Curiosidades Matemáticas

A continuación se recogen curiosidades matemáticas. Seguramente lo expuesto a continuación no tiene demasiada importancia pero sí permite ocupar una gran cantidad de tiempo empleando la cabeza para pensar. A mi me divierte y me entretiene. Esta información está recogida de distintas fuentes.

1.- Números Cíclicos
Los números cíclicos son números con la propiedad de que al multiplicarlos por otro número igual o inferior al número de dígitos de que consta solamente se van corriendo esos dígitos como si se tratase de una rueda y los que estaban al principio pasan al final. Por ejemplo: El primer número cíclico es el 142857. Si este número (que consta de seis dígitos) lo multiplicamos por los núemros del 1 al 6 obtenemos:

2 x 142857 = 285714  (vemos que el 1 y el 4 han pasado al final)
3 x 142857 = 428571 (el que pasa al final es el 1)
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142

Si lo multiplicamos por 7 lo que obtenemos es 999999. Esto no es una casualidad. Ese número 142857 es preciamente la parte periódica de la división 1/7.El siguiente número cíclico es el 0588235294117647. Si multiplicas este número por los números del 1 al 16 sucede lo mismo que con el anterior. Si lo multiplicas por 17 da 99999999999999999.
Como podemos observar entre el 1 y el 1016 (los primeros mil billones de números) sólo hay dos que sean cíclicos. Son por tanto números raros.Otra cracterística curiosa de estos números es la forma en la que se pueden obtener:
Toma un número primo y calcula su inversa (1/p), si la parte decimal es periódica y el periodo consta de tantos dígitos como el número primo menos 1, entonces estas ante un número ciclico.Cuando dividimos 1 / 7 se obtiene 0,142857142857142857. Observa que es periódico y que el período consta de seis dígitos.

2.-    Triángulo de Pascal.

Se trata de un triángulo que lleva el nombre del filósofo francés del siglo XVII Blaise Pascal, quién publico un tratado sobre el mismo por primera vez. Sin embrago el triángulo es conocido desde antes.El triángulo comienza con un 1 en la cúspide. Todos los demas números son la suma de los dos situados encima de ellos como se muestra en la figura:

  Cada número 1 de los laterales se obtiene de sumar el 1 que tiene encima a la derecha y el cero (no visible) que estaría a la izquierda.
    En la figura salen las diez primeras filas, pero el triángulo es infinito.
    La primera diagonal (marcada con color azul) reproduce la secuencia de los números naturales: es decir el 1, 2, 3, 4, etc. En la segunda se pueden observar los números triangulares. Un número triangular es el cardinal de un conjunto de puntos que componen una disposición triangular (1, 3, 6, 10, 15, 21,...). Destacar también que en la sucesión de estos números triangulares la suma de dos terminos cualesquiera adyacentes es un cuadrado perfecto).
    Se observa también que la suma de los números de cualquier diagonal hasta uno dado es igual al número que se enuentra inmediatamente debajo y a su izquierda. Por ejemplo: la suma de 1, 3, 6, 10, 15 y 21 es 56.
    Los números escritos en color rojo al final de cada diagonal  roja son los que forman la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...). Se obtienen sumando los números incluidos en esas diagonales en el triángulo de Pascal.
    La sucesión de Fibonacci se obtiene ( a parte de en el Triángulo de Pascal) sumando dos términos consecutivos para obtener el siguientes: 1+1=2; 1+2=3, 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; etc. Dicha sucesión aparece a menudo en problemas de combinatoria.
    Cada fila horizontal del triángulo de Pascal contiene los coeficientes del desarrollo del binomio (x+y)n . Por ejemplo (x+y)3 = x 3 + 3x2y + 3xy2 + y3 .
    Volviendo al tema de la combinatoria podemos observar que el número de modos en que pueden seleccionarse n elementos de un conjunto de r elementos distintos viene dado por la intersección de la diagonal n con la fila r. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar 3 elementos de un conjunto de 7?. De 35 formas (intersección de la diagonal 3 con la fila 7).
Otra propiedad interesante es que todos los números de la fila n son divisibles por n si, y solamente si, n es primo.

    Ademas de estas propiedades hay muchas otras recogidas en diferentes fuentes. Agradecería recibir  todas las que concozcais.

3.-     Números amigos.

    Este apartado lo he sacado de un mensaje de un grupo de noticias. El mensaje lo envía M.A. Vidal. En dicho mensaje se dice que el número 220 y el 284 son amigos porque al sumar de los divisores de cada número (exceptuados ellos mismos) se obtiene el otro. Es decir, la suma de los divisores de 220 (excluido el 220) es igual a 284, y la suma de los divisores de 284 (excluido el 284) es igual a 220.

4.-     Número Pi.

    Pi es probablemente el más famoso de los números. Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diametro. Es un número irracional y por tanto con infinitos decimales y no periodico. No se puede escribir como cociente de dos números enteros por lo que hay que recurrir a otras expresiones para calcularlo. Por ejemplo pi/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -....

     En el siguiente archivo se incluye el número Pi con un millón de decimales. Ha sido calculado con un programa PiFast version 3.2, (Copyright(C) 1999 Xavier GOURDON) :  Pimillon.txt
A continuación puedes ver los mil primeros decimales del número Pi:
Pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679  : 1
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196  : 2
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273  : 3
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094  : 4
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912  : 5
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132  : 6
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235  : 7
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859  : 8
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303  : 9
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989  : 10

5.-     Números de Mersenne.

    Son números enteros de la forma Mp = 2p -1. Si Mp es un número primo, el numero p también lo es. Sólo se  conocen 33 números de Mersenne. El último descubierto corresponde a p= 859 433, es decir el último número de Mersenne es el 2859433 -1. No se sabe si hay un número infinito de ellos.

6.-     Números Pitagóricos.

    Son los enteros que cumplen la ecuación de Pitágoras a2 + b2 = c2 .Por ejemplo 3,4 y 5.

7.-     Números trascendentes.

    Son los números que no son algebraicos. Es decir , no existe ningún polinomio de coeficientes enteros del que sean raíz. El número pi, por ejemplo, es un número trascendente porque no se puede obtener como raiz de ningún polinomio de coeficientes enteros.
Los números trascendentes son infinitos y hay muchos más que números algebraicos (que son los que sí se pueden obtener como raiz de un polinomio de coeficientes enteros,  es un número algebraico ya que es solución de la ecuación x2 - 3 =.0).