En principio el conjunto X puede ser un conjunto de elementos cualesquiera, finito o infinito, con tal que permita establecer la relación de preferencia antedicha; si fueran números, o vectores de valores numéricos, pueden corresponder a una variable continua o discreta.

Para que exista esa relación de preferencia deberá existir una aplicación o función d tal que me permita decir que d(x0) > d(x1) o viceversa o que d(x0) = = d(x1), y esto puede ser en sentido cardinal (con números reales) o sólo ordinal.

Así si quiero optimizar en el sentido del máximo, tendré que hallar el Max d(x) = d(x0) de entre todos los valores de x correspondientes a X tal que para x perteneciente a X es d(x0) >= d(x), para cualquier x.

Puede ocurrir que más de un x cumplan con esa expresión y entonces serán indiferentes. También puede ocurrir que en lugar de maximizar debamos minimizar en cuyo caso se reemplazará el Max por el min. y el >= por el <=, pero también se puede seguir maximizando teniendo en cuenta que el Max[-f(x)] = -min.[f(x)] o bien min.[-f(x)] = = -Max[f(x)] dentro del rango de valores posibles de x, es decir que haciendo d(x) = -d'(x) se puede calcular el Max d'(x) sabiendo que su valor corresponderá al -min d(x).

Universo de la decisión Generalmente el resultado de la decisión dependerá, no sólo de la elección efectuada, sino también de un conjunto de circunstancias y hechos que no dependen del decididor, a los que llamaremos Universo en el que ocurre la decisión y que caracteriza al sistema en el cual operamos.

De acuerdo a ese Universo se caracteriza a los problemas de decisión en cuatro grupos dependiendo fundamentalmente del grado de conocimiento que tengamos de ese Universo.

La existencia del Universo implica la existencia de un conjunto Y de situaciones que se podrán presentar cada vez que el decididor elija un elemento x de X, y del par (x,y), con x perteneciente a X e y perteneciente a Y, el que determinará un resultado o compensación por la decisión que será c(x,y) producto de haber tomado la decisión x y haberse presentado el estado y, que indicará el resultado obtenido y si el mismo es mejor o peor que el que se hubiera obtenido en otras circunstancias. A los elementos de Y se los llama estados, y habitualmente por extensión del uso de la palabra Universo, se habla de estados de la Naturaleza.

De acuerdo a lo dicho entonces se clasificará al Universo de decisión entre:

A) Universo Cierto o determinístico

B) Universo Incierto

C) Universo Aleatorio

D) Universo Hostil

A) DECISION ANTE UNIVERSO CIERTO: en este caso se supone que se sabe exactamente cual es el elemento y del conjunto Y que se presentará ante cada decisión x de X, es decir que se conoce cabalmente la compensación c(x) que se obtendrá de cada decisión.

Esto ocurre cuando un elemento y de Y tiene muy alta probabilidad de ocurrencia contra una probabilidad muy pequeña o nula para los demás. También puede ocurrir esta situación cuando los valores de c(xy) son similares para cada valor de x variando los y.

En este caso la función es d(x) = c(x) y se podrá elegir el valor de x que de el mejor resultado, de acuerdo al criterio planteado (maximizar o minimizar).

1.- Una persona dispone de $40000 que desea invertir para tener una renta mensual y tiene que decidir entre las siguientes alternativas: a) Adquirir una propiedad para alquilarla como vivienda cobrando $400 por mes; b) Adquirir dos terrenos para alquilar cocheras estimando un promedio de ocho autos permanentes en cada uno a razón $40 por auto y por mes; c) Colocar el dinero en una financiera a un interés anual del 22%; d) Invertir en acciones de empresas privatizadas que le aseguran dividendos del 8% cada tres meses; e) Rentar un campo y comprar hacienda estimando ganar el 50% del capital en diez meses; f) Comprar planes de ahorro para adquisición de automóviles con los que espera obtener un beneficio mensual de $1000 pero con un 70% de probabilidad. Se debe valorizar homogéneamente todas las alternativas y decidir la más conveniente.

2.- Un comerciante desea saber cual es el lote a ordenar de un producto, de modo tal que sus costos sean mínimos, teniendo en cuenta que su demanda anual es de 6250 unidades, que considerando el capital inmovilizado, los riesgos de perdidas y deterioro y la disponibilidad de espacio, cada unidad almacenada implica un costo de $3 semanales; por otra parte, sabe que cada vez que hace un pedido incurre en costos administrativos, de fletes y de movimientos internos que son independientes de la cantidad solicitada y que según sus cálculos son de $20 por lote.

B) DECISION ANTE UNIVERSO INCIERTO: en esta situación nos encontramos cuando conociendo el conjunto X y el conjunto Y de estados de la naturaleza y las correspondientes compensaciones c(x,y) se desconocen las leyes de probabilidad que gobiernan el Universo de la decisión y por lo tanto no hay ninguna razón para darle mayores probabilidades a uno u otro.

En este estado de cosas no hay un criterio racional único que ayude a la selección, pero hay cuatro que de alguna forma representan los posibles modos de ver y atacar la situación, dependiendo la selección de uno de ellos del decididor y en base a circunstancias subjetivas y objetivas, pero de ninguna manera se puede decir que cualquiera de ellos sea preferible a los demás.

B1) Criterio del Pesimismo o de Riesgo nulo (Wald): tiende a limitar las consecuencias desfavorables de una decisión, considerando que la presentación de los estados de la Naturaleza ocurrirá de forma tal de producirle al decididor el mayor perjuicio posible ante cada decisión que adopte, es decir que presupone que ante cada decisión posible, la compensación que se recibirá será la peor de todas las posibles (colocarse en al peor situación). Es decir que ahora la función, única, de decisión (si se quiere maximizar) para cada x será: d(x) = min c(x,y) para todos los y pertenecientes a Y. De esa forma habrá que elegir la alternativa x que reporte la mejor compensación de entre todas las más desfavorables. Es decir, habrá que determinar Max d(x) = Max [ min c(x,y)] realizando la operación entre corchetes haciendo variar y para cada valor de x y luego buscando el Máximo variando x. También se lo designa, por la forma que toma la ecuación, criterio del Maximin. Aplicando este criterio se asegura de no recibir una compensación inferior a la elegida, se asegura un nivel mínimo, por eso se lo considera de riesgo nulo, pero puede no ser conveniente en todas las situaciones por ser excesivamente pesimista al despreciar totalmente las compensaciones distintas de la más desfavorable para cada alternativa de decisión. Es de aplicación por ejemplo cuando hay riesgo de vida o de situaciones altamente desfavorables pero obviamente que nadie lo utiliza todo el tiempo pues de ser así no existirían, por ejemplo, los juegos de azar

B2) Criterio de Optimismo Relativo o de Riesgo aceptable (Hurwicz): surge del anterior tratando de superar sus falencias, asumiendo que nadie considera racionalmente que en toda elección que haga va a obtener el peor resultado de todos los posibles, sino que existe un margen de optimismo, o de riesgo que se está dispuesto a correr, para cada decididor y cada situación particular, al que valoriza en una escala de 0 a 1 (o de 0% a 100%) correspondiente a considerar que ocurrirá la peor o mejor consecuencia ante cada decisión, respectivamente. Para materializar esto en la función de decisión se adopta un coeficiente a al que se le da el valor del optimismo, o de riesgo que se puede correr y para cada decisión posible se calcula: d(x) = a * Max c(x,y) + (1 - a ) * min c(x,y) o sea haciendo un promedio ponderado o pesado entre la mejor y la peor compensación para cada posible decisión. De entre todas esas d(x) se elegirá la mejor o la Máxima si como en el caso se está maximizando. Este criterio transforma al anterior en un caso particular del mismo cuando el coeficiente toma el valor 0.

