Вопросы к экзамену по Тензорному анализу, 2006 год.
После каждого вопроса мелким шрифтом приведен комментарий, в котором перечислено все, что требуется ответить по данному вопросу.
Часть 1. Алгебраическая теория тензоров.
1. Определение тензора. Различные объекты из аналитической геометрии и линейной алгебры как примеры тензоров.
Определение тензора как числового массива связанного с базисом и преобразующегося по определенному правилу при замене базиса. Координаты вектора как пример тензора валентности (1,0). Координаты ковектора как пример тензора валентности (0,1). Матрица линейного оператора как пример тензора валентности (1,1). Матрица билинейной формы как пример тензора валентности (0,2).
2. Алгебраические операции с тензорами. Примеры тензорных операций, присутствующие в различных формулах из аналитической геометрии и линейной алгебры.
Сложение тензоров, умножение тензоров на числа, тензорное произведение и свертка. Матричное умножение и его тензорная интерпретация. Формула для вычисления значения линейного функционала в координатах и ее тензорная интерпретация. Формула для значения билинейной формы на паре векторов в координатах и ее тензорная интерпретация. Формула для результата действия линейного оператора на вектор в координатах и ее тензорная интерпретация.
3. Вычисление скалярного произведения в косоугольном базисе. Матрица Грама и метрический тензор. Дуальный метрический тензор. Поднятие и опускание индексов в тензорах.
Комментарий не нужен. Все требования сформулированы в самом вопросе.
4. Вычисление смешанного произведения в косоугольном базисе. Символ Леви-Чивита и тензор объема. Дуальный тензор объема.
Комментарий не нужен. Все требования сформулированы в самом вопросе.
5. Вычисление векторного произведения в косоугольном базисе. Структурные константы векторного произведения и их тензорная интерпретация. Формула для структурных констант векторного произведения через символ Леви-Чивита и метрический тензор.
Комментарий не нужен. Все требования сформулированы в самом вопросе.
Часть 2. Дифференциальная теория тензоров.
6. Векторные и тензорные поля в декартовых координатах. Дифференцирование тензорных полей. Оператор ∇.
Определение тензорного поля. Векторное поле как пример тензорного поля. Отличие тезорных полей от одиночных тензоров. Определение операции дифференцирования. Тензорный характер операции дифференцирования и ее ковариантность. Применение оператора ∇ к метрическому тензору и тензору объема.
7. Градиент, дивергенция и ротор. Тензорная интерпретация этих операций. Формулы для градиента, дивергенции и ротора в косоугольных координатах.
Выписать формулы для градиента, дивергенции и ротора в декартовой прямоугольной системе координат (ОНБ). Дать тензорную интерпретацию этих формул и на основе этой тензорной интерпретации переписать все три формулы на случай косоугольных координат. Подчеркнуть различие ковариантного и контравариантного градиента, а также ковариантного и контравариантного ротора.
Часть 3. Криволинейные координаты в теории тензоров.
8. Определение криволинейных координат. Подвижный репер и матрицы перехода. Тензорные поля в криволинейных координатах.
Дать определение криволинейных координат. Привести в качестве примера полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат. Определить прямые и обратные функции перехода, связывающие криволинейные и декартовы системы координат, а также различные криволинейные системы друг с другом. Определить вектор-функцию криволинейной системы координат и определить ее подвижный репер. Определить матрицы перехода и записать формулу для их компонент через производные функций перехода. Указать возможность и способ использования криволинейных координат для задания тензорных полей.
9. Дифференцирование тензорных полей в криволинейных координатах. Деривационная формула и символы Кристоффеля.
На примере векторного поля показать, чем отличается применение оператора ∇ в декартовых и криволинейных координатах. Выписать деривационную формулу и определить символы Кристоффеля. Записать общую формулу для оператора ∇ в криволинейных координатах в применении к тензорному полю произвольной валентности.
10. Согласованность метрики и связности. Формула Леви-Чивита для символов Кристоффеля.
Вывести формулу Леви-Чивита для символов Кристоффеля исходя из условия согласованности метрики и связности. Объяснить происхождение этого условия.
11. Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в криволинейных координатах.
Выписать формулы для градиента, дивергенции и ротора в косоугольных декартовых координатах и объяснить, что изменяется в этих формулах при переходе к криволинейным координатам. Вывести формулу для оператора Лапласа в криволинейных координатах.