RSS

Μαθηματικά (Α' εξάμηνο)

Τασόπουλος: 210 9230912, ttas@panteion.gr
website: http://www.topa.applied-maths.gr/

Ύλη (κ)
ανανεώθηκε: 07/07

Κάντε κλικ εδώ και δείτε ή αποθηκεύστε όλα τα θέματα σε μορφή word (Πηγή: IT LAB)

1ο θέμα

(α): 2 μον.
(β): 3 μον.

(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f (x, y, z) = x⁴ + 2y² + 3z² - x²yz³ παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο (0,0,0).

2ο θέμα

(α):1,5μον.
(β):3,5μον.

(β) Αν Σχ=3, Σχ²=3, Σψ=19, Σχ³=2, Σχψ=16, Σχ⁴=2, Σχ²ψ=14 να υπολογισθούν οι: γραμμική (ψ=αχ+β) και η δευτεροβάθμια (ψ=αχ²+βχ+γ) παρεμβολές για πέντε παρατηρήσεις.

3ο θέμα

(α): 2 μον.
(β): 3 μον.

(β) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Rⁿ, αν ο πίνακας των δεύτερων παραγώγων Η είναι θετικά ορισμένος.

1ο θέμα

(α) Για ποιές τιμές του b το πρόβλημα : 

{f(x,y) = (x-1)² + y² με περιορισμό: g(x,y) = -x + (y/b) = 0}   έχει ελάχιστο

: 

2ο θέμα

α) Να δειχθεί ότι τα διανύσματα α= (2,0,1), β= (2,-1,0), γ= (1,-1,1), αποτελούν βάση

στον τρισδιάστατο διανυσματικό χώρο. Στη συνέχεια να εκφρασθεί το διάνυσμα       δ= (0,2,1) με τη βοήθεια της διανυσματικής βάσης που σχηματίζουν τα α, β, γ.

β) Αν ο πίνακας Α σχηματίζεται από τα διανύσματα της προηγούμενης ερώτησης, ως εξής:  Α = α^Τγ + β^Τδ,  τότε να ευρεθούν τα ιδιοδιανύσματα του Α.

3ο θέμα

(α)Να υπολογισθεί ο πίνακας Ρ, ώστε οι πίνακες Α[2,2], Β[2,2] να είναι όμοιοι.

 Α[2,2] =                       Β[2,2] =  .

(β) Να μελετηθεί ως προς τα τοπικά ακρότατα η συνάρτηση φ(x), με

Αποστολή θεμάτων: Α. Τασόπουλος

1ο θέμα

(α) Να εξετασθεί πότε το σύστημα:

2x + 3y +    z  = 0
3x  -   y +   kz = 0
 x   - 2y  + 2kz =0       έχει μη μηδενική λύση. Να υπολογισθεί η λύση αυτή.

(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(x,y) = x² + y⁷. παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο (0,0). 

2ο θέμα

(α) Να υπολογισθούν τα ακρότατα και να εκτιμηθεί η φύση τους για τη συνάρτηση:

{f(x,y) =10x + 12y -17 με τον περιορισμό: g(x,y): = (x-3)² + (y-2)² = 64}

   (β)Να υπολογισθούν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα:   

3ο θέμα

(α) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ,   

(β) Να δειχθεί ότι αν μια συνάρτηση φ είναι κυρτή στο διάστημα [α, β] και ισχύει φ(α) < φ(β), τότε για κάθε σημείο χ του διαστήματος [α, β] ισχύει: φ(χ)  φ(β).

Αποστολή θεμάτων: Α. Τασόπουλος

1ο θέμα

(β) Αν οι πίνακες A, B, A+B είναι ορθογώνιοι να δειχθεί ότι:
1. Ο πίνακας ΑΒ είναι ορθογώνιος
2. Ο ανάστροφος του πίνακα Α δίδεται από τη σχέση: (Α + ΑΒ^ΤΑ)^Τ + (Α + Β)^Τ

(γ) Δίδεται η f(x) = e^κx + λx. Να υπολογισθεί το κ έτσι ώστε να ισχύει: f ''(x) + 2f ' (x) + e^κx - 2λ = 0. Για την τιμή αυτή του κ, να βρεθεί τιμή του λ ώστε η εφαπτομένη της f στο σημείο (0, f(0)) να είναι παράλληλη στον άξονα Οx.

2ο θέμα

(β) Δίδεται ο

Να λυθεί η εξίσωση: AX + I = A² + X .