Hay dos críticas fundamentales que recibe este criterio que son, por un lado lo subjetivo de la elección del coeficiente de optimismo relativo a y el hecho de considerar exclusivamente los valores extremos de compensación para cada decisión posible. Hay criterios derivados de éste que consideran tres o más valores para cada alternativa de decisión afectándolos de las potencias de a en orden creciente a medida que se reducen las compensaciones y de la diferencia con respecto a 1 a la peor de ellas.

Con respecto a la subjetividad en la determinación del coeficiente habría un atenuante si se realiza una comparación entre la alternativa que corresponde elegir para riesgo nulo (primer criterio o a = 0) y cada una da las otras alternativas, es decir igualando a * Max c(x,y) + (1 - a ) * min c(x,y) de cada alternativa a la misma expresión para la alternativa que representa riesgo nulo o pesimismo total y despejando el valor de , de modo de conocer cual es el porcentaje de riesgo que se asume ante cada decisión, o el optimismo relativo que se debe tener para elegirla; también resulta interesante hacer la comparación anterior no sólo con la alternativa de riesgo nulo, sino también entre todas las alternativas de a pares, pues ello permitirá establecer una escala de valores de a y las correspondientes decisiones más convenientes para cada rango y de esa forma minimizar la subjetividad con respecto a a .

En el ejemplo de la figura, hay tres alternativas de decisión y tres estados posibles y se han representado las compensaciones en función de a observando que los valores de a 1 y a 2 son las intersecciones que nos interesan en función de determinar los rangos de optimismo dentro de los cuales son preferibles alguna alternativa frente a las otras. Para calcularlos hacemos: 7*a 1 + 2*(1 - a 1) = 10*a 1 +1*(1 - a 1) es decir 4*a 1=1 y a 1 = 0.25

y también 10*a 2 + 1*(1 - a 2) = 12*a 2 + (-10)*(1 - a 2) es decir 13*a 2 = 11, o sea a 2 = 11/13 ~ 0.8; entonces para optimismo comprendido entre 0 y 0.25 será conveniente la decisión I, entre 0.25 y 0.8 la decisión II y para valores superiores a 0.8 se preferirá la alternativa III.

B3) Criterio de mínimo Lamento o mínimo Costo de Oportunidad (Savage): Este criterio pone en duda que la compensación c(x,y) represente la satisfacción de quien decide y propone que la satisfacción se dá en relación inversa a la diferencia entre la compensación recibida por la elección hecha y la compensación que se hubiera recibido de haber sabido el estado de la Naturaleza que ocurriría. Es decir que el sujeto decididor se lamentará de perder esa diferencia, (costo de oportunidad), y eso será para él más importante que lo que gane o pierda, por lo tanto propone buscar minimizar esa diferencia.

Para llevarlo a la Práctica se construye una nueva matriz que en lugar de las compensaciones lleva los costos de oportunidad (o lamentos) que se la designa como R = [rij] cuyos elementos son la diferencia entre la máxima compensación de su columna y la compensación correspondiente, es decir: rij = Max cij - cij , hecho esto para cada columna por separado. De ese modo quedará una nueva matriz de términos positivos que representará los costos de oportunidad de cada par, alternativa-estado a los que se deberá minimizar, aplicando sobre ésta el criterio del pesimismo desarrollado anteriormente, con la precaución de que en este caso si el problema es de maximización, a la matriz de costos de oportunidad habrá que resolverla en el sentido de minimización (si el problema original es de minimización, -matriz de costos- la diferencia tendríamos que hacerla entre el costo mínimo de cada columna y los demás costos de esa columna, pero esto daría números negativos, sobre los cuales después debería buscarse una maximización, entonces es más cómodo cambiar el sentido de las diferencias, obteniendo resultados positivos y recordando para todos los casos que en la matriz de costos de oportunidad se debe minimizar)

B4) Criterio de Equiprobabilidad (Laplace o Lagrange): este mantiene el concepto inicial de la relación entre satisfacción y compensación y basándose en el Principio de la Razón Insuficiente, que dice que si no conocemos la ley de distribución de las probabilidades de los distintos estados de la naturaleza, debemos asumir que todos tienen la misma probabilidad de ocurrencia; siguiendo ese razonamiento se considera como función de decisión d(x) para cada alternativa al promedio de las compensaciones que le corresponden a la misma para cada uno de los estados posibles de la naturaleza. La mayor dificultad con que se cuenta con este criterio es que dado que la cantidad estados posibles puede ser distinta de un decididor a otro, también los promedios pueden resultar distintos, lo que le agrega mayor grado de subjetividad a la decisión.

1.- Un mayorista se enfrenta al problema de extender un crédito de $100000 a un nuevo cliente. Tiene clasificados sus clientes en tres categorías distintas: riesgo malo, riesgo promedio y riesgo bueno. Si da el crédito, la ganancia esperada es: -$15000 con los de riesgo malo, $10000 con los de riesgo promedio y $20000 con los de riesgo bueno. Si no da el crédito pierde el cliente lo que valoriza en una pérdida de $1000. El quiere saber: a) Cual debería ser su decisión para no correr ningún riesgo; b) Valorizado en porcentaje cual sería el riesgo que correría si otorgara el crédito; c) Que debería hacer si pensara que todos los estados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrencia; d) Que debería hacer si su objetivo, más allá de la ganancia neta que obtuviera fuera tener un costo de oportunidad mínimo.

2.- Un ingeniero ha desarrollado un dispositivo electrónico y considerando que el mismo puede constituir un buen negocio, analiza dos posibilidades de las cuales desea elegir la más rentable: a) Vender la licencia por lo cual le ofrecen pagar $800. b) Fabricar por su cuenta el producto, lo que descontando materiales y mano de obra le puede reportar un beneficio de $0.60 por unidad, pero debe montar una pequeña planta cuyo costo es de $600; según sus conocimientos la demanda puede ser de 1000 o de 10000 unidades. El quiere saber: a) Cual debería ser su decisión para no correr ningún riesgo; b) Valorizado en porcentaje cual sería el riesgo que correría si se decidiera a fabricar por su cuenta; c) Que debería hacer si pensara que todos los estados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrencia; d) Que debería hacer si su objetivo, más allá de la ganancia neta que obtuviera fuera tener un costo de oportunidad mínimo.

3.- Una fábrica recibe una pieza para armar subconjuntos en lotes de 150 unidades. Sabe que los lotes pueden tener 5%, 10%, 15%, 20% ó 25% de piezas defectuosas pero no puede saber ante cada lote, a cual categoría corresponde el mismo. Puede decidir inspeccionar todas las piezas pero ello tiene un costo total y fijo de $1500 por lote, por armar el laboratorio y distraer personal de otras actividades. Si decide arriesgarse y armar los subconjuntos con las piezas como vienen puede ocurrir que en la prueba final se detecte la falla y deba rearmar el subconjunto con otra unidad lo que le costaría $80 por cada reemplazo. Desea saber cual opción es menos costosa. Se quiere saber: a) Cual debería ser su decisión para no correr ningún riesgo; b) Valorizado en porcentaje cual sería el riesgo que correría si decidiera armar sin inspección previa; c) Que debería hacer si pensara que todos los estados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrencia; d) Que debería hacer si su objetivo, más allá de la ganancia neta que obtuviera fuera tener un costo de oportunidad mínimo.

