Lógica Paraconsistente

O desenvolvimento da lógica paraconsistente foi iniciada para contrariar o principio lógico de que tudo vem de premissas contraditórias, ex contradictione quodlibet (ECQ). Façamos ser uma relação de consequencia lógica, definido ou semanticamente ou teoricamente provado. Vamos dizer que é explosivo se e somente se para cada fórmula A e B, {A, ~A} B. Lógica clássica, lógica intuicionista, e a maioria das outras lógicas padrão são explosivas. Uma lógica é dita como sendo paraconsistente se e somente se sua relação de consequência lógica não é explosiva.

A história moderna da lógica paraconsistente é relativamente curta. Essa matéria tem provado ser um importante desenvolvimento na lógica por muitos motivos. Isto involve as motivações para o assunto, suas implicações filosóficas e suas aplicações. Na primeira metade deste artigo, nós iremos rever alguns destes. À seguir, nós daremos alguma idéia da construção técnica básica involvida nas lógicas paraconsistentes. Outras discussões podem ser encontrados nas referências dadas no final do artigo.

Motivação e Aplicações

Teorias Inconsistentes mas Não-Triviais

O maior motivo da lógica paraconsistente é o fato de que há teorias que são inconsistentes mas não-triviais. Claramente, um vez que nós admitamos a existência de tais teorias, suas lógicas fundamentais devem ser paraconsistente. Exemplos de teorias inconsistentes mas não-triviais são fáceis de produzir. Um exemplo pode ser derivado da história da ciência. (Na verdade, muitos exemplos podem ser tirados desta área.) Considere a teoria do átomo de Bohr. De acordo com ela, um elétron orbita o núcleo do átomo sem radiar energia. Entretanto, de acordo com as equações de Maxwell, que formou parte integral da teoria, um elétron que está acelerando em órbita deve irradiar energia. Portanto a consequencia de Bohrs do comportameto do átomo era inconsistente. Ainda, evidentemente, nem tudo sobre o comportamento dos elétrons foi inferida disto. Portanto, qualquer mecanismo de inferência que fundamentou isso, deve ter sido paraconsistente.

Dialetheias (Contradições Verdadeiras)

A importancia da lógica paraconsistente também segue condições, mais controversicamente, mas como algumas pessoas tem dito, existe verdadeiras contradições (dialetheias), ex., há sentenças, A, tal que ambos A e ~A são verdadeiras. Se existe dialetheias então algumas inferencias da forma {A, ~A} B devem falhar. Pois apenas conclusões verdadeiras são validadas das premissas verdadeiras. Portanto lógcia tem que ser paraconsistente. Um exemplo plausível de dialetheia é o paradoxo mentiroso. Considere a sentença: Esta sentença não é verdadeira. Há duas opções: ou a sentença é verdadeira ou não é. Suponha ser verdadeira. Então o que ela diz é o oposto. Portanto a sentença não é verdadeira. Suponha agora que não seja verdadeira. Isto é o que ela diz. Portanto é verdadeira. Nos dois casos é verdadeiro e não verdadeiro.

Conclusões Automatizadas

Lógica paraconsistente é considerada não apenas por considerações filosóficas, mas também por suas aplicações e implicações. Uma das aplicações é a conclusão automatizada (processamento de informação). Considere um computador que armazena uma grande quantidade de informações. Enquanto o computador armazena a informação, é também usado para operá-la, e, crucialmente, para inferir dela. Agora é bem comum para o computador conter informações inconsistente, por causa de erros pelo operador de entrada de dados ou por causa de multiplas origens. Isto é certamente um problema para operações de banco de dados com provadores de teoremas, e portanto tem tomado muita atenção dos cientistas de computação. Técnicas para remoção de informação inconsistente tem sido investigadas. Todas elas ainda tem aplicações limitadas, e, em todo caso, não são garantidas de produzir consistência. (Não há algoritmo para falsidade lógica.) Portanto, mesmo se os passos são tomados para se livrar de contradições quando elas são encontradas, um fundamento da lógica paraconsistente é desejado se contradições escondidas não são feitas para gerar respostas não genuinas para as questões.

Revisão de Crença

Como parte das pesquisas de inteligência artificial, revisão de crença é uma das áreas que tem sido estudada mais amplamente. Revisão de crença é o estudo da racionalidade revisando corpos de crença tomando em consideração nova evidência. Notoriamente, pessoas tem crenças inconsistentes. Elas podem ser até racionais em fazê-las. Por exemplo, podem ter aparentemente evidencias que superam alguma coisa e sua negação. Podem haver até casos onde é impossível eliminar tla inconsistência. Por exemplo, considere o "paradoxo do prefácio". Uma pessoal racional, após pesquisas completas, escreve um livro no qual ele afirma A1, ... , An. Mas eles estão também à par de que nenhum livro de qualquer complexidade contém apenas verdades. Então eles racionalmente acreditam em ~(A1 & ... & An) também. Portanto, princípios de revisão de crença racional devem trabalhar em partes inconsistentes de crenças. Contas padrões de revisão de crença, ex., a do Gärdenfors et al., tudo falha em fazer isso uma vez que eles são baseados em lógica clássica. Uma razão mais adequada é baseada em uma lógica paraconsistente.

