ANALOGIE
a Î Z
A = A(h,k) = {{0, 1},{k,h}}, h,k Î Z
D = h2 + 4k
An = {{Un-1, Un},{kUn, Un+1}}
gruppo (ZN)*
gruppo LN = LN(h,k) = (ZN[A] )*/SN
dove SN è il gruppo delle matrici scalari 2x2 invertibili, con coefficienti in ZN
j(n) = |ZN|
y(N) = |LN|
Simbolo di Legendre (a/p):
(a/p) = 1 se a è un quadrato modulo p, (a/p) = -1 altrimenti
Se N = Õ pj^(ej) allora:
j(N) = Õ [pj^(ej-1) (pj - 1)]
Se N = Õ pj^(ej) allora:
y(N) = Õ [pj^(ej-1) (pj - (D/pj))]
a j(N) = 1 in (ZN)*
Ay(N) = I in LN
N è primo se e solo se esiste in (ZN)* un elemento di periodo N-1
N è primo se e solo se esiste in LN un elemento di periodo N+1
Un intero N è primo se e solo se esiste un a Î (ZN)*tale che:
1) aN-1 = 1 in (ZN)*
2) Per ogni divisore primo q di N-1
a(N-1)/q ¹1 in (ZN)*
(Pepin) Un numero di Fermat N = Fn è primo se e solo se:
3(N-1)/2 = -1 modulo Fn
Un intero N è primo se e solo se esiste A = A(h,k) ÎLN tale che:
1) AN+1 = I in LN
2) A(N+1)/q ¹ I in LN
per ogni primo q che divide N + 1
(Lucas) Un numero di Mersenne N = Mn è primo se e solo se:
Tr(A(2,2)^((Mn+1)/2)) = 0 modulo Mn
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