Prefacio
1. Mecánica
2. Propiedades de los Fluidos
3. Gases
4. Fenómenos Térmicos
5. Sonido y Luz
6. Varias
7. Apéndice
219. La tercera ley de Kepler.
La tercera ley de Kepler se formula de diferentes maneras en diversos libros. Unas veces se afirma que los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas y cometas se relacionan entre sí como los cubos de las respectivas distancias medias al Sol. Otras veces se sostiene que lo hacen como los cubos de los semi-ejes mayores de sus órbitas.
¿Cuál de estas dos formulaciones es correcta?
Las dos formulaciones son idénticas: el semieje mayor de la órbita equivale a la distancia media del planeta al Sol. Esta magnitud constituye la media aritmética de las distancias máxima y mínima del planeta al Sol, así como de todas las distancias entre ellos durante todo el período de orbitación. Si el Sol está emplazado en el foco F1 (ver figura), mientras que el planeta recorre sucesivamente los puntos a, b, c , d, etc., la distancia media del planeta al astro se obtiene
sumando todas las distancias F1*a, F1*b, F1*c, F1*d, etc., del foco F1, a cada uno de los puntos de la órbita y dividiendo esta suma por el número de distancias. Será fácil demostrar que el cociente vale la mitad del eje mayor.
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| ¿Cómo se determina la distancia media de un planeta al Sol? |
He aquí la demostración. Supongamos que en la órbita de un planeta están señaladas n posiciones de este cuerpo; tenemos, pues, n distancias. Unamos cada punto correspondiente a la posición del planeta con el foco F2. La suma de distancias de cada punto a los focos equivale al eje mayor 2á de la elipse (esta curva posee semejante propiedad). Por consiguiente,
| aF1 + aF2 = 2ã |
| bF1 + bF2 = 2ã |
| cF1 + cF2 = 2ã |
| etc |
Sumando los primeros y segundos miembros de estas igualdades, obtenemos la expresión siguiente:
Si n es infinito, en virtud de la simetría de la elipse ambas expresiones entre paréntesis son iguales, y cada una de ellas es la suma de las distancias del planeta al foco (es decir, al Sol); designemos esta suma por S. Obtendremos la igualdad siguiente:
Por lo cual
Mas, S/n es la distancia media del planeta al Sol, en tanto que á designa el semieje mayor de la órbita. Por consiguiente, la distancia media del planeta al astro es igual al semieje mayor de su órbita.
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