C) DECISION ANTE UNIVERSO ALEATORIO: Este caso ocurre cuando se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los estados y de Y, o sea hay información, sobre la ley de probabilidad que gobierna el Universo. Se tiene entonces una variable aleatoria c(x,y) con distribución de probabilidad conocida y esta situación permite que se utilice una herramienta del cálculo de probabilidades, que es la Esperanza Matemática, lo que dará una función de decisión de valor único para cada alternativa y esta será: d(x) = E[c(x,y)] = =S c(xyi)*p(yi) donde la Sumatoria (S ) se realiza entre i = 1 hasta i = m y se obtiene este valor para cada una de las alternativas x de X y permite seleccionar la más favorable en base al mismo criterio imperante para las compensaciones. Esta decisión será valida cuando el proceso de decisión sea repetido un número grande de veces bajo las mismas condiciones, en cuyo caso el promedio de los resultados tendrá un valor tanto más próximo al de la Esperanza Matemática, cuanto mayor sea el número de veces que se repita la situación. Para decisiones únicas o poco frecuentes, la confiabilidad de este criterio es similar a la de los cuatro criterios expuestos para Universo Incierto.

Además la utilización de la Esperanza Matemática se debe hacer teniendo en cuenta dos limitaciones adicionales: la primera de ellas está en relación a las diferencias que pueden existir en las curvas de distribución de probabilidad de las compensaciones resultantes de cada decisión posible, así por ejemplo si la

figura representa dos alternativas posibles de inversión se ve que si bien la Esperanza matemática para ambas puede ser la misma, la c(x₁y) tiene más probabilidad de tomar valores bajos o altos que la c(x₂y), que se mantendrá más dentro de valores cercanos a su media, es decir que también la distribución es importante y si quisiéramos ser más precisos deberíamos considerar también la desviación standard y las asimetrías que pudieran tener las distribuciones; la otra limitación que debe tenerse en cuenta es la llamada Probabilidad de Ruina que surge de considerar que si bien la situación va a repetirse muchas veces y que el resultado promedio será próximo a la Esperanza Matemática, las situaciones desfavorables pueden llegar a agruparse en las primeras repeticiones y el decididor que no prevea esta situación puede llegar a arruinarse y perder la posibilidad de seguir operando y por lo tanto de recuperarse en las restantes oportunidades.

1.- Para el ejercicio 1. de Universo Incierto, determinar la decisión más conveniente asumiendo que la cantidad de veces que la situación se presentará justifica considerar los valores promedio de perdidas y ganancias y que la experiencia del mayorista dice que 25% de los clientes que se presentan en esta situación constituyen riesgo malo y que el 45% son de riesgo promedio.

2.- Para el ejercicio 2. de Universo Incierto, asumiendo posibles errores de estimación de costos y demanda, asígnese 70% de probabilidad a la demanda de 1000 unidades y calcúlese la mejor alternativa en ese caso.

3.- Para el caso del ejercicio 3. de Universo Incierto, se ha observado que no todos los tipos de lote se presentan con la misma frecuencia, sino que los que tienen probabilidad de falla del 5%, se presentan el 30% de las veces, los de 10% de probabilidad de falla también se presentan el 30% de las veces, pero los de probabilidad 15% aparecen con frecuencia 20% y los de 20% y 25% de probabilidad de falla aparecen sólo el 10% de las veces cada uno. Calcular la decisión más conveniente en ese caso.

Como ya se ha visto la clasificación de un caso dentro de un tipo u otro de Universo depende, además de las razones subjetivas que pueda tener el decididor, de la información que se tenga del medio, los hechos y circunstancias, que influyen en el proceso de decisión. En el caso de Universo Aleatorio vimos las limitaciones con que debe tomarse la información de probabilidad, pero también cuando estas se tienen en cuenta los beneficios que pueden obtenerse son considerables. En el caso de Universo Incierto vimos que es posible aplicar un criterio de equiprobabilidad para los distintos Estados de la Naturaleza. Algunos autores proponen también el uso de probabilidades subjetivas basadas en experiencias no rigurosamente registradas y otros asignan a los estados una distribución de tipo binomial (repetición n veces de un suceso que tiene dos resultados posibles, con probabilidad p y 1-p respectivamente) con pj = (nj)*pj*(1-p)n-j. Cualquiera de estas que sea la situación, siempre es factible la realización de pruebas o experimentos que mejoren la información de probabilidad o que permitan acercarse más al conocimiento de cual puede ser el verdadero estado de la naturaleza que se presentará para la decisión en curso. Cuando se hace así se designa probabilidad a priori a la información procedente de cualquiera de las alternativas anteriores y probabilidad a posteriori a la que se obtiene luego de efectuar el experimento y conocer los resultados.

Obviamente que la realización de cualquier tipo de consulta o prueba tiene aparejado un costo y entonces debe analizarse si el beneficio económico que la mejora de información puede aportar, justifica el costo que por ella se pagará. Una primera estimación útil que puede obtenerse, es calcular cuanto podría pagase por la información perfecta, es decir la que ante cada circunstancia que se deba tomar la decisión, aporte el conocimiento exacto del estado de la naturaleza que se presentará; ejemplo, sea un proceso con dos alternativas de decisión y dos estados posibles como los de la tabla:

ALTERNATIVAS ESTADOS POSIBLES

probabilidad 40% 60% Esperanza Mat.

Decisión I 800 300 500

Decisión II 500 900 740

Aplicando la Esperanza Matemática calculamos la columna de la derecha y la elección recaerá en la Decisión II con una ganancia esperada de 740, sin embargo si nos aportaran la información perfecta para cada circunstancia (los Estados se seguirán presentando en la frecuencia dada por las probabilidades) haríamos en cada caso la decisión más adecuada y ganaríamos: 800*0.4 + 900*0.6 = 860, es decir que la diferencia entre 860 y 740 que es 120 es lo máximo que podría pagarse por la información perfecta.

Como todos los métodos de ensayo o experimentación son imperfectos hay que determinar en cada caso cuanto puede llegar a pagarse por la mejora y para eso se utiliza lo que se llama el Análisis Bayesiano.

Para ello es necesario recordar dos expresiones derivadas del cálculo de probabilidades; la primera es derivada de la regla de Multiplicación de Probabilidades que se expresa como: P(S1/m 1) * P(m 1) = P(m 1/S1) * P(S1) y que significa que la Probabilidad (condicional) del suceso S1, habiendo ocurrido previamente el suceso m 1, multiplicada por la Probabilidad de ocurrencia de m 1 aisladamente, es igual a la Probabilidad (condicional) de ocurrencia del suceso m 1, habiendo ocurrido primero el suceso S1 multiplicada por la Probabilidad de ocurrencia del suceso S1 aisladamente y ambas expresiones representan la probabilidad de presentación simultánea de los dos sucesos; la segunda es la formula de la Probabilidad Total que se expresa como: P(m 1) = P(m 1/S1) * P(S1) + P(m 1/S2) * P(S2) + ..........+ P(m 1/Sn) * P(Sn) que significa que si la aparición del suceso m 1 se produce en presencia de S1 ó S2 ó .......ó Sn, y sólo en presencia de uno, constituyendo éstos un sistema completo de sucesos mutuamente excluyentes (la suma de sus probabilidades es igual a 1), su probabilidad será igual a la suma de las probabilidades de aparición simultánea de cada uno de los sucesos Si junto con m 1.

Juntando ambas expresiones se llega a la Fórmula de Bayes: P(S1/m 1) = ={P(m 1/S1)*P(S1)} / {P(m 1/S1)*P(S1) + P(m 1/S2)*P(S2) +......+ P(m 1/Sn)*P(Sn)} En el caso de evaluar la información adicional se utilizará los Si para representar los Estados posibles y los m i serán los resultados posibles del ensayo o prueba; esa expresión estaría entonces diciendo que la Probabilidad corregida o a posteriori del estado S1 dado como resultado de la prueba, m 1 es igual al producto de la probabilidad de aparición del resultado m 1 en presencia del Estado S1 por la probabilidad a priori del estado S1 dividido por la probabilidad total de obtener el resultado m 1. La probabilidad de aparición de los distintos resultados de la prueba en presencia de los Estados de la Naturaleza posibles, surgen de experiencias anteriores y que el proveedor de dicho ensayo proporcionará a fin de certificar las bondades de su producto.

