CONTENIDO Prefacio 1. Mecánica 2. Propiedades de los Fluidos 3. Gases 4. Fenómenos Térmicos 5. Sonido y Luz 6. Varias 7. Apéndice

45. Dos cilindros. Dos cilindros tienen masa y aspecto exterior iguales. Uno es de aluminio de una sola pieza, en tanto que el otro es de corcho y con envoltura de plomo. Por fuera ambos están cubiertos de papel que no se debe quitar. ¿De qué modo se podría determinar, qué cilindro es sólo de aluminio y cuál es compuesto? El método que se ha de utilizar para resolver este problema lo sugiere el análisis del precedente. Es notorio que lo más fácil es distinguir los cilindros a base de sus respectivos momentos de inercia: el del cilindro de aluminio difiere del de su gemelo compuesto, en el cual el grueso de la masa se encuentra en la parte periférica. Por consiguiente, serán diferentes sus velocidades de traslación al descender por una superficie inclinada. Según afirma la mecánica, el momento de inercia J del cilindro homogéneo respecto a su eje longitudinal es Para el otro cilindro, no homogéneo, el cálculo es más complejo. En primer lugar, vamos a determinar el radio y la masa de su núcleo de corcho. Designemos el radio incógnito por x (el de todo el cilindro sigue denotado por R) y la altura de los cilindros por h, teniendo en cuenta que la densidad (g/cm3) de los materiales es diferente: la del corcho es de 0,2, la del plomo, 11,3 y la del aluminio, 2,7, respectivamente; de modo que obtendremos la siguiente igualdad: Ésta significa que la suma de las masas de la parte de corcho y su envoltura de plomo equivale a la masa del cilindro de aluminio. Después de simplificar, la ecuación tendrá la forma siguiente: 11,1x2 = 8,6 R2 de donde x2 = 0.77R2 A continuación nos hará falta precisamente el valor de x2, por eso no extraemos la raíz. La masa del núcleo de corcho del sólido compuesto es Su envoltura de plomo tiene una masa igual a Con respecto a la masa de todo el cilindro, esta magnitud constituye el 6 % de la parte de corcho y el 94 % de la de plomo. Ahora calculemos el momento de inercia J1 del cilindro compuesto; éste equivale a la suma de momentos de cada una de sus partes, o sea, del cilindro de corcho y de la capa de plomo. El momento de inercia del cilindro de corcho, de radio x y masa 0,06m (donde m es la masa del cilindro de aluminio), es igual a El momento de inercia de la envoltura cilíndrica de plomo de radios x y R y masa 0,94m es Por consiguiente, el momento de inercia Jl del sólido compuesto será igual a La velocidad de movimiento progresivo de los cilindros que ruedan por una superficie, se determina del mismo modo que en el problema anterior, de dos bolas. Para la bola homogénea tenemos la ecuación siguiente: o bien la ecuación de donde Para el cilindro heterogéneo tenemos: o bien Si comparamos las dos velocidades advertiremos que la de movimiento progresivo del cilindro compuesto es un 9% menor que la del homogéneo. Este hecho ayuda a distinguir el cilindro de aluminio que alcanzará el borde del plano antes que el compuesto. Proponemos al lector examinar por su cuenta otra versión del mismo problema, a saber, cuando el cilindro compuesto tiene un núcleo de plomo y una envoltura de corcho. ¿Cuál de los sólidos tardará menos tiempo en alcanzar el borde del plano?