21. Yüzyıl Başlangıcında Matematikteki Duvarlar ve/ya Kritik Eşikler

Giriş

Söylem yıkar, söylem kurar, yeniden söylem bozarız, taa ki tam bilgiye ulaşana dek (ki oraya daha çok yol var). Onu duyumsarız, sezeriz, kapalı gözümüzle görürüz. Bu metin onun bir göstergesidir.

Matematiğin Altalanları

Matematik tam bir meta-kategori değildir, gelecekte birçok altalan daha ona eklemlenecektir. Örneğin mantık, matematiğin bir altalına olmaya, 20. Yüzyıl’ın başında yükseltgendi. Daha önce mantık teolojinin bir altalanıydı ve bugün hala ilahiyat fakültelerindeki müfredatta öyledir.

“Matematik = Aritmetik + Cebir + Analiz + Geometri + Mantık.”

... denebilir. Denmeyebilir de. Şimdilik öyle diyelim.

Altalanlar, kendi içlerinde ve birbirlerinin aralarında birçok boş ve tanımsız alan da barındırır. Örneğin, Lobaçevski ve/ya Riemann Geometrisi’li istatistik (ki aritmetiğin bir alt-alt-alanıdır) henüz yoktur ki orada bütün olasılıkların toplamı bire eşit değildir.

Topoloji, bunlardan biri olabilir, 20.ve 21. Yüzyıl’ın matematik novumudur ama gelecekte daha üst bir kategoriye tamamlanması ve yükseltgenmesi umulmaktadır. Meta-topoloji kesinlikle meta-matematiğe ve tam matematiğe katkı olacaktır.

İzdüşüm geomterisi, ‘n-1’ ve ‘1-n’ boyut dönüşümü geometrilerinin yalnızca 3-2 versiyonudur, yani hacimlerin alanlardaki görünümlerini tasarlar (ki diğer bir adı da zaten ‘tasarım geometri’dir).

Bazı marksist matematikçiler, dönüşüm geometrisini, sürekli devrim veri tabanında, asıl gerçek matematik sayarlar ama bunu tama yükseltgemeyi beceremediler henüz ama yalnızca imlediler. Bu olası çıkış yollarından birisidir.

Aritmetik

Öğeler ve işlemler: Aritmetik temelde sayılar ve 4 işlem ile başlar. (Bu anlayış, fizikte kendini ‘parçacıklar ve kuvvetler’ olarak gösterir ve kesinlikle düalisttir.) Ancak ondan sonra gidişat griftleşir.

Kök ve logaritma alma ikileşme yaratır. Burada aynı işlemin iyi yorumu sözkonusudur. Kök olsun, logaritma tabanı olsun, sayıların ‘zarpmanın çarpması’ olarak tanımlanabilecek üs alma ile ilintilidir.

Sanal ve karmaşık sayı yaratma ikileşme yaratır. (Bu aynı zamanda bir işlemin tanım alanının dışında, kök almanın eksi sayılarda uygulanmasıdır.)

Oysa matematik neredeyse, tümüyle birebirliğe dayalıdır. Tıpkı Aristo Mantığı’nın birinci dereceden bazı’laşmasının n’inci derecede hiç geçerli olmayan gevşek örüntüler yaratması gibi kök alma ve logaritma da analizde, türevde ve tümlevde ikilemsel sonuçlar verir.

Cebir

Herhalde, matematik dalları içinde, kolay kolay eksiltgeyemeyeceğimiz dallardan biri bu.

Çöl Bedevi’lerinin, parmak hesabından, bugün hala kullanılabilen denklemlere bir çırpıda sıçraması çok ironik bir örnek. Şerh: Tabii, 500’de Hintliler tarafından 0 icat edilmeseydi, Araplar o denklemleri hiç kuramazdı, ayrı bir ironi.

Cebir, birden ikiye geçiş ve/ya ilk soyutlama düzeyidir. O nedenle cebir olmasaydı, matematik hala parmak hesabında kalabilrddi ki öyle toplum çok.

Analiz

Einstein dahil, dünyanın en dahi matematikçileri ve fizikçileri bir eşitlikle veya bir integralle, evrenin tümüyle açıklanabileceğini sanıyor. Platon düzgün çokyüzlülerle, Newton 1-2 denklemle aynı hayale düşüp yanılmıştı.

Burada yeni tam ve küsurat matematik kategorilerine gereksinimimizi bir kez daha önemle vurguluyoruz.

En güzel örnek küsurlu türev ve tümlev. Bu işlemler klasik matematik kitaplarında yer almaz. Oysa yüzyıllardır matematik dahileri bunların ayırdında. Bugün bile hala bunların sistematik matematiği kurulamadı. Bu, kxskolastik anlayışın, Aristo Mantığı’nda ve Euclid Geometrisi’nde olduğu üzere yüzyıllar boyu sürebilen duvarlar yaratmasının bir diğer örneğidir. Çok basit ve açıkseçik: Katlı boyutları açmanın ve/ya ışıktan hızlı yol almanın yolu yeni matematik alanları kurmaktan geçiyor.

