Multiplicación (3/3)

Uno de los problemas con la multiplicación de dos cuaternios, es que no es conmutativa. En el álgebra vectorial, tenemos dos tipos de productos: el punto, y el cruz. El primero de ellos, es conmutativo, pero el segundo no. Sin embargo, a pesar de que el producto cruz no es conmutativo, cumple siempre con que A x B = - B x A, por lo que si invertimos el órden de la multiplicación, estamos alterando únicamente el signo.

Desafortunadamente, en el caso de los cuaternios no es tan simple; consideremos el siguiente ejemplo:

A primera vista, no hay mucha relación entre los dos resultados. A diferencia del caso de los vectores, cambió algo más aparte del signo. Sin embargo, siendo observadores, dos cosas deben de llamarnos la atención.

1° Ambos números tienen el mismo valor absoluto:

2° La parte real es igual.

Cabe preguntarnos si esas dos condiciones se cumplen siempre, y en el caso de la primera la respuesta es sencilla. Ya habíamos mencionado que es una propiedad de los cuaternios que |AB| = |A||B|, y como |A| y |B| son estrictamente números reales, entonces tenemos: |AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|. Por lo tanto, la primer condición siempre se va a complir.

La segunda se debe a que al desarrollar algebraicamente el producto de AB y el de BA, las únicas diferencias de signo van a ocurrir en los productos de dos unidades imaginarias. Debido a que estos productos SIEMPRE arrojan resultados imaginarios, la parte real no puede alterarse.

Pero aquí aparece algo muy interesante. Si pensamos muy bien lo último que razonamos, entonces al evaluar la multiplicación de dos cuaternios término por término, cada uno implica un producto que o es conmutativo o cambia de signo al evaluarlo al revés.

Entonces, podemos dividir el resultado de un producto de Grassman en dos partes: una conmutativa tal que no cambie al invertir el orden de los multiplicandos, y otra que simplemente cambie de signo. Es decir, buscamos dos cuaternios C y D, tales que:

Despejando algebraicamente, tenemos que:

Pero seamos más generales. Dado que el producto grassmaniano de cualquier par de cuaternios siempre tiene esos dos elementos (el simétrico y el antisimétrico), definiremos dos conceptos nuevos.

Producto interno de Grassman:
Es la parte conmutativa del producto de Grassman, se simbolizará como {AB}, y cumple con la propiedad de que {AB}={BA}. Está dado por:

Producto externo de Grassman:
Es la parte no conmutativa del producto de Grassman, que cumple con la propiedad de ser antisimétrico, y se simboliza como [[AB]], de aquí que se cumpla que [[AB]] = -[[BA]]. Está dado por:

A partir de las definiciones, podemos expresar ambos productos en forma extendida:

{(w, x, y, z)(w', x', y', z')} = (ww' - xx' - yy' - zz' , wx' + xw' , wy' + yw' , wz' + zw')

[(w, x, y, z)(w', x', y', z')] = (0 , yz' - zy' , zx' - xz' , xy' - yx')

O su equivalente en forma vectorial.

Productos interno y externo euclídeos

Bueno, y si resultó con el producto de Grassman, ¿porqué no intentarlo con el producto de Euclides? Dado que la única diferencia es una conjugación, este producto también debe tener una parte simétrica y una antisimétrica.

Para no ser repetitivos, pues la manera de obtener las fórmulas es la misma que para el producto grassmaniano, con excepción de los signos que cambian, llamemos {A:B} como producto interno de Euclides, y a [[A:B]] como producto externo de Euclides, con lo que obtenemos:

{(w, x, y, z):(w', x', y', z')} = (ww' + xx' + yy' + zz' , 0 , 0 , 0)

[[(w, x, y, z):(w', x', y', z')]] = (0 , wx' - xw' - yz' + zy' , wy' - yw' - zx' + xz' , wz' - zw' - xy' + yx')

Y las formas vectoriales:

Por último es bueno recordar que cada producto es igual a la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica:

Casos especiales para vectores en 3-D

Si en las fórmulas anteriores, hacemos que las partes reales de los dos multiplicandos sean iguales a 0, nos quedamos con números imaginarios puros, o lo que es lo mismo, con vectores tridimensionales.

Concluímos que el producto punto equivale al producto interno de Euclides, y el producto cruz al externo de Grassman. Por lo tanto, ahora podemos extender el significado de los productos vectoriales a los cuaternios.

Copyright © 1999-2001 Ricardo Arturo Espinoza Reyes