De esta forma se podrá conocer la nueva distribución de probabilidad de los Estados en base al resultado que se obtenga de la prueba y con ella volver a calcular la Esperanza Matemática que permita hacer la selección de la alternativa más conveniente; pero además la Fórmula de Bayes permite conocer cuales serían los valores corregidos de las probabilidades para todos los resultados posibles de la prueba, antes que esta se efectúe y, conjuntamente, las Esperanzas Matemáticas para todas las situaciones posibles, de modo de poder determinar de antemano una estrategia de decisiones y un valor esperado del resultado, el que comparado con el valor esperado sin prueba permitirá determinar cual es el costo máximo que se puede aceptar para dicha prueba y en definitiva si la misma es o no conveniente. Para efectuar este análisis se utiliza una herramienta de mucha utilidad, derivada de la Teoría de Redes, que son los árboles de decisión, siendo la figura que sigue un ejemplo de ello.

Este ejemplo corresponde a un caso de dos decisiones posibles, con tres estados (resultados) posibles y una prueba con dos resultados probables. Se dibuja el árbol de izquierda a derecha, partiendo de la primera decisión que es realizar o no la prueba, la parte superior que corresponde a no realizar la prueba, se continúa en dos decisiones posibles de las cuales salen las tres alternativas correspondientes a los estados de la naturaleza posibles. Por la parte inferior se continúa con los dos (pueden ser más) resultados posibles de la prueba y a continuación las correspondientes decisiones y estados que pueden aparecer, que son idénticos a los de la parte superior.

Para calcular los valores de los nodos, que en definitiva serán los determinantes de las decisiones, se trabaja de derecha a izquierda. Los cuadros de extrema derecha representan las compensaciones reales que se obtendrían de tomar una de las decisiones y que se produzca uno de los estados probables. El tercio superior representa la decisión sin prueba y los dos tercios inferiores representan la decisión con prueba, por lo tanto los resultados de éstos últimos deben ir afectados del costo de dicha prueba.

Sobre cada rama de estado probable se coloca el valor de su probabilidad, lo que multiplicado por el correspondiente resultado que se encontrará a la derecha, dará su contribución a la Esperanza Matemática; luego sumadas todas las ramas que concurren a un círculo se obtiene el valor de Esperanza correspondiente a esa decisión el que se coloca en ese círculo.

Se sigue avanzando de derecha a izquierda, al encontrar un cuadrado quiere decir que corresponde a una alternativa de decisión y como se decide por la Esperanza Matemática, se coloca allí el valor correspondiente a la rama que maximiza (o minimiza, según el sentido de la optimización) la Esperanza. Se continúa así hacia la izquierda llenando todo el árbol, recordando que los cuadrados representan situaciones de decisión y los círculos situaciones aleatorias no gobernadas por el decididor. Si el costo de la prueba se conoce de antemano, se podrá llegar al último cuadrado de la izquierda y conocer el valor esperado total y los valores esperados con y sin la prueba y la correspondiente decisión más conveniente.

Superada la etapa de decisión de hacer o no la prueba, el árbol se constituye siempre de etapas de decisión y de probabilidad intercaladas.

Para los casos en que es imposible contar con una probabilidad a priori, el resultado de una prueba puede ser el factor condicionante para tomar una decisión y en ese caso, si bien ya no se puede utilizar la Esperanza Matemática, se puede definir una Función de Riesgo asociada a esa Estrategia de la siguiente forma: sea la estrategia, decidir d1(x) cuando m = m i como sigue: d1(x) = D1 para x = m 1

y d1(x) = D2 para x = m 2 a la que se desea comparar con la d2(x) definida como: d2(x) = D2 para x= m 1

y d2(x) = D1 para x = m 2

La función de Riesgo para d1(x) será: R(d1,S) = Max {R(d1,S1); R(d1,S2)} donde R(d1,S1) = -C(D1S1) * P(m 1/S1) -C(D2S1) * P(m 2/S1) + CP

y R(d1,S2) = -C(D1S2) * P(m 1/S2) -C(D2S2) * P(m 2/S2) + CP donde los C(D,S) representan los resultados del par decisión D, estado S y van con signo negativo para darle al riesgo un sentido de costo; CP es el costo de la prueba o ensayo. Así se podrán comparar los riesgos de las distintas estrategias y elegir aquella que lo minimice.

1.- Para el ejercicio 1. de Universo Aleatorio, determinar: a) cuanto podría llegar a pagarse por conocer exactamente la clasificación que le corresponde al cliente que se presenta en cada oportunidad (información perfecta); b) la conveniencia de efectuar una consulta con una organización dedicada a la calificación de deudores que cobra $2000 y cuyos resultados (información imperfecta) al cabo de muchos años demuestran que: de 100 veces que un cliente resulto malo, 50 veces ellos lo pronosticaron así y 40 veces lo evaluaron como promedio; de 100 veces que el cliente resultó promedio su evaluación fue acertada 50 veces y 40 veces lo pronosticaron como malo; de 100 veces que el cliente resultó bueno, 40 veces lo habían calificado así y otras 40 veces lo habían ubicado en el promedio

2.- Para el ejercicio 2.- de Universo Aleatorio y suponiendo que ambas alternativas de demanda son igualmente posibles, se desea saber cuanto podría pagarse por la información perfecta y si conviene hacer un estudio de mercado, de información imperfecta, cuyo costo es de $200, por parte de una empresa, cuyos antecedentes muestran un 85% de acierto cuando pronosticó baja demanda y un 95% de acierto cuando pronosticó alta demanda.

3.- Para el ejercicio 3.- de Universo Aleatorio, se quiere saber hasta cuanto se podría pagar por tener la información perfecta sobre el tipo al que corresponde el lote recibido y cuanto por un ensayo externo (en un laboratorio privado) de una pieza de cada lote, teniendo en cuenta que ese ensayo dará como resultado, solamente, BUENA o DEFECTUOSA.

D) DECISION ANTE UNIVERSO HOSTIL: En este caso se debe considerar un Universo donde la ocurrencia de alguno de los Estados posibles y de Y no se produce al azar sino por la elección de un opositor inteligente, que a fin de obtener su mayor beneficio procurará hacerle al decididor el mayor perjuicio. Esto se conoce también como Teoría de Juegos o Juegos de Estrategia y dentro de éstos un caso particular, que es el que se estudia en este curso, es de dos jugadores y suma cero (quiere decir que todo lo que pierde o gana un jugador lo gana o pierde el otro respectivamente). Se asume siempre que ambos jugadores son igualmente inteligentes y racionales y que cada decisión de un jugador es efectuada con total desconocimiento de la jugada que efectúa el oponente (como si ambos escribieran su jugada en un papel y luego fueran leídas por un tercero).

En estas circunstancias será totalmente racional que cada jugador elija una estrategia del tipo de las presentadas por el criterio pesimista, extrayendo las peores consecuencias de cada decisión y eligiendo de entre todas ellas a la mejor. La matriz, que ahora se llama matriz de pagos, se construye igual que para los problemas de decisión como si el decididor fuera un jugador (habitualmente el jugador I), con todas sus alternativas, y el Universo es reemplazado por el oponente, representando lo que antes eran los estados, ahora las alternativas de éste. La matriz de pagos se construye de forma tal que los pagos (reemplaza lo que antes eran las compensaciones) representan las ganancias del jugador I (cuyas alternativas corresponden a filas) y consiguientemente las pérdidas del oponente o jugador II (cuyas alternativas corresponden a columnas). Entonces el Jugador I elegirá el Máximo de los mínimos (el Maximin) y por eso se lo designa como maximizante y el jugador II elegirá el mínimo de los máximos (el miniMax) y por eso se lo designa como minimizante.

