Предлагаемый ниже материал базируется на учете современной тенденции выработать более адекватный – количественный – аппарат оценки силы аргумента.

В простейшем случае аргумент состоит из одной посылки (резона, основания) и одного заключения. Если обозначить посылку буквой R, заключение буквой C, а связь между ними стрелкой, направленной от R к C, то структура простейшего аргумента будет иметь следующий вид (рис.1):

В более сложных случаях, когда заключение обосновывается более чем одной посылкой, диаграммы делятся на два вида: с зависимыми друг от друга посылками (такие диаграммы еще называют связанными) (рис.2а) и с независимыми посылками (такие диаграммы еще называют сходящимися) (рис.2б).

Предположим, что 30% яблок из сада Брауна обычно оцениваются как продукт высшего сорта. Кроме того, у вас есть детектор, с помощью которого можно определить сортность яблок. К сожалению, надежность данных этого детектора составляет только 50%. Пусть вы получили яблоки из сада Брауна (R₁) и детектор зафиксировал, что это яблоки высшего класса (R₂). Какова надежность заключения, что это действительно яблоки высшего сорта (C)?

Традиционная диаграмма этого аргумента с двумя независимыми посылками дополняется, по Яналу, характеристиками сил связи посылок и заключения, то есть вероятности получения истинного заключения p(C|R_M), если посылка R_M истинна (рис. 4).

Задача состоит в том, чтобы по известным независимым друг от друга p(C|R_M) определить вероятность истинности заключения, то есть p(C|R₁,R₂).

Алгоритм расчета p(C|R₁,R₂) – “обычной суммы” – на интуитивном уровне обосновал Янал. Свое обоснование он представил в виде конкретного примера.

Рассмотрим аргумент: Р₁, Р₂, следовательно С. Предположим, что Р₁ само по себе обосновывает С с вероятностью 0,3, а Р_{2 ¾} с вероятностью 0,4. Очевидно, что вероятность получения С будет больше 0,4. Но какова именно ее величина? Мы можем представить обычную сумму вероятностей следующим образом. Вероятность С при заданном Р₁ равна 0,3. Вычитая 0,3 из единицы, получаем 0,7. Назовем 0,7 “неизвестным”. Если теперь будет задана Р₂, мы узнаем 0,4 из ранее неизвестных 0,7 или 0,4 ´ 0,7 = 0,28, то есть на 0,28 больше, чем мы знали перед этим. Поэтому мы получаем для С вероятность p(C|R₁,R₂) = 0,3 + 0,28 = 0,58.

Согласно этому алгоритму, для рассмотренного выше примера вероятность истинности заключения С равна p(C|R₁,R₂) = 0,65!

Прежде чем заняться проверкой алгоритма, предложенного Робертом Яналом, мы хотим ввести новые образы диаграмм, отражающих силу связи посылки и заключения. Это намерение в какой-то мере тоже предвосхищено Яналом, который предложил делить аргументы на сильные, средние и слабые в зависимости от характера посылок и силы связи посылок и заключения. Например, аргумент: “Сократ смертен (R₁), следовательно, все люди смертны (С₁)” классифицируется как слабый (Weak), а аргумент “Все люди смертны (R₂), следовательно, Сократ смертен (С₂)” как дедуктивно валидный. В соответствующие им диаграммы включаются знаки “W” и “DV”.

Однако, по нашему мнению, диаграммы могут быть сделаны графически более выразительными и информативными следующим образом (при этом предполагается, что посылки определенно истинны: условимся обозначать такого вида посылки Т_М).

Для определенности разумно задать следующие количественные рамки оценок.

p(C|Т₁,Т₂) = p(C|Т₁) + [1 – p(C|Т₁)] p(C|Т₂). (1)

На этом пути, прежде всего, обобщим (1) для произвольного числа посылок 1 £ М £ ¥ .

Первое из этих условий C1 выражает тот факт, что правильно рассчитанная вероятность всегда принимает значения от 0 до 1. Условие С2 состоит в том, что значение вероятности получения истинного заключения не зависит от процедуры подсчета, то есть от порядка учета составляющих p(C|R_M). Третье условие фиксирует тот факт, что если заключение С получает достаточное основание хотя бы в одной посылке p(C|R_X) = 1, то прибавление остальных не изменяет вероятности заключения и p(C|R_1…. R_X, R_X+1 … R_M) = 1. Условие С4 фиксирует тот факт, что если какая-то посылка не поддерживает заключения p(C|R_X) = 0, то ее учет или неучет никак не влияет на конечный результат p(C|R_1… R_M). При истинных посылках эти условия принимают следующий вид:

При правильной постановке задачи 1 ³ p(C|T₁) ³ 0 и 1 ³ p(C|T₂) ³ 0, поэтому p(C|T_1,T₂) ³ 0. С другой стороны, 1 – p(C|T₁) ³ (1 – p(C|T₁)) p(C|T₂), поэтому 1 ³ p(C|T₁) + (1 – p(C|T₁)) p(C|T₂). Следовательно, С1¢ выполняется.

С2¢ выполняется в силу симметричного вхождения в него p(C|T₁) и p(C|T₂).

С3¢ выполняется постольку, поскольку при p(C|T₁) = 1 множитель при p(C|T₂) обращается в 0, что сводит к нулю вклад этой составляющей. Аналогичный вывод для p(C|T₂) = 1 следует из учета С2¢ .

С4¢ для (1) при p(C|T₁) = 0 выполняется очевидным образом; в силу С2¢ оно выполняется и при p(C|T₂) = 0.

Пусть для диаграммы (рис.7) p(C|T₁) = 0.1, p(C|T₄) = 0.01 и p(C|T₂) = 0.5, а p(C|T₃) = 0.

Шаг за шагом из (2) для p(C|T₁,T₂,T₃,T₄) получаем:

Повторим упражнение, например, для p(C|Т₂,Т₄,Т₁,Т₃):

Следовательно, p(C|T₁,T₂,T₃,T₄) = p(C|T₂,T₄,T₁,T₃) в полном соответствии с С1¢ , С2¢ , С4¢ , что и требовалось доказать!

Но полученные формулы (1) и (2) предполагают дальнейшее обобщение, а именно на случай, когда логическое значение исходных посылок точно не известно, а задана лишь вероятность того, что посылка H_М истинна – P(H_M). Задание такой вероятности графически фиксируется стрелкой над посылкой. Назовем такого рода посылки и построенные на них аргументы гипотетическими. Соответствующие им простейшие диаграммы будут иметь вид (рис.8a, 8б).

Понятно, что в случае гипотетических аргументов нельзя отождествлять силу связи посылок и заключения и силу поддержки посылкой заключения. Поэтому сила, например, дедуктивного аргумента зависит как от связи между посылками H_M и заключением – p(C|H_M), так и от вероятности P(H_M).

Согласно теории вероятности для условной вероятности имеем p(C|H_M) = P(C&H_М)/P(H_M), следовательно P(C&H_М) = P(H_M)p(C|H_M). Например, если P(H₁) = 0,7 и p(C|H₁) = 0,7, то вероятность одновременной истинности посылки и заключения будет 0,49 (аргумент средней силы). Пусть p(C|H₂) = 1, но P(H₂) = 0,1. Тогда p(C&H₂) = 0.1 и получаем слабый дедуктивный аргумент!

На основании предпринятого обобщения нетрудно перейти к расчету сериальных диаграмм, включающих гипотетические посылки. Например, если p(H₁|Т₁) = 0,7, p(C|H₁) = 0,7, то получим уже упомянутый выше результат P(Т₁&H₁&C) = p(H₁|Т₁) p(C|H₁) = 0,49.

Нетрудно обобщить сказанное для диаграммы аргумента с двумя независимыми гипотетическими посылками.

Вероятность истинности суждения о неисправности тормозов автомобиля, недавно прошедшего техосмотр, составляет Р(H₁) = 0,0001. Вероятность истинности суждения о неисправности двигателя Р(H₂) = 0,01. Вероятность быстрой аварии для автомобиля с неисправными тормозами составляет p(C|H₁) = 0,9, а с неисправным двигателем p(C|H₂) = 0,25. Какова вероятность правильности прогноза о том, что этот автомобиль вскоре попадет в аварию?

Рассмотрим случай, когда вероятность отказа двигателя исключена, то есть P(H₂) = 0, и рассчитывается вероятность аварии только вследствие отказа тормозов.

Важно понять, что из ложной посылки может быть выведено, например, дедуктивно валидное заключение, однако оно не будет иметь никакой поддержки со стороны F_М! Рассмотрим в качестве примера следующую диаграмму: P(H₁)=0,5, p(C|H₁) = 0,6, P(F₁) = 0, p(C|F₁) = 1.

Точности ради нужно отметить, что если мы имеем сложный аргумент с независимыми посылками, среди которых есть как ложные, так и истинные, то он не будет a priori плохим: его сила определяется поддержкой заключения только истинными посылками.

В показаниях свидетелей А, В и Х содержатся независимые доказательства, принятие которых с необходимостью приводит к выводу, что ограбление банка было совершено известным “медвежатником” Y. Но в ходе расследования было установлено, что показания А и В могут быть истинны, соответственно, с вероятностями Р(H₁) = 0.3 и Р(H₂) = 0.5, тогда как Х явно клеветал на подозреваемого и поэтому Р(F₃) = 0. Какова вероятность того, что ограбление совершил Y?

Построим диаграмму аргумента, заключением которого является утверждение С о том, что в ограблении виновен Y.