Cube root (solution by me)

จะขอใช้สมการ congruence เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

สำหรับขั้นตอนแรกจะหาขอบเขตของ N ที่เป็นไปได้ก่อน เพื่อจำกัดปริมาณของคำตอบ

เนื่องจาก ababab1 ที่มากที่สุดคือ กรณีที่ a=9,b=8 ซึ่งจะได้ว่า

ababab1= N³ < 9898981 ---> N < cube_root(9898981) = 214.xxx

แสดงว่า N จะต้องมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 214

เนื่องจาก ababab1 ที่น้อยที่สุดคือ กรณีที่ a=1,b=0 ซึ่งจะได้ว่า

ababab1= N³ < 1010101 ---> N < cube_root(1010101) = 100.xxx

แสดงว่า N จะต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 100

จาก ababab1 = N³ กระจายออกจะได้เป็น a(10⁶ +10⁴ +10²) + b(10⁵ +10³ +10) + 1 = N³

ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ (10⁵ +10³ +10)(10a+b) +1 = N³ --> 101010(10a+b) = N³ -1

แยกตัวประกอบ 101010 = 2*3*5*7*13*37

2*3*5*7*13*37*(10a+b) = N³ -1 .....(1)

จะอาศัยการตรวจสอบการหารลงตัว แต่จะตรวจสอบเพียงบางตัวก่อนเพื่อจำกัดขอบเขตของ N ให้เล็กลงไปอีก

ซึ่งในที่นี้จะตวจสอบการหารลงตัวเบื้องต้นด้วย 2,3,5,7

<1> จะเห็นได้ว่า N³ -1 จะต้องถูกหารด้วย 2 ลงตัว เมื่อเขียนในรูป congruence จะได้

N³ ==1 mod 2 --> N ==1 mod 2 ....(2)

<2> จะเห็นได้ว่า N³ -1 จะต้องถูกหารด้วย 3 ลงตัว เมื่อเขียนในรูป congruence จะได้

N³ ==1 mod 3 --> N ==1 mod 3 ....(3)

<3> จะเห็นได้ว่า N³ -1 จะต้องถูกหารด้วย 5 ลงตัว เมื่อเขียนในรูป congruence จะได้

N³ ==1 mod 5--> N ==1 mod 5 ....(3)

 

เมื่อนำทั้งสามกรณีมายุบรวมกันจะได้ว่า

N==1 mod (2*3*5) --> N==1 mod 30 ...(4)

<4> จะเห็นได้ว่า N³ -1 จะต้องถูกหารด้วย 7 ลงตัว เมื่อเขียนในรูป congruence จะได้

N³ ==1 mod 7--> N ==1 mod 7 หรือ N==2 mod 7 หรือ N==4 mod 7 ....(5)

ขั้นต่อไปจะทำการยุบคำตอบจากสมการ (4) ซึ่งได้จากกรณีที่1,2,3 มาหาคำตอบร่วมกับกรณีที่ <4>

สำหรับกรณีที่ 4 จะเห็นได้ว่าทีหลายคำตอบ จึงต้องแบ่งกรณีคิดดังนี้

case 1 : N==1 mod 30 และ N == 1 mod 7

คำตอบสำหรับกรณีนี้คือ N==1 mod 210 หรือ N = 210k +1 ; k เป็นจำนวนเต็ม

เนื่องจาก N มีค่าในช่วง 100< N <214 จึงสามารถใช้ k ได้เพียงค่าเดียวคือ k =1

จะได้ N = 211

และเมื่อแทนค่าดูพบว่า 211³ = 9393931 ซึ่งสอดคล้องกับ ababab1 โดย a =9 ,ิb=3

9393931 = 211³ เป็นคำตอบหนึ่งของโจทย์นี้

case 2 : N==1 mod 30 และ N == 2 mod 7

จาก N == 1 mod 30 จะได้ว่า N = 30m+1 นำไปแทนต่อใน N == 2 mod 7

30m+1 == 2 mod 7 -> 2m == 1 mod 7 -> 8m==4 mod 7 -> m==4 mod 7

นั่นคือ m = 7k+4 นำกลับไปแทนใน N = 30m+1 จะได้ N = 210k+121 ; k เป็นจำนวนเต็ม

เหตุผลในทำนองเดียวกันกับ case 1 จึงได้ว่าใช้ k ได้เพียงค่าเดียวคือ k=0 ซึ่งให้ค่า N = 121

และเมื่อแทนค่าดูพบว่า 121³ = 1771561 ซึ่งไม่สอดคล้องกับ ababab1

กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

case 3 : N==1 mod 30 และ N == 4 mod 7

จาก N == 1 mod 30 จะได้ว่า N = 30m+1 นำไปแทนต่อใน N == 4 mod 7

30m+1 == 4 mod 7 -> 2m == 3 mod 7 -> 8m==12 mod 7 -> m==5 mod 7

นั่นคือ m = 7k+5 นำกลับไปแทนใน N = 30m+1 จะได้ N = 210k+151 ; k เป็นจำนวนเต็ม

เหตุผลในทำนองเดียวกันกับ case 1 จึงได้ว่าใช้ k ได้เพียงค่าเดียวคือ k=0 ซึ่งให้ค่า N = 151

และเมื่อแทนค่าดูพบว่า 151³ = 3442951 ซึ่งไม่สอดคล้องกับ ababab1

กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

สรุป จากทั้งสามกรณี จะได้ว่ามีเพียงคำตอบเดียวคือ 9393931 = 211³ ...##