Si la elección hecha por ambos jugadores, recae en el mismo par (x,y), diremos que el juego tiene punto de equilibrio, es decir que ambos jugadores elegirán su estrategia más conveniente y esta dará como resultado el pago que recibirá el jugador maximizante (que también podrá ser una pérdida y entonces llevará signo negativo) por parte del minimizante (que será ganancia para éste si lleva signo menos). En este caso el valor del pago, ubicado en la intersección de la fila elegida por el maximizante y la columna elegida por el minimizante, se lo designa Valor del Juego, porque si ninguno comete un error siempre el juego se resolverá de esa forma, ya que le garantiza al Jugador Maximizante tener como mínimo ese beneficio (mayor si el minimizante se equivoca) y al minimizante tener como máximo esa pérdida (menor si el maximizante se equivoca). Al punto de equilibrio algunos autores lo llaman punto de silla de montar.

No todos los juegos tienen punto de equilibrio y en ese caso no hay un razonamiento válido que haga que cada jugador prefiera una alternativa frente a otras, dado que cada uno puede inferir la jugada del otro y cambiar en consecuencia y lo mismo puede hacer el contrario, lo que lleva a cada uno a un círculo vicioso que le impide seleccionar racionalmente una estrategia. No obstante en esta situación el juego puede ser resuelto si se admite la realización de varias jugadas (jugadas múltiples), es decir que cada jugador pueda efectuar un número grande de decisiones alternando las posibles alternativas. Aún así, para que cada uno no pueda inferir la próxima jugada del otro, ambos deberán dar a sus alternativas pesos probabilísticos, que veremos como calcular, y generar las decisiones por algún mecanismo aleatorio (por ejemplo mediante un sistema que genere números al azar entre 0 y 100, asignando rangos, de magnitud dada por los pesos probabilísticos, a cada alternativa).

Cuando hay posibilidad de jugadas múltiples en las condiciones establecidas en el párrafo anterior, el juego nuevamente tiene un valor, que le asegura al maximizante una ganancia mínima ( o pérdida máxima) y al minimizante una pérdida máxima (o ganancia mínima). Hay un teorema, denominado de Von Neumann, que dice, que todo juego tiene solución, es decir hay un valor determinado, que indica la ganancia del jugador maximizante y la pérdida del minimizante y que se obtiene cuando el jugador maximizante juega su estrategia óptima y el jugador minimizante también elige su estrategia óptima. En estas condiciones el juego con punto de equilibrio para una sola jugada, sería un caso particular en el cual hay una alternativa para cada jugador que recibe el 100% de peso probabilístico, siendo las otras totalmente descartables, es decir son juegos que se resuelven mediante una estrategia pura y no con combinaciones lineales de varias o todas las estrategias disponibles por cada jugador.

Entonces el Jugador I tendrá una estrategia X = (x1,x2,...........xm), tal que la S ₁^m xi = 1, y simultáneamente el Jugador II tendrá una estrategia óptima

Y = (y1,y2,.............yn) tal que S ₁ⁿ yj = 1, para las cuales se cumplirá que:

x₁a_1j + x₂a_2j + .................. + x_ma_mj >= V para j = 1,2,.............,n y y₁a_i1 + y₂a_i2 + ................... + y_na_in <= V para i = 1,2,..............,m, siendo V el valor del juego y todos los valores de xi e yj no negativos.

Si la estrategia óptima para el jugador I cumple en algún j sólo con la desigualdad de ser mayor que V el peso probabilístico yj correspondiente para el jugador II es cero, pero la recíproca no siempre es cierta. Si la estrategia óptima para el Jugador II, da para algún i sólo la desigualdad de menor, el peso probabilístico que deberá tener la decisión i para el jugador I será cero, es decir xi = 0, pero la recíproca no siempre es cierta.

El método de resolución se basa en los siguientes teoremas:

Teorema 1: En una matriz de pagos, el máximo de los mínimos es siempre menor o igual que el mínimo de los máximos y viceversa.

Este se demuestra, porque, haciendo variar x ocurre que el máximo de cada columna es mayor o igual a los valores de su columna: Maxxf(x,y) >= f(x,y) (por definición de máximo), para cualquier valor de y es decir para todas las columnas y por lo tanto el menor de ellos Miny[Maxxf(x,y)] seguirá conservando esa propiedad (será mayor o igual que cualquiera de su columna); algo parecido ocurrirá con los mínimos que se obtengan variando y (por fila) Minyf(x,y) <= f(x,y) para cualquier x (fila), es decir que los mínimos obtenidos por fila serán menores o iguales que cualquier valor correspondiente a su fila (por definición de mínimo) y por lo tanto el mayor de ellos Maxx[Minyf(x,y)] seguirá conservando esa propiedad, es decir seguirá siendo menor o igual que cualquier otro de su fila, uno de los cuales pertenecerá a la columna del Miny[Maxxf(x,y] y será por la definición de máximo, menor o igual a éste por lo que resulta que: Maxx[Minyf(x,y)] <= Miny[Maxxf(x,y] de la misma forma se puede demostrar que: Maxy[Minxf(x,y)] <= Minx[Maxyf(x,y] es decir que en general para este tipo de configuraciones es:

Max min <= min Max o bién que el min Max >= Max min, y ello es lógico también por cuanto el máximo de los mínimos es por sobre todas las cosas un mínimo y el mínimo de los máximos es un máximo y por lo tanto será mayor o igual que aquel.

Teorema 2: La condición suficiente y necesaria para que el Maxx[Minyf(x,y)] = Miny[Maxxf(x,y] es que haya punto de equilibrio (o de silla).

a) es condición suficiente porque: designando al punto de equilibrio como (x0,y0) será por definición del mismo f(x0,y0) >= f(x,y0) para cualquier valor de x, y por lo tanto también para el mayor de ellos, es decir: f(x0,y0) >= Maxxf(x,y0) y por extensión f(x0,y0) >= minyMaxxf(x,y), pues lo peor que podría ocurrir sería que la columna de y0 correspondiera al miny, pero además f(x0,y0) <= f(x0,y) para cualquier y, y entonces por el mismo razonamiento anterior f(x0,y0) <= minyf(x0,y) <= Maxxminyf(x,y), juntando ambas conclusiones será: Maxxminyf(x,y) >= f(x0,y0) >= minyMaxxf(x,y) contrapuesto a lo establecido por el primer teorema, por lo tanto la única posibilidad de que se cumplan ambas es que sea :

Maxxminyf(x,y) = f(x0,y0) = minyMaxxf(x,y) = V, o sea que además el punto de equilibrio es a la vez mínimo de su fila y máximo de su columna.

b) es condición necesaria porque: siendo Maxxminyf(x,y) = minyMaxxf(x,y) y designando y0 al valor que hace minyf(x,y) y x0 al que hace Maxxf(x,y), será Maxxf(x,y0) = minyf(x0,y), pero por definición de máximo será Maxxf(x,y0) >= f(x0,y0) y por lo anterior queda: minyf(x0,y) >= f(x0,y0) entonces por extensión será: f(x0,y) >= f(x0,y0), es decir que f(x0,y0) constituye un mínimo de fila; de la misma forma puede demostrarse que f(x,y0) <= f(x0,y0) es decir que f(x0,y0) constituye el máximo de columna, siendo ésta y la condición anterior las necesarias para la existencia de punto de equilibrio o silla.

