. Связь тензора объема и структурных констант векторного произведения с метрическим тензором.
Вывод формул, выражающих тензор объема и структурные константы векторного произведения через компоненты метрического тензора.
8. Дифференцирование тензорных полей в декартовых координатах. Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа.
Определение операции дифференцирования тензорных полей. Вывод ее ковариантного характера. Различие векторного и ковекторного градиентов. Вывод формул для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в произвольной декартовой косоугольной системе координат, исходя из известных формул для них в прямоугольных координатах.
9. Криволинейные координаты. Координатные линии, координатная сеть и подвижный репер криволинейной системы координат. Динамика подвижного репера, деривационные формулы и символы Кристоффеля.
Определение криволинейной системы координат, координатных линий и координатной сетки. Построение подвижного репера криволинейной системы координат с использованием вспомогательной декартовой системы координат. Запись деривационных формул и определение символов Кристоффеля. Вывод формул для символов Кристоффеля через матрицу перехода во вспомогательную декартову систему координат.
10. Замена криволинейных координат. Функции перехода и матрицы перехода. Преобразование символов Кристоффеля при замене криволинейной системы координат.
Вывод формул, связывающих вектора подвижных реперов и символы Кристоффеля для двух криволинейных систем координат. Определение матриц перехода и выявление нетензорной природы символов Кристоффеля.
11. Ковариантное дифференцирование тензорных полей в криволинейных координатах.
Вывод формулы для оператора С в криволинейной системе координат с использованием вспомогательной декартовой системы координат.
12. Согласованность метрики и связности. Формула для символов Кристоффеля через компоненты матрицы Грама.
Запись условия согласованности метрики и связности и его обоснование. Вывод формулы для символов Кристоффеля через компоненты матрицы Грама.
Часть 3. ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
13. Параметрическое задание поверхности. Криволинейная система координат на поверхности, координатные линии и координатная сеть. Подвижный репер из касательных векторов. Вектор нормали. Деривационные формулы Вайнгартена.
Определение криволинейной системы координат на поверхности, построение координатных линий, координатной сетки и подвижного репера из касательных векторов. Построение вектора нормали, дополняющего собой вектора подвижного репера. Запись деривационных формул Вайнгартена для векторов подвижного репера.
14. Замена криволинейных координат на поверхности. Функции перехода и матрицы перехода. Внутренние и внешние тензорные поля. Первая квадратичная форма.
Связь векторов касательных реперов для двух криволинейных систем координат на порверхности. Матрицы перехода и внутренние тензорные поля на поверхности. Метрический тензор поверхности (первая квадратичная форма). Связь внутренних и внешних тензорных полей.
15. Сравнение деривационных формул Вайнгартена для двух криволинейных систем координат на поверхности. Тензорный характер матрицы второй квадратичной формы и нетензорный характер символов Кристоффеля.
Вывод формул связывающих символы Кристоффеля и компоненты матриц второй квадратичной формы для двух криволинейных систем координат на поверхности. Качественный анализ полученных формул.