Significância Matemática

Outras aplicações da lógica paraconsistente diz respeito às teorias da significância matemática. Exemplos de tais teorias são formalmente semânticas e teoria dos grupos.

Semânticas é o estudo que tem por objetivo descrever um entendimento teórico de significado. Maioria das afirmações de semânticas implica que para descrever o significado de uma sentença é, de alguma forma, descrever suas condições-verdades. Agora, prima facie de qualquer forma, verdade é um predicado caracterizado pelo esquema Tarski T:

T(A) A,
onde A é uma sentença e A é seu nome. Mas dado qualquer significado padrão de auto-referência, ex., aritimetização, alguém pode construir uma sentença, B, que significa que ~T(B). O esquema T diz que T(B) ~T(B). Então segue que T(B) & ~T(B). (Isto é, claramente, apenas o paradoxo da mentira.)

A situação é similar na teoria do grupo. O ingênuo, e intuitivamente correto, axiomas da teoria de grupo são o Esquema de Compreensão e Princípio da Extensionalidade:

(y)(x)(x y A)
(x)(x y x z) y = z
onde x não ocorre livre em A. Como foi descoberto por Russell, qualquer teoria que contém o Esquema de Compreensão é inconsistente. Pondo `y y' para A no esquema de Compreensão e instanciando o quantificador existencial para um arbitrário tal objeto `r' resulta:
(y)(y r y y)
Então, instanciando o quantificador universal para `r' resulta:
r r r r
Então segue que r r & r r.

O padrão que se aproxima à estes problemas de inconsistência são, de longe, vantajosos. Entretanto, uma aproximação paraconsistente torna possível ter teorias de verdade e grupos no qual as intuições fundamentais sobre essas noções são respeitadas. As contradições podem ser permitidas que apareçam, mas não precisam infectar o resto da teoria.

O Significado Filosófico do Teorema de Gödel

Lógica paraconsistente também tem ramificações filosóficas importantes. Um exemplo deste fato é o teorema de Gödel. Uma versão do primeiro teorema incompleto diz que para qualquer teoria axiomatica da aritmética, que pode ser reconhecidamente confiável, haverá uma verdade aritmética - que quer dizer, sua sentença Gödel - não pode ser provado, mas que pode ser estabelicido como verdade por corretas razões intuitivas. O coração do teorema de Gödel é, na verdade, um paradoxo que diz respeito à sentença, G, `Esta sentença não é provável'. Se G é provável, então é verdade e não provável. Logo G está provado. Entretanto G é verdade e improvável. Se um fundamento da lógica paraconsistente é usado para formalizar a aritmética, e a teoria consequentemente permitida ser inconsistente, a sentença Gödel pode muito bem ser provável na teoria (essencialmente pela conclusão acima). Então uma aproximação paraconsistente à aritmética supera as limitações da aritmética que é suposta (por muitos) vir do teorema de Gödel.

Sistemas de Lógica Paraconsistente

A discussão anterior indica algumas das motivações da lógica paraconsistente, suas aplicações e implicações. Nós iremos agora indicar algumas das principais aproximações de paraconsistência. Existem muitas lógicas paraconsistentes diferentes. A maioria delas podem ser definidas em termos de uma semântica que permite ambos A e ~A em sustentar uma interpretação. Validade é então definida em termos da preservação de sustentar uma interpretação, e então ECQ falha. Nós iremos ilustrar isto com quatro tipos de lógicas paraconsistentes proposicionais: não-adjuntiva, não-verdade-funcional, múltiplo-valor, e relevante. (Lógicas paraconsistentes quantificadas são extensões destas.) Em todos os seguintes sistemas, não apenas ECQ falha, mas também Silogismo Disjuntivo (SD), definida como a seguinte regra de inferência: {A, ~A B} B. Em particular, então, se um define o material condicional, A B, como ~A B (como de costume) então modus ponens para isto falha.

Sistemas Não-Adjuntivos

Vamos começar com sistemas não-adjuntivos, assim chamado por causa da inferencia de que A e B para A & B falha. O primeiro destes a ser produzido foi também a primeira lógica paraconsistente formal. Esta foi lógica discussica (ou discursiva) de Jaskowski. Em um discurso, cada participante propõe alguma informação, crenças, ou opiniões. O que é verdade em um discurso é a soma das opiniões dadas pelos participantes. A opinião de cada participante são tomadas como auto-consistente, mas podem ser inconsistente com a dos outros. Para formalizar a idéia, tome uma interpretação, I, para ser uma lógica modal padrão, digamos S5. A crença de cada participante é o grupo de sentenças verdadeiras em um mundo possível I. Logo, A depende de I se e somente se A depende de algum mundo em I. Claramente, um pode ter ambos A e ~A (mas não A & ~A) assegurando uma interpretação. Uma vez que modus ponens para falha, Jaskowski introduziu um conectivo que ele chamou implicação discussiva, d, definida como (A B). É fácil checar que em S5 implicação discussiva satisfaz modus ponens.