E(X,Y) = 1m1n aij*xi*yj siempre existirán las estrategias X* e Y* tales que: E(X,Y*) <= E(X*,Y*) <= E(X*,Y) y esas X* e Y* serán estrategias óptimas pues si el jugador I juega la X* gana por lo menos E(X*,Y*) y si II juega la Y* no pierde más de E(X*,Y*).

Teorema 4: Para cualquier juego rectangular existen las cantidades MaxxMiny E(X,Y) y MinyMaxx E(X,Y) y son iguales, lo que equivale a decir que existen siempre estrategias mixtas óptimas para ambos jugadores.

Este se demuestra en base a una propiedad matemática que dice que, dados dos vectores X = (x1,x2,x3,.............xm) e Y = (y1,y2,y3,.................yn) tal que S ₁^mxi = 1 con xi >= 0 y S ₁ⁿyj = 1 con yj >= 0 siempre se verifica uno de los dos grupos de desigualdades que están a continuación:

a_i1*y₁ + a_i2*y₂ + a_i3*y₃ +........................+ a_in*y_n <=0 para i = 1,2,3, ....., m a_1j*x₁ + a_2j*x₂ + a_3j*x₃ +........................+ a_mj*x_m>=0 para j = 1,2,3, ....., n Si se cumple el primero será:

E(XY) = S ₁^mS ₁ⁿ a_ij*x_i*y_j =S ₁^m(a_i1*y₁ + a_i2*y₂ + a_i3*y₃ +.........+ a_in*y_n)*x_i<= 0 para cualquier (X), y por lo tanto:

Maxx E(XY)<= 0 y también minyMaxx E(XY) <= 0 si el grupo que se cumple es el segundo se verifica que: Maxxminy E(XY) >= 0 y como uno de los dos se debe verificar nunca se puede dar la situación opuesta que sería: {Maxxminy E(XY) < 0 < minyMaxx E(XY)} y por lo tanto deberá ser:

Maxxminy E(XY) >= minyMaxx E(XY) que por ser contrapuesto a lo demostrado en el primer teorema {Max min <= min Max} exige que sea:

Maxxminy E(XY) = minyMaxx E(XY). Cabe aclarar que sumando o restando un mismo valor cualquiera a los aij se efectúa la misma demostración para valores de la desigualdad distinto de 0.

Resolución de un Juego: Se deberá buscar si hay punto de equilibrio o de silla, utilizando el Maxmin y el minMax o bien explorando la matriz y aprovechando la propiedad del mismo, que debe ser máximo de su columna y mínimo de su fila. Si no hay punto de equilibrio deberán buscarse las estrategias mixtas óptimas. Si alguno de los dos jugadores tuviera sólo dos alternativas, se puede aplicar un método gráfico sencillo aprovechando que los pesos probabilísticos que se deberá asignar a cada una serán complementarios, entonces representando en el espacio de x1,v (ó y1,v), las expresiones:

c11*x1 + c21*(1 - x1) >= v correspondiente a la alternativa 1 del oponente y c12*x1 + c22*(1 - x1) >= v correspondiente a la alternativa 2 del oponente y c13*x1 + c23*(1 - x1) >= v para la alternativa 3 del oponente, donde los cij son las ganancias obtenidas por el jugador I (de pesos probabilísticos representados por xi), con los subíndices representando i a las filas y j a las columnas y v es el valor del juego; esto se hará sólo para la región comprendida entre x1 = 0 y x1 = 1 mediante rectas representativas de las correspondientes ganancias que se obtendrían ante cada estrategia pura del oponente. La intersección de dos o más de ellas que represente la máxima ganancia, estará dando el valor de x1 que corresponde al peso probabilístico que se deberá asignar a esa alternativa o estrategia pura asignándole el valor complementario (1 - x1) a la otra. Ese valor podrá obtenerse en forma algebraica igualando esas alternativas.

En el gráfico anterior se muestra la solución de un juego, donde el jugador II tiene dos alternativas posibles, la 2 y la 1, y el jugador I tres alternativas, la 1, la 2 y la 3. En este caso se representan (en dos dimensiones) las compensaciones que puede obtener el jugador II ante cada estrategia pura del jugador I. Como él es minimizante y dado que puede estar seguro de que no pagará más que el máximo de los valores que corresponde a cada una de las rectas (trazado grueso), buscará el óptimo como el mínimo de esos máximos, que lo obtiene por la intersección de las 2 y 3 del jugador I. Igualando esas dos obtiene el valor de y1* = 4/11 y con éste puede calcular el valor del juego, que resulta ser 52/11. Con estos datos (que también los puede calcular el Jugador I) se pueden sacar las frecuencias x1,x2 y x3 del jugador I, que resultan x1= 0, x2= 2/11 y x3= 9/11.

Cuando ambos jugadores tienen más de dos alternativas deben utilizarse procedimientos más complejos, uno de ellos, quizás el más conveniente para quién esté acostumbrado a las técnicas de Investigación de Operaciones, es llevando el planteo a un modelo de Programación Lineal como sigue:

Representando por pi los pesos probabilísticos (o componentes de la estrategia mixta óptima) del jugador I y por qj los del jugador II será en el caso más general:

S ₁ⁿ cij*qj <= v para i = 1,2,3,.....,m, con S ₁ⁿ qj = 1 y 0<=qj<=1 para el II

y S ₁^m cij*pi >= v para j = 1,2,3,.....,n, con S ₁^m pi = 1 y 0<=pi<=1 para el I; haciendo un cambio de variables, denominando qj' = qj/v y pi' = pi/v nos quedan dos problemas de programación lineal, de los cuales podemos seleccionar el que resulte más conveniente para resolver, que son:

Maximizar S ₁ⁿ q'j = 1/v sujeto a q'j >=0 y S ₁ⁿ cij*q'j <= 1 o bien

minimizar S ₁^m p'i = 1/v sujeto a p'i >=0 y S ₁^m cij*p'i >= 1

Relaciones de Dominancia: Algunas alternativas de decisión (para cualquier Universo), no se utilizarán nunca por ser dominadas por otra u otras; es el caso en que esas alternativas sean preferibles a la primera, cualquiera sea el Estado de la Naturaleza o la decisión del opositor que ocurra. Lo mismo ocurre cuando una alternativa surge como combinación lineal de otras, ya que es dominada por esas. Al eliminar alternativas dominadas en Universo Hostil pueden aparecer alternativas dominadas para el oponente que al eliminarlas puede hacer aparecer nuevas dominadas que deberán ser también eliminadas, continuando hasta que no se puedan eliminar más. Una vez hecho esto se aplicarán los criterios o procedimientos de resolución correspondientes.

1.- Dos empresas comparten el mercado de un producto. Cada una desea arrebatar parte de las ventas a la otra para lo cual cuenta con tres alternativas: 1) mejorar el empaque, 2) aumentar la publicidad, 3) reducción de precio. Las tres alternativas tienen costos comparables y estos son suficientemente grandes como para que cada una adopte sólo una. El efecto porcentual de cada combinación de alternativas que elijan las empresas esta dado por el cuadro:

Empresa II 1 2 3 Se quiere saber que le conviene

hacer a cada empresa si cada

Alternativas 1 0 1 2 una debe hacer su elección sin

Para la 2 -1 2 -2 conocer cual va ser la elección

Empresa I 3 -2 -3 3 de la otra.

