akla ziyan > zeka > ABD Matematik Yetenek Araştırması'ndan sorular

1. Her biri 13 birim uzunluğunda olan 12 tane çubuğumuz var. Bu çubukların hepsini kıracağız, öyle ki bütün parçalar 3, 4 ya da 5 birim uzunluğunda olacak. Ortaya çıkan bu küçük çubuklardan 13 tane 3-4-5 üçgeni kurmamız gerekiyor. Çubukları nasıl bölersiniz?

2. f(x) katsayıları tamsayı olan bir polinom, f(0)=0 ve f(1)=2 olsun. f(7)'nin bir tamsayının karesi olamayacağını ispatlayın.

3. Tabanı ABCD eşkenar dörtgeni olan bir PABCD piramidimiz var. Eşkenar dörtgenimizde açı(DAB)=açı(DCB)=60° olsun. Ayrıca PC2=PB2+PD2 eşitliği de doğruysa PA=AB olduğunu gösterin.

4. Pozitif x, y, ve z gerçel sayıları aşağıdaki eşitlikleri sağlıyor:

		x + y + xy = 8
		y + z + yz = 15
		z + x + zx = 35
x+y+z+xyz sayısının değerini bulunuz.

5. İç açılarının değeri derece cinsinden bir tamsayı olarak ifade edilebilen kaç tane farklı düzgün n-gen vardır?

6. Aşağıda farklı harfler yerine farklı rakamlar koyarak eşitliği sağlayın, öyle ki MONEY sözcüğü alabileceği en yüksek değeri alsın. Bu değer nedir?

				S  H  O  W
				      M  E
			+	   T  H  E
		        ___________________
			     M  O  N  E  Y

7. Bir çemberin içine köşeleri çemberin üzerine gelmek üzere ABCD konveks dörtgeni çizelim. M bu dörtgenin köşegenlerinin kesişim noktası olsun. E, F, G, H de M'den ABCD dörtgeninin kenarlarına dik olarak inilen doğruların kenarları kestikleri noktalar olsun. EFGH dörtgeninin içine kenarlarına teğet olacak şekilde çizilebilecek olan çemberin merkezini belirleyin.

8. (i) Dokuz basamaklı öyle A, B ve C pozitif tamsayıları vardır ki her birinin (onluk düzende) yazılımında 1'den 9'a kadar bütün rakamlar birer kez geçmektedir ve A+B=C eşitliği doğrudur. Gösterin.
(ii) Yedi basamaklı D, E ve F pozitif tamsayıları olsun. Her birinde 1'den 7'ye bütün rakamlar birer kez kullanılmış olsun. D+E=F olamayacağını gösterin.

9. R(n), n sayısının kaç farklı şekilde 4 adet pozitif tamsayının karelerinin toplamı şeklinde yazılabileceğini göstersin. Mesela R(7)=1 'dir, çünkü 7=1²+1²+1²+2² 'ten başka dört pozitif tamsayının karesinin yoplamı şeklinde yazılamaz.
k pozitif bir tamsayıysa R(2k)+R(2k+1)=3 olduğunu gösterin.

10. f(1)=0 ve bütün m, n tamsayıları için f(m + n)=f(m)+f(n)+3(4mn-1) olsun. f(19)=?

11. Analitik düzlemde bir ABCD karemiz olsun. Bu karenin AB, BC, CD ve DA kenarları üzerinde sırasıyla (31,27), (42,43), (60,27), ve (46,16) noktaları verilmiş olsun. Karenin alanını bulunuz.