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## Realidade Física e Modelo

Realidade Física e Modelo

Até agora, não foram consideradas as resistências ôhmicas dos enrolamentos do primário e do secundário. Incorporando-as ao modelo, tem-se

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Considere o seguinte experimento: suponha que os fios dos enrolamentos do primário e do secundário de um transformador são idênticos (mesma bitola), e que seu núcleo é o ar.

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A fonte é uma alimentação de 10 Volts e 60 Hz.

Qual a tensão para R=22 ohms?

Com o objetivo de se obter os valores dos parâmetros para o transformador, foram feitas as seguintes medidas (resistências em ohms e indutâncias em mH).

Utilizou-se um medidor RLC (ponte de Whitstone, freqüência de 1 KHz e tensão de 10 mV).

Note que as medidas são redundantes e que , , e têm uma relação linear com os parâmetros do modelo , e M. Considerando portanto os erros de medida, pode-se formular o seguinte problema (visando a obtenção dos melhores valores para os parâmetros).

Na forma matricial , tem-se

O vetor representa um modelo para os erros de medidas, e os parâmetros , e M são obtidos minimizando-se a soma quadrática dos erros de medidas.

Construindo o Lagrangeano ( é o multiplicador de Lagrange)

e derivando em relação às suas variáveis e igualando a zero, tem-se

portanto

Note que (pois ) e note também que é não singular (o rank de A é 3, igual ao número de parâmetros independentes). Assim

é a chamada matriz pseudo-inversa de A, dada por

implicando , e .

Calculando-se o erro

e o erro relativo percentual é

Lembrando , tem-se .

Note que e ( e número de espiras do primário e secundário, respectivamente), pois os enrolamentos são de mesma bitola.

Obs.: Para um condutor de comprimento l, seção uniforme de área A e resistividade , tem-se

Calculando , praticamente o mesmo valor obtido a partir da definição de n. O transformador em estudo tem, nominalmente, espiras.

Calculando-se agora o fator de acoplamento magnético k, tem-se

Este valor relativamente pequeno de k se explica por dois fatores: o meio magnético de baixa permeabilidade (ar, constante H/m) e a geometria do transformador (linhas de campo que atravessam as espiras).

O modelo resultante para esse transformador é:

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Parâmetros estimados: , e

Ou , e .

Uma avaliação da qualidade das medidas e do modelo pode ser feita a partir dos valores de e , medidos e previstos.

Valores Calculados:

Valores Medidos:

A concordância dos valores medidos com os previstos pode ser explicada pelo fato de que o meio magnético (ar) não apresenta nem saturação, nem histerese, o que não acontece em transformadores com núcleo de ferro.

Matriz de Transmissão para o transformador não ideal, sem perdas:

com , e .

Note que a freqüência da fonte é 60 Hz, implicando ohms.

Substituindo os valores,

cujo determinante é ( de erro).

Para se obter a tensão na carga, é conveniente calcular antes o equivalente Thévénin no secundário do transformador.

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Da teoria sobre quadripolos, tem-se

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Portanto,

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