Bilimsel devrimlerin ve/ya evrimlerin tarihindeki paradigma anlayışı burada da geçerli. Yeni bir matematik paradigma gerekli ve bilim engizisyonu onu yapmayı, daha önce de aramayı yasaklıyor.

Geometri

Herşey hala Euclid Geometrisi’nin varsayımlarına dayalı. Euclid-dışı geometriler bile onun 5. postulasına göndermeyle işler.

Oysa, Euclid Geometrisi’ni süreklilik, birebirlik, tek boyutluluk gibi yeni tanımlarla işlersek, bambaşka geometrilere varıyoruz / varacağız.

Örneğin, doğrusal olmayan zamanların geometrisi bu tür novum kategorilerle kurulabilir. Eldeki matematik denklemler zamanın ne olduğunu bize açıklamıyor.

Mantık

Euclid Geometrisi onun üzerine ve ondan sonra kurulsa da, alternatifleri üretildikten çok sonra bile, Aristo-dışı mantıkların sistematiklerine / tümellerine sahip değiliz hala. Onun gibi / kadar işleyebilen onlarca dizge gerekli ki tıpkı uzayzamanlar için farklı geometriler kurmamız gibi, farklı mantıklar da kullanabilelim..

Çokdisiplinlilik / Disiplinlerarasılık / Çokdillilik

Buraya kadar uzmanlık veya monodisiplin sözkonusuydu. Ancak 20. Yüzyıl’ın ikinci yarısında başlayan 2. Sanayileşme artık çokdisiplinlilik ve disiplinlerarasılık istiyor. Matematikte de uzmancı anlayış egemen. Beyin fırtınası ile olur, altalanlar dilleri-arası bir arayüz jargon / terminoloji olur, yeni bir şeylere gereksinimimiz var.

Fermat’nın Son Kuramı’nın kanıtlanması gösterdi ki aslında tek bir dilsel / matematiksel alanda yer alması gereken bir konu, yaklaşık onlarca altmatematik dilinin jargonunda boğulup gitmiş.

Poincare Varsayımı’nın kanıtlanması ve/ya yanlış ve/ya eksik kanıtlanması gösterdi ki temel bazı varsayımlar geçersiz ve matematikçiler hala bunu görmemekte ve kafalarına kuma gömmekte ısrarlılar.

Burada temel varsayımları varsaymayan ve sorulmadık biçimde sorular sorabilen aykırı zihinlere gereksinim ortada. Zaten onlar olmasaydı, sanal sayılar da olamazdı. Çok basit: Koch Adası, Möbiüs Şeridi, Klein Şişesi taa Antik Yunan’da tasarlanabilirdi. Burada, kişiler kadar kültürlerin de, belli matematik altalanlarında yoğunlaştığı gözlemimizi kayıt olarak düşelim. Hindistan sıfırı icat etti ve büyük üslü sayılar tasarladı ama onları hiçbir işte kullanmadı ve tam tersine matematiği bir din durumuna getirdi.

Eksik Dillilik ve/ya Matematik Dilinin Tama Yükseltgenmesi Süreci

Gödel gösterdi ki matematik dili eksik bir dildir, kapalı bir dildir, kendi dışına çıkamaz, kendini sorgulayamaz, kendine bile yetmez; değil ki evrene yetsin. Oysa matematik, bir ötedil olma savındadır. Ötediller kendi eksikliklerini tamamladığı gibi, diğer dillerin eksikliklerini de tamamlarlar. Evren’inkini de...

Bu durumda biz matematik dilinin tamlığı yönünde eylem oyu kullanacağız ve bunu göstereceğiz.

Öncelikle, bu gidişle bu süreç 250 yıl rahat alır. Hatta, sonuca ulaşma 2. Sanayileşme bitiminin ötesine bile geçebilir. Genel eğilim yoğun bir atalet gösteriyor çünkü. Çin’den başka hiçbir kültür yeni matematik söylemler için aday adayı bile değil.

Bu durumda tam bilim, tam matematik olmadan olamayacağına ve henüz elimizde tam bilim olmadığı için, hem matematiği, hem de bilimi tama yükseltgeme tahayyülü içindeyiz demektir.

Bu süreç, daha önce söylenenlerle çelişkili görünse de, şimdilik hala eksik bir süreç olacaktır. Amaçlanan, gösterilenlerin gösterilmeyenleri ve eksik kalanları imgeletebilmesidir, tıpkı eksik bir haritanın tama hayal edilebilmesi gibi ya da 60 atomun 92 atoma, yani Periyodik Tablo’ya tamamlanmasının ve düzenlenmesinin hayal edilebilmesi gibi.

Çıkış

Henüz, tam kategorik bir tahayyül çıkışımız yok. Onun yerine, duvar ve kritik eşik imlemelerimiz var. Bunun sıçrayarak mı, yıkılarak mı aşılacağını tarih gösterecek. Nokta.

Belki de yolu biz gösteririz.

(24-25 Ağustos 2007)