Intorducción:

La práctica de la ingeniería y la investigación de la ciencia se apoyan en leyes y principios matemáticos que analizan el comportamiento de un sistema y de sus diversos componentes.  El comportamiento puede ser representado matemáticamente por medio de ecuaciones en las cuales están involucradas magnitudes que 'indican características, niveles de respuesta, propiedades y estímulos externos.

Los sistemas con componentes múltiples y cuyas partes individuales influyen unas sobre otras, generan un conjunto de Ecuaciones matemáticas, las cuales deben ser resueltas simultáneamente y que son llamadas ecuaciones algebraicas simultáneas.

En sistemas físicos, las ecuaciones pueden estar basadas en leyes de conservación que involucran cantidades físicas como a fuerza, la energía, el momento, la masa, etc.  Un sistema que estudia la distribución de la corriente en un circuito, o aquel en el cual se analiza el balance de masa en reactores químicos, son ejemplos claros de aplicación de las leyes mencionadas y que pueden ser modelados por ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, las cuales aparecen también en el contexto de gran cantidad de problemas matemáticos, tales como el análisis de regresión o la interpelación cúbica segmentaria.
 

DEFINICI0N DE MET0D0S NUMERIC0S
 

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común llevan cabo un buen numero de tediosos cálculos aritméticos.

  • STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. Canale, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit.  McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987.  PAG. 1
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. 
  • NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit.  Prentice Hall, México, 1992.  PREFACIO..
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

- especificación del problema.  Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

- análisis. es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

- programación.  Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- verificación.  Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

- documentación.  Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

- producción.  Es la ultima etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

  • LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit.  Limusa, México, 1980. PROLOGO
Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el trabajo que ejecuta la maquina.
identificación y definición de objetos. descripción matemática.
análisis numérico.
programación de la computadora.
verificación del programa.
producción.
interpretación.
La maquina sigue una serie de pasos o también denominado método numérico la respuesta final para el usuario debe interpretar los resultados para ver lo que significan en función de las combinaciones del objetivo que el sistema propuesto debe satisfacer.
  • Métodos numéricos y programación fortran. Con aplicaciones en ingeniero y ciencias. Daniel d. Meracken.  Pagina 14.
Métodos para la Solución Numerica de Ecuaciones

2.1 Método de Aproximaciones Sucesivas:

Algoritmo:
1. Dada una función f(x)=0 Convertirla de la forma X = F(x)

Existen dos maneras de realizar esta operación:
a) Agregar de ambos lados de la ecuación una X.
b) Despejar la X del termino de primer grado de la ecuación.
2. Elegir un valor inicial Xo. Este valor inicial debe cumplir con el criterio de convergencia:
| F’(X0) | < 1
3. Obtener una nueva aproximación evaluando  la formula general del método
Xn+1  = F(Xn)


4. Evaluar la aproximación relativa

 | (Xn+1 - Xn) / Xn+1 | < Tolerancia
No. (Falso) Repetir el paso 3 y 4
Si . (Verdadero) Entonces  Xn+1  Es la Raíz


Interpretación Gráfica:
 


2.2 Método del Intervalo Medio o Bisección:

Algoritmo:
1. Elija valores Iniciales para “a” y “b” de forma tal que lea función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurandose de que :

f(a)*F(b) < 0
2. La primera aproximación a la raíz se determina con la formula:
Xn = (a + b) / 2
3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo se encuentra la raíz:
f(a)*F(Xn ) < 0 Entonces  b= Xn
f(a)*F(Xn) > 0 Entonces  a= Xn
f(a)*F(Xn) = 0 Entonces xn Es la Raíz


4.  Calcule la nueva aproximación

Xn+1  = (a + b) / 2
5. Evaluar la aproximación relativa
 | (Xn+1  - Xn ) / Xn+1  | < Tolerancia
No. (Falso) Repetir el paso 3, 4 y 5
Si . (Verdadero) Entonces  Xn+1   Es la Raíz


Interpretación Gráfica:


 2.3 Método de Newton-Raphson:

Algoritmo:
1. Dada una función f(X)=0 Obtener la Primera y Segunda derivada.
2. Elegir un valor inicial X0. Este valor inicial debe cumplir con el criterio de convergencia:
3. Obtener una nueva aproximación evaluando  la formula general del método

Xn+1=Xn - f(Xn)/ f ´(Xn)

4. Evaluar la aproximación relativa

| (Xn+1 - Xn) / Xn+1 | < Tolerancia
No. (Falso) Repetir el paso 3 y 4
Si . (Verdadero) Entonces  Xn+1  Es la Raíz


Interpretación Gráfica:
 


2.4 Método de Segundo Orden de Newton:

Algoritmo:
1. Dada una función f(x)=0 Obtener la Primera y Segunda derivada.

2. Elegir un valor inicial X0

3. Obtener una nueva aproximación evaluando  la formula general del método
 

4. Evaluar la aproximación relativa
| (Xn+1  - Xn  ) / Xn+1  | < Tolerancia
No. (Falso) Repetir el paso 3 y 4
Si . (Verdadero) Entonces  Xn+1   Es la Raíz

Interpretación Gráfica: