RSS

Στατιστική ΙΙ (Β' εξάμηνο)

Ύλη

α)  Γιατί οι ακόλουθες δύο συναρτήσεις δεν μπορεί να είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.);
(i)  f(x) = 1+ x, o<x<1               (ii) f(x) = 2 - x , 0<X<2+ (2 * 2^1/2) (3,414)

β) Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν (50,25)
(i) Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων {Χ>55} και {45<Χ<60}
(ii) Να βρεθεί η διάμεσος καθώς και τα τεταρτημόρια της Χ .

H τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ,1) με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f(x)= [1/(2π)^1/2 * e^{1/2 x 2} ]     -άπειρο<x<άπειρο

Να βρεθεί η εκτιμήτρια μέγιστης  πιθανοφάνειας της παραμέτρου μ με βάση απλό τυχαίο δείγμα x₁ , x₂ , x_n. Είναι γνωστό ότι αυτή  η εκτιμήτρια είναι αμερόληπτη. Τι σημαίνει αυτό και ποια η σημασία του;

3ο θέμα

Ο πίνακας δείχνει την επιτυχία στις πανελλήνιες εξετάσεις μαθητών τριών σχολείων. Να ελεγχθεί αν η επιτυχία διαφέρει μεταξύ των σχολείων. 

4ο θέμα

Έστω τυχαία μεταβλητή Χ  με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.)

f(x) = 3(1-x²)/2     0<x<1   Να βρεθεί η αναμενόμενη τιμή της Χ καθώς και η τυπική απόκλιση.

5ο θέμα

Ο Πίνακας δείχνει τους βαθμούς ενός δείγματος 8 φοιτητών κατά τα δύο πρώτα έτη σπουδών. Να κατασκευαστεί ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης  για την διαφορά μεταξύ των μέσων όρων των δύο ετών, Έγινε μεταβολή;
 

Φοιτητής	1ο έτος	2ο έτος
1	6,4	6,8
2	6,8	6,9
3	7,1	7,0
4	7,1	7,7
5	7,4	7,6
6	7,7	8,3
7	7,8	8,1
8	8,3	8,6

6ο θέμα

i) Μία δημοσκόπηση δείχνει ότι οι 355 ενός τυχαίου δείγματος 750 ψηφοφόρων υποστηρίζουν το κυβερνών κόμμα. Να ελεγχθεί αν το ποσοστό υποστήριξης διαφέρει από το 42% που το ίδιο κόμμα πήρε στις προηγούμενες εκλογές;

ii) Σε τυχαίο δείγμα 40 ατόμων βρέθηκε η τιμή r=0,389 του συντελεστή συσχέτισης του Pearson μεταξύ δύο ποσοτήτων. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει καμία συσχέτιση  στον πληθυσμό;

7ο θέμα

8ο θέμα

Ποια είναι η ερμηνεία ενός 95% διαστήματος εμπιστοσύνης;  Έρευνα σε ένα δήμο διαπίστωσε ότι, 124 από τυχαίο δείγμα 250 κατοίκων θεωρούν την καθαριότητα μεγάλο πρόβλημα, σε σύγκριση με 175 από τυχαίο δείγμα 300 κατοίκων πρόπερσι. Να κατασκευαστεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την μεταβολή των απόψεων. Ο Δήμαρχος δικαιούται να τονίσει ότι έχει μειωθεί το πρόβλημα;

Αποστολή θεμάτων: Titanic

Έστω τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.)

f(x) = b + x/8 0< x<4

Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς b ώστε η f(x) να είναι πράγματι μια σ.π.π.
Να βρεθεί η πιθανότητα των γεγονότων (i) {X<1} (ii) {X>3} (iii) {1<X<2}
Να βρεθεί το πρώτο τεταρτημόριο της κατανομής της Χ.

Να βρεθεί η αναμενόμενη τιμή καθώς και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Χ του 1ου θέματος. (Αν δεν έχετε βρει την b στο 1o θέμα τότε εδώ θα χρησιμοποιείστε τη συνάρτηση f(x)= b+x/8 ως έχει χωρίς συγκεκριμένη τιμή της b)

3ο θέμα

Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f(x) = λ e -λ(x-2) x>2

Να βρεθεί η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της παραμέτρου λ με βάση απλό τυχαίο δείγμα x₁ , x₂ , x_n. Είναι γνωστό ότι η εκτιμήτρια είναι αμερόληπτη. Τι σημαίνει αυτό και ποια η σημασία του;

4ο θέμα

Απλό τυχαίο δείγμα ανέργων κατανέμεται στον ακόλουθο πίνακα. Να ελεγχθεί αν η εξεύρεση εργασίας σχετίζεται με τη διάρκεια ανεργίας. Να ερμηνευτεί το αποτέλεσμα.

5ο θέμα

α) Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των βαθμολογιών 35 υποψηφίων σε ένα διαγώνισμα είναι 62,5 και 8,1 αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί ένα 95 % διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση βαθμολογία του πληθυσμού.

β) Από τη διόρθωση των πρώτων 140 γραπτών, προκύπτει ότι κόπηκαν 42 υποψήφιοι. Να κατασκευαστεί ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό αποτυχίας στο σύνολο των υποψηφίων.

(Και στα δύο ζητήματα να δοθεί πλήρης ερμηνεία του αποτελέσματος)

6ο θέμα

Έρευνα του οικογενειακού προϋπολογισμού για το έτος 2002 έδειξε ότι κατά μέσο όρο μια οικογένεια ξοδεύει το 13,0 % του εισοδήματος για στέγαση (τυπική απόκλιση 7,5). Το 1992 ο αντίστοιχος μέσος όρος ήταν 14,9 (τυπική απόκλιση 6,3). Κάθε δείγμα είχε μέγεθος 150 οικογένειες. Να εξετάσετε αυτά τα δεδομένα, με την πραγματοποίηση κατάλληλου στατιστικού ελέγχου. Να ερμηνεύσετε τα αποτελέσματά σας.

7ο θέμα

Μια δειγματοληπτική έρευνα διεξάγεται σε 8 πόλεις ταυτόχρονα. Σε κάθε πόλη δουλεύουν δύο ερευνήτριες, μία πεπειραμένη και μία αρχάρια. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό συνεντεύξεων που πραγματοποιήθηκε από κάθε ερευνήτρια

Ελέγχουμε αν οι πεπειραμένες και αρχάριες ερευνήτριες πραγματοποιούν τον ίδιο αριθμό συνεντεύξεων. (α) Να εξηγήσετε γιατί ο κατάλληλος έλεγχος είναι αυτός για ζευγαρωτές παρατηρήσεις, (β) να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος και να ερμηνευτεί το αποτέλεσμα.

Αποστολή θεμάτων: Titanic