Lógicas Não-Verdade-Funcional

O estudo do sistema de não-verdade-funcional foi iniciado por da Costa (que também produziu vários outros tipos de sistemas). A principal idéia aqui foi manter o aparelho de alguma lógica positiva, digamos clássico ou intuicionista, mas para permitir negação em uma interpretação para se comportar não-verdadeiramente-funcional. Logo, tome uma interpretação em sendo uma função na qual os mapas de fórmulas para 1 ou 0; & , , e comportam-se como de costume (clássico), mas o valor de ~A é independente de A. Em particular, ambos podem conter o valor 1. Negação não tem propriedades significativas sobre essas semânticas. Várias propriedades de negação podem ser obtidas adicionando mais restrnições à interpretação. Se nós adicionarmos o requerimento de que, paraa qualquer A, ou A ou ~A devem ter o valor 1 (usando a Lei do Meio Excluído) e que todavez ~~A tem o valor 1, e também A, nós obtemos o princípio do sistema de da Costa Ci , para i finito. Se nós começarmos com uma semântica apropriada para lógica intuicionista positiva, e continua no mesmo caminho, nós obtemos lógica da Costa C. Se nós escrevermos A para ~(A & ~A) então é natural tomar isso como expressando a consistência de A. Postulados posteriores restringindo como A se comporta diferencia entre os sistemas Ci para i finito.

Sistemas de Múltiplos-Valores

Talvez o jeito mais simples de gerar lógica paraconsistente, proposto por Asenjo, é usar uma lógica de múltiplo-valor, que é, uma lógica com mais do que dois valores verdades. As fórmulas que suporta interpretações de múltiplos-valores são aquelas que tem um valor diro como designado. Uma lógica de múltiplo-valor consequentemente será paraconsistente se permite uma fórmula e sua negação ser designada. a estratégia mais simples é usar três valores verdades: verdadeiro (apenas) e falso (apenas), que funciona como na lógica clássica, e ambos verdadeiro e falso (que, naturalmente, é um ponto fixo para negação). Ambas variedades para verdade são designados. Esta é a aproximação da lógica paraconsistente LP. Se alguém soma um quarto do valor, nem verdadeiro nem falso, que se comporta de um jeito apropriado, obtém-se a semântica de Dunn para Necessidade de Primeiro Grau. Se alguém toma os valores verdade sendo números reais entre 0 e 1, com um grupo ajustável de valores designados, a lógica será uma lógica natural paraconsistente fuzzy.

Lógica Relevante

Lógica relevante foi iniciada por Anderson e Belnap. semânticas-mundo para eles foi desenvolvida por R. e V. Routley e Meyer. Em uma interpretação para tais lógicas, conjução e disjunção se comportam do jeito normal. Mas cada mundo, w, tem um mundo associado, w*; e ~A é verdade em w se e somente se A é falso, não em w, mas w*. Logo, se A é verdadeiro em w, mas falso em w*, A & ~A é verdade em w. Para obter as lógicas relevantes padrões, alguém precisa adicionar a restrinção que w** = w. Como é evidente, negação nestas semânticas é um operador intensional. (Há também versões de semânticas-mundo para lógicas relevantes baseada na semântica de quatro-valores de Dunn. Neste caso, negação é extensional.)

A importante relação com a lógica relevante não é tanto com a negação quanto com um conectivo condicional, (satisfazendo modus ponens). Semânticas para isto são obtidas moldando cada interpretação com uma relação ternária, R. Na semântica simplificada de Priest, Sylvan e Restall, mundos são divididos em normais e não-normais. Se w é um mundo normal, A B é verdadeiro em w se e somente se em todos os mundos onde A é verdadeiro, B é verdadeiro. Se w é não-normal, A B é verdadeiro em w se e somente se para todo x, y, tal que Rwxy, se A é verdadeiro em x, B é verdadeiro em y. (Validade é definido com preservação verdadeira sobre mundos normais.) Isto dá o ba'sico da lógica relevante, B. Lógicas mais fortes, tal como a lógica R, são obtidas adicionando restrinções na relação ternária. Maiores detalhes sobre lógica relevante pode ser encontrado no artigo deste tópico nesta enciclopédia.

Bibliografia

Para Lógica Paraconsistente e Paraconsistência em geral, veja:

Sobre Dialeteismo, veja:

Para Conclusões Automatizadas, veja:

Para Revisão de Crença, veja:

Para Sistemas Não-Adjuntivos, veja:

Para Sistemas Não-Verdade-Funcional, veja:

Para Sistemas de Múltiplos-Valores, veja:

Para Sistemas Relevantes, veja:

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dialetheism | logic: relevance | mathematics: inconsistent

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Traduzido da Stanford Encyclopedia por Fabrício Olivetti de França.

First posted: September 24, 1996
Last modified: September 25 1996