Introducción a la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Los métodos numéricos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales se dividen 
en dos categorías generales: métodos exactos y métodos aproximados.

Se usan comúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gauss- Jordan. Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan los problemas como división entre cero. 
Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gausiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos.

Aunque los métodos de eliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.

El método de Gauss-Seidel es diferente a los métodos exactos, en cuanto que éste, emplea un esquema  iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cercanas a la solución. Por lo tanto, el efecto de redondeo es un punto discutible dentro del método, ya que las iteraciones se pueden prolongar tanto como sea posible para obtener la precisión deseada.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Además, de que muchos sistemas algebraicos lineales originados de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss-Seidel tiene gran utilidad en la solución de problemas de ingeniería.

Teorema Fundamental de Equivalencia:

Puede aceptarse que las siguientes 3 operaciones sobre una matriz ampliada producen otras correspondientes a un sistema equivalente:

  1. Intercambiar dos renglones. ( ya que corresponde a reordenar  las ecuaciones del sistema).
  2. Multiplicar todos los elementos de un renglón por una misma constante.
  3. Sumar a los elementos de un renglón los correspondiente elementos de otro multiplicados por una constante.



Método de Eliminación Gaussiana:

Este algoritmo consiste en dos procesos:

a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema 
triangular Superior:

Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita aii (coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso 3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al primer termino de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a la segunda.
Paso 4: repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.


Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir 
el sistema en una matriz triangular superior.

b) Sustitución hacia atrás:  

Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero la Xn  y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado completo del sistema.

Método de Gauss-Jordan:

Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para trasformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella.
Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.
 



 

Método de Gauss-Seidel:

Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas para obtener raíces vistas en el tema anterior. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a  partir del cual, mediante una técnica sistemática  se obtiene una mejor aproximación a la raíz. La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converga dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada. Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente. 
Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.

Algoritmo:

  1. Se debe despejar da cada ecuación despejar la variable sobre la diagonal principal.
  2. Dar un valor inicial a las incógnitas (X generalmente se establecen ceros).
  3. Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera incógnita.
  4. Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente  incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.
  5. Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método.