UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE/BOSNIAN MATHEMATICAL SOCIETY

Zmaja od Bosne 35/IV, 71000 Sarajevo, Bosnia and Herzegovina

  Tel./Fax: (++387)(33) 646-905, (++387)(33) 649-342

XLI TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BiH

FEDERALNO PRVENSTVO IZ MATEMATIKE UČENIKA

SREDNJIH  ŠKOLA ŠK. 2000/2001. 

(Gradačac, 6. - 8. IV 2001)

 GIMNAZIJA ''MUSTAFA NOVALIĆ'' GRADAČAC

Z A D A C I

IV RAZRED

1. Riješiti nejednadžbu

u skupu R.

2.  Neka funkcija f : R ® R ima sljedeće osobine:

i)   "(x, y Î R)         f (x + y) + f (x - y)  =  2 f (x) f (y) ;

ii)   f (0)  > 0 ;

iii) postoji pozitivan realan broj c takav da je  f (c) = 0  i   f (x)  ¹ 0  za svaki  x Î (0, c).

Dokazati da vrijedi:

a)  f (0)  = 1;   b)  f je parna funkcija ;

c)  f je periodična funkcija s osnovnim periodom 4c ;   d)  |f (x)| £ 1 za svaki x Î R;

e)  ako je data funkcija  f  još i neprekidna, onda je f (x) > 0 za svaki x Î [0, c).

3. Odrediti najveću površinu koju može imati četverougao čije su tri stranice međusobno jednake dužine 1.

4.  U kompleksnoj ravni je dat luk  kao skup svih tačaka z za koje je | z | = 1 i  Im (z) ³ 0 (pri čemu su tačkama A i B  pridruženi kompleksni brojevi (-1, 0) i (1, 0), respektivno). Neka su na tom luku date tačke C i D takve da važi:

i)  Tačka C pripada luku .

ii) Ugao COD je prav (gdje je O ishodište koordinatnog sistema kompleksne ravni).

Dokazati ove tvrdnje:

a) Jednačina , gdje je d kompleksni broj pridružen tački D, predstavlja jednačinu prave AD.

b) Ako je E presjek pravih AC i BD, a F presjek pravih AD i BC, onda vektor  ne zavisi od izbora tačaka C i D.

_________________________________

NAPOMENE :

1.  Vrijeme za izradu zadataka je 4 sata.

2.  Svaki zadatak je vrednovan sa 25 bodova.

3. Za vrijeme rada nije dozvoljena upotreba nikakvih tablica, digitrona i drugih pomagala osim pribora  za crtanje i pisanje. Nije dozvoljeno napuštanje prostorije u toku rada.

SRETNO!

CENTRALNA TAKMIČARSKA KOMISIJA

home  next

Novinarska sekcija Gimnazije Encoding  IE Central European Windows, 1024x768