2.- El sindicato y la gerencia de una compañía negocian el salario del personal; no se ponen de acuerdo porque la gerencia no acepta pagar más de 1,4$/hora y el sindicato no acepta percibir menos de 1,9$/hora. Deciden acudir al Ministerio de Trabajo y este ha solicitado a cada uno que confidencialmente le entregue una propuesta razonable, redondeada a los $0.1 más cercanos. Por experiencias anteriores ambos saben que el Ministerio siempre adopta la propuesta del lado que más cede en sus pretensiones y si ambos ceden lo mismo (aún cuando no ceden nada) establece un valor intermedio. Se quiere saber cuanto debe proponer cada uno para obtener un beneficio máximo.

3.- Dos compañías compiten por un mercado y desean captar clientes de la otra mediante la aplicación combinada de dos políticas de ventas A y B para la compañía I de costos similares y C y D para la compañía II también de costos parejos; los rendimientos, medidos en porcentaje de clientes que la I le arrebata a la II están dados por el cuadro:

COMPAÑIA II

POLITICA C D

DE VENTAS

COMPAÑIA I A 11 -5

B 2 6

Se desea saber que le conviene hacer a cada una.

SOLUCION DE PROBLEMAS

UNIVERSO CIERTO:

a) $400

La alternativa más conveniente es la (e).

2.- Los costos promedio semanales de almacenamiento, suponiendo una demanda constante, dentro del período T de reabastecimiento, serán.- (1/2)*n*$3.T, siendo n la cantidad de producto de un lote y justificando el (1/2) por lo del "promedio" (ver modelos de stock en la bibliografía recomendada). El costo fijo por reposición es de $20 y no depende del lote ni del tiempo, por lo tanto el costo 1 promedio por período es: [$20 + (1/2)*n*$3*T] y para conocer el costo total de la operación, al cabo del año completo, habrá que multiplicar esa cantidad por el número de lotes que se ordenen en el año que será r=(6250/n) = (52/T), teniendo en cuenta que la demanda está referida a un año, que consideramos de 52 semanas y que el costo de almacenamiento es un dato semanal. Como lo que queremos conocer es el lote n que hace óptimo el costo total de la operación (solución de compromiso entre almacenar mucho y estar seguro o almacenar poco y perder ventas) y este toma valores distintos para cada valor de n (hay un continuo de alternativas y compensaciones), debemos encontrar el óptimo de [20+(1/2)*n*T*3]*r = [20*r + (1/2)*n*T*3*r] = [20*(6250/n) + (1/2)*n*3*52], donde la primer parte representa los costos totales por realizar pedidos y la segunda los costos totales por almacenar. Sabemos que el mínimo de una función continua lo obtenemos en el punto en que la derivada primera de esa función respecto de la variable se hace cero, cuando su derivada segunda es positiva. Para el caso: [d(20*6250/n,)/dn] +[d((1/2)*n*3*52)/dn] = -20*6250/n² +52*(3/2) = 0 de donde n_óptimo = [20*6250*2/(52*3)]^(1/2) = 40. Esto quiere decir que la cantidad óptima a ordenar, el lote óptimo, es de 40 unidades y el correspondiente período de reposición sería: 52*n_o/6250 = 1/3 semana. El costo total de la operación en ese caso será: (20*6250/40)+(40*3*52/2) = 6245$ por año, aproximadamente 120 por semana (recordemos que se pide tres veces por semana a un costo de $20 por pedido y se paga por almacenamiento 40*3*(1/2)*(1/3) por período, o sea $60 + $60 por semana).

UNIVERSO INCIERTO:

ALTER- RIESGO CLIENTE PEOR

NATIVAS MALO PROMEDIO BUENO RESULTADO

DAR CREDITO -$15000 $10000 $20000 -$15000

NO DARLO -$1000 -$1000 -$1000 -$10000

Lo más conveniente, sin correr riesgos (el maximin) corresponde a $1000 no dando el crédito.

Para la primera alternativa: (1/3)*(-15000+10000+20000) = $5000

Para la segunda alternativa: (1/3)*(-1000-1000-1000) = $-1000 por lo tanto bajo este criterio conviene más la primera opción.

d) Armamos un nuevo cuadro con los costos de oportunidad (o lamentos) reemplazando cada compensación por la mejor de su columna menos el valor de compensación original:

ALTER- RIESGO CLIENTE PEOR

NATIVAS MALO PROMEDIO BUENO RESULTADO

DAR CREDITO $14000 $0 $0 $14000

NO DARLO $0 $9000 $19000 $19000

como hablamos de costos, el peor resultado lo hallamos buscando el más grande de cada alternativa y el más conveniente será el menor de los dos, es decir el correspondiente a la primera.

ALTERNATIVAS 1000 10000

FABRICAR 0 5400

VENDER 800 800

si no desea correr riesgos debería vender la licencia, pues lo peor que le puede pasar en ese caso es ganar $800 contra ganar $0 si se aventura en la f abricación.

Si quiere saber que Porcentaje de riesgo implica tomar la decisión de fabricar, tomando en cuenta el beneficio máximo y comparándolo con la compensación de la otra alternativa, calcula el porcentaje de riesgo como: 800/5400 = 15%.

Si lo importante para él es no tener que lamentarse por decisiones erróneas, construye la nueva matriz 800 0

de costos de oportunidad como: 0 4600 y observa que la mejor elección entre los peores resultados, es la primer alternativa (fabricar) pues de salirlele mal, solo tendrá que lamentar haber dejado de ganar $800.

Si considera que ambas demandas pueden ser igualmente probables y decide aplícar la Esperanza Matemática, la alternativa Vender la Licencia, seguirá resultando de $800 pero la aternativa Fabricar, valdrá ahora: 0*0.5 + 5400*0.5 =2700, lo que la hace más atractiva, siempre y cuando se tenga bien en cuenta la interpretación de valor promedio que debe darse a la Esperanza Matemática.

3.- El cuadro de costos será: TIPO DE LOTE

probabílidad de falla: 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

ALTERNATIVAS

INSPECCION TOTAL 1500 1500 1500 1500 1500

ARMAR SIN INSPECCIONAR 600 1200 1800 2400 3000

a 600 + (l-a )*3000 = 1500

de donde obtiene el valor de a = (3000-1500)/(3000-600) = 62.5%.

Si quiere conocer el costo de oporturlidad de cada decisión construye la nueva matriz de costos como:

ALTERNATIVAS 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

INSPECCION TOTAL 900 300 0 0 0

ARMAR SIN INSPECCIONAR 0 0 300 900 1500

donde se observa que le costaría más la segunda alternativa pues sus costos tendrían un incremento de $1500 respecto al mínimo posible, por lo tanto elegiría la primera alternativa. Si considera que cualquier tipo de lote es igualmente probable, calcula el costo esperado de la segunda alternativa como: (600 + 1200 + 1800 + 2400 + 3000)/5 = 1800 que es mayor que los 1500 que implica la primera, por lo tanto elige la INSPECCION TOTAL.

UNIVERSO ALEATORIO:

En estas condiciones, lo más conveniente es dar, el crédito. Sí quisiéramos saber cuanto valdría la información Perfecta, deberíamos evaluar el beneficio, que la misma produciría al permitirnos en cada caso adoptar la mejor alternativa, es decir: -1000*0.25 + 10000*0.45 + 20000*0.3 = 10250, lo que significa una diferencia de 3500 con la mejor opción que plantea la Esperanza Matemática de la alternativa dar crédito siempre, con la Informadón Disponible.

