3,4.-Para el sistema:
|. | | | | | | |
|X1| | 1 1 | |X1| |0| |X1|
|. |= | |.| |+| |U Y=|1 0|.| |
|X2| | 4 1 | |X2| |1| |X2|
| | | | | | | |
a) Obtener e^(At)
|1 1|
A=| | e^(At)=
L-1(S*I - A)-1|4 1|
|-1 + s -1 |
(S*I - A)=| |
|-4 -1 + s|
|-1 + s 1 |
|---------------- ----------------|
|(-3 + s) (1 + s) (-3 + s) (1 + s)|
(S*I - A)-1 = | |
| 4 -1 + s |
|---------------- ----------------|
|(-3 + s) (1 + s) (-3 + s) (1 + s)|
e^(At)=L-1(S*I - A)-1
Para calcular la transformada inversa de Laplace:
a=3;
b=-1;
ns=(b e^(t*b)-a e^(t*a))/(b-a)
-t 3 t
e + 3 e
ns=------------
4
no=(e^(t*b)-e^(t*a))/(b-a)
-t 3 t
-e + e
no=-----------
4
e^(At)={{ns-no,no},{4*no,ns-no}}
| 3 t 3 t |
| 1 e -1 e |
| ---- + ---- ---- + ---- |
| t 2 t 4 |
| 2 e 4 e |
e^(At) = | |
| 3 t |
| 1 e |
| ---- + ---- |
| -t 3 t t 2 |
| -e + e 2 e |
| |
b) Obtener la solución de los estados X(t) para las condiciones iniciales:
X(0)=(1,2)T entrada nula.
X(t)=e^(At).X(0)+ò (e^(At)BU(d )dd )
Como U(d )=0, se simplifica a: X(t)=e^(At).X(0)
Xt=eat.{{1},{2}}
| 3 t 3 t |
| 1 e -1 e |
|---- + ---- + 2 (---- + ----) |
| t 2 t 4 |
|2 e 4 e |
X(t) = | |
| 3 t |
| -t 3 t 1 e |
|-e + e + 2 (---- + ----) |
| t 2 |
| 2 e |
c) Calcular los polos de lazo abierto
|-1 + L -1 |
L id-Aa = | |
|-4 -1 + L|
2
Det[L id-Aa] = -3 - 2 L + L = (-3 + L) (1 + L)
Los polos de lazo abierto son -1 y 3.
d) Verificar la controlabilidad del sistema
Aa={{1,1},{4,1}};
Ba={0,1};
Ca={1,0};
id={{1,0},{0,1}};
Factor[Ca.(Inverse[s id -Aa].Ba)]
1
H(s)={----------------}
(-3 + s) (1 + s)
El sistema es en si mismo, inestable.
Co={Ba,Aa.Ba};
|0 1|
Co =| |
|1 1|
Det[Co] = -1 ¹ 0 \ el sistema es controlable.
e) Diseñar un controlador U=k1x1+k2x2 tal que los polos de lazo cerrado se encuentren localizados en P1,2=-2± J
A={{1,1},{4,1}};
B={{0},{1}};
K={{k1,k2}};
id={{1,0},{0,1}};
Det[L id-(A-(B.K))]
Expand[(L+2)(L+3)]
2
-3 + k1 - k2 - 2 L + k2 L + L = 0
Por otra parte:
Expand[(L+2+(-1)^.5)(L+2-(-1)^.5)]
2
5. + 0. I + (4. + 0. I) L + L
Igualando coeficientes:
-3 + k1 - k2 = 5
-2 + k2 = 4
por lo tanto: k1 = 14 k2 = 6
U=14 x1 + 6 x2