INTEGRACIÓN NUMÉRICA:
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Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una
función que no tiene una antiderivada explícita o cuya antiderivada tiene
valores que no son fácilmente obtenibles. el método básico involucrado para
aproximar cualquier función a su integras se conoce como cuadratura
numérica y se usa una sumatoria de las función evaluada en un intervalo. Los
métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones
dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en
que sea posible la integración analítica, la integración numérica puede ahorra
tiempo y esfuerzo si sólo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios
de interpolación. Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación
darán por resultado distintos métodos de integración numérica. Los
métodos que se estudiarán se refieren a las fórmulas de Newton-Cotes, que
se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación
constantes y se deducen de integrar las fórmulas de interpolación de
Newton, así como la fórmula de interpolación de Lagrange. A su vez, las
fórmulas de Newton-Cotes se subdividen en las de tipo cerrado y las de tipo
abierto. Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al
tipo cerrado.
Regla del trapecio:
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Esta regla es un método de integración numérica que se obtiene al integrar el
polinomio de interpolación de primer grado (Lineal). Para obtener una buena
precisión se necesita un gran número de subintervalos.
Regla de 1/3 de Simpson:
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Esta regla se basa en la interpolación polinomial cuadrática (de segundo
orden). Obteniendo el polinomio de Newton ajustado a tres puntos e
integrando el resultado se tiene la regla de 1/3 de Simpson. El número de
intervalos utilizados en esta regla debe ser par. (N=par).
Regla de 3/8 de Simpson:
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Esta regla de 3/8 se obtiene al integrar una formula de interpolación de
tercer grado. Para la regla extendida se aplica a un número de intervalos que
sea múltiplo de tres.
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Cuando el número de intervalos es impar pero sin ser múltiplo de tres, se
puede utilizar la regla de 3/8 para los primeros tres o los últimos tres
intervalos y luego usar la regla de 1/3 para los intervalos restantes, que son
un número par. Puesto que el orden del error de la regla de 3/8 es el mismo
que el de la de 1/3, no se gana mayor exactitud que con la regla de 1/3 cuando
uno puede elegir con libertad entre ambas reglas.).
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