2.- Esperanza Matemática por vender licencia, sigue siendo de $800, pero la correspondiente a la alternativa Fabricar, vale ahora: 0.7*0 + 0.3*5400 = $1620, todavía holgadamente superior a la primera. Si la situación se planteara, con suficiente frecuencia, como para considerar un promedio, la opción Fabricar, todavía es buena. Para saber, con esa distribución de probabilidades, cuanto se puede llegar a pagar por la información Perfecta, planteamos la Esperanza Matemática de lo, que se obtendría eligiendo en cada caso la mejor alternativa: 0.7*800 + 0.3*5400 = $2180 es decir que la Informacíón Perfecta en esas condiciones no puede costar más de $560. Volviendo a la situación de Equiprobabilidad, donde ya se vio que la esperanza de la alternativa Fabricar, era de $2700, la Información Perfecta aportaría: 0.5*800 + 0.5*5400 = 3100, es decir una diferencia de $400 con el caso de no tener ninguna Informacíón Adicional.

3.- Ahora el costo esperado "promedio" por NO INSPECCIONAR será: 600*0.3 + 1200*0.3 + 1800*0.2 + 2400*0.1 + 3000*0.1 = 1440 y ello cambia las cosas pues entonces ahora puedo gastar en promedio menos que inspeccionando todas las piezas de todos los lotes, lo que en promedio me cuesta $1500. Sí quisiera saber cuanto se puede llegar a pagar por tener la Información Perfecta que me dijera en cada partida, a que tipo corresponde cada lote, gastaría: 600*0.3 + 1200*0.3 + 1500*0.2 + 1500*0.2 + 1500*0.2 = 1140, lo que me dice que puedo llegar a pagar $300 a quien me aporte ese dato.

Son técnicas destinadas a resolver problemas de decisión dónde hay varias alternativas y varios objetivos a cumplir simultáneamente. Ya no rige solamente el criterio del costo mínimo o el beneficio máximo, sino que hay otros objetivos que también se tienen que satisfacer.

La representación del modelo es:

  w1 w2 ............................ wj ............... wn

Donde rij es la evaluación de la alternativa i respecto del criterio j y wj es el peso del criterio j. Las alternativas son completamente disjuntas y exhaustivas, es decir que no pueden haber alternativas intermedias a las enumeradas (si estas quisieran considerarse, debería agregárselas como individuales). Es decir que el conjunto Ai es discreto y universal.

Los criterios (atributos o características) Cj también constituyen un conjunto discreto y se pueden dar situaciones en que son totalmente independientes o aquellas en las que hay solapamiento y/o subordinación. Sólo cuando el conjunto de atributos, es mutua y preferencialmente independiente, las preferencias del tomador de decisiones se pueden representar como una función valor (o costo) aditiva; se aclara que un atributo es preferencialmente independiente de otro atributo si las preferencias para valores del mismo no dependen del valor del segundo atributo; se dice que es mutua cuando es en ambos sentidos.

El problema consiste en seleccionar la alternativa que "mejor" satisfaga las preferencias del decididor. Aquí la idea del óptimo no tiene sentido y por eso se habla del "mejor" para significar que su definición estará abierta a diversas interpretaciones más o menos racionales.

Los dos problemas prácticos a resolver son los de determinar los rij y los wj.

Los rij pueden ser de mayor o menor precisión ya sean valores o intervalos cardinales, ordinales, nominales, difusos y/o probabilísticos. Trataremos solamente el caso determinístico.

El problema principal a resolver a esta altura es el de la normalización de las evaluaciones rij, lo que implica que las rij de cada alternativa i correspondientes a un cierto criterio j sean comparables a los otros criterios. Algunos ejemplos de como se hace habitualmente es utilizando valores normalizados como: vi=Vi/maxVi o bien vi=(Vi-min Vi)/(maxVi-minVi) o bién vi=Vi/SumVi , con ligeras diferencias en ventajas y desventajas de cada uno.

El problema de determinar los pesos wj en forma totalmente objetiva, es bastante más complejo. Estos deben reflejar la importancia relativa de cada criterio j para el decididor. Hay diversas líneas sobre las que se está trabajando actualmente para la determinación de estos valores, lo más estrictamente posible en el sentido de independizarse de los condicionantes y las inercias psicológicas. Hay incluso métodos donde estos valores no tienen papel compensatorio (interpretando esto como que una mejora en un criterio permitiera compensar un deterioro en otro).

Una metodología muy usual actualmente, todavía en estado de desarrollo y con objeciones serias, pero que ha demostrado su utilidad, es la de estimación por procedimientos de aproximación. Particularmente el denominado proceso de Jerarquía Analítica (AHP) en el cual con n criterios se forma una matriz de nxn denominada A = [aij], donde aij es la medida subjetiva de la importancia relativa del criterio i frente al criterio j en una escala normalizada de 1 a 9. O sea que aij = wi/wj y como cada aij es igual al inverso del correspondiente aji, basta con estimar sólo el triángulo superior derecho donde las aij corresponden a j>i. Esa matriz tiene como particularidad que todos sus autovalores valen 0 excepto uno que vale n y su autovector correspondiente es w = w1,w2,w3,......wj.....wn, o sea que A*w = n*w. De todos modos al estimar los aij se cometen ciertas inconsistencias que derivan en un valor distinto de n para el autovalor, lo que en cierta forma mide esas inconsistencias y da lugar a la posibilidad de hacer correcciones. Este método requiere la realización de una escala jerárquica (cuando ello es posible) de los criterios. Es decir que existirá un nivel de criterios de orden superior, directamente ligados al objetivo de satisfacción del decididor y debajo de ese nivel habrá subcriterios que hacen a cada uno (no necesariamente a todos) de los primeros. Por debajo de los subcriterios y en forma jerárquica, como en un organigrama se ubican las alternativas.

El método calcula simultáneamente los wj y los rij. Sea una ordenación jerárquica, como la que se ve abajo:

A, B, y C, constituirán las alternativas de decisión. J el objetivo final a alcanzar, F, G, H, e I, son los criterios fundamentales a tener en cuenta para decidir, pero cada uno de ellos está relacionado y afectado por D y E. Para clarificar esta situación, digamos que se tuviera que elegir una máquina y existieran tres criterios básicos a analizar: Económico, Funcional y Técnico, estos corresponderían a la línea de los F,G,H,I, y que existieran otros criterios como capacidad de memoria, velocidad de procesamiento y confiabilidad tecnológica que obviamente afectan a cada uno de los primeros y sobre los cuales es más fácil hacer comparaciones de las alternativas, entonces esos deberían ubicarse en el nivel E, D.

Planteado así el problema se comparan A con B a la luz del subcriterio D y de la misma forma A con C y B con C y se obtiene el vector:

que da las ponderaciones de A, B y C respecto de D; también se obtiene el grado de inconsistencia de esas ponderaciones, el que puede llegar a corregirse o no de acuerdo a lo que opine el decididor. De la misma forma se obtiene

  que es el vector correspondiente a E, que se compondrá con el anterior en una matriz representativa del resultado de la resolución del nivel inferior:

de la misma forma se obtiene para los otros dos niveles:

y componiendo los tres (mediante la multiplicación de las matrices), obtiene:

que resulta ser la ponderación final de las tres alternativas. Cabe ahora analizar la consistencia, global y la sensibilidad de la solución con cambios en las ponderaciones en cada paso. El software existente efectúa todos los cálculos y brinda el valor de los coeficientes para cada alternativa y en cada paso, permitiendo efectuar todas las variaciones que se desee.

Como el anterior, hay algunos otros métodos para la obtención de los wj que calculan, como subproducto los pesos de las alternativas y siempre basados en comparaciones de a dos, (donde se estima que puede existir mayor objetividad); algunos utilizan programación lineal, otros programación no lineal, según el caso. Las ponderaciones de las alternativas ante los criterios y éstos frente a los de nivel superior, se hacen en estos métodos utilizando una escala de 1 a 9 con valores enteros e impares solamente, dejando para situaciones muy comprometidas los restantes valores.