(*�1 (*�1




(*w1Universidad Iberoamericana(*w0




Departamento de Mec�nica





(*eLaboratorio de Mec�nica II(*f




Prof. F�sico (*TSalvador Viquez Cano(*U




P�ndulo de Torsi�n




Integrantes:



(*TAnah� Quiroga G�mez


Salvador Ru�z Esparza


Victor Manuel Iniestra Alvarez(*U




25 Noviembre 1993(*,

(*�0
(*TT�tulo:(*U
(*�1
P�ndulo de Torsi�n
(*�3
Objetivo:

	Estudiar la relaci�n entre el periodo de una vibraci�n por torsi�n y
los factores que determinan dicho periodo; medir la inercia rotacional de
varios objetos y los coeficientes de rigidez del bronce, cobre y acero.
(*�1
(*TIntroducci�n Te�rica:(*U
(*�3
	Para obtener el periodo de oscilaci�n de un p�ndulo de torsi�n,
primero se requiere encontrar la relaci�n entre la torca que act�a sobre el
cuerpo y la aceleraci�n angular que esta produce.

	Considere una barra larga actuada por una fuerza F a una distancia d
de un eje 0 alrededor del	cual la barra es libre de girar. La fuerza F
tiene un momento Fxd respecto de 0 y provoca que la varilla empiece a girar del
eje con una aceleraci�n angular.

	Supongamos que la varilla est� compuesta de un gran n�mero de masas m1,
m2, etc. a una distancia r1, r2, etc., respectivamente, del eje. La masa m1,
tiene una aceleraci�n lineal �r1 cm/seg�. La fuerza f1 que produce esta
aceleraci�n es de acuerdo a la segunda ley de Newton del movimiento:

f1 = m1�r1 (1)

	La fuerza f1 es producida por la fuerza F que act�a en la barra y es
transmitida a m1 por la rigidez de la varilla. Similarmente f2=m2�r2 etc. Ahora
la suma de las torcas debida a f1, f2, etc. alrededor del eje que pasa por 0
debe ser igual a la torca de F acerca de 0 o:

F x d = f1r1+f2r2+f3r3+...=m1�r1�+m2�r2�+m3�r3�+...=
	    �(m1r1�+m2r2�+..)=�I (2)

donde I se llama inercia rotacional de la varilla alrededor del eje que pasa
por 0. Entonces

I = � mr� (3)

	El s�mbolo L se usa a menudo para la torca Fxd. Entonces la Ec. (2) se
escribe como:

L = I� (4)

	Esta relaci�n entre la torca y la aceleraci�n angular es similar a la
relaci�n F=ma entre la fuerza y la aceleraci�n lineal.(*,


Teorema:

	Si I es la inercia rotacional de un cuerpo alrededor de cualquier eje
e I0 es la inercia rotacional del cuerpo alrededor de un eje paralelo que pasa
por el centro de masa del cuerpo

I = I0 + Mh�

donde M es la masa del cuerpo y h es la distancia entre los dos ejes.
(*�1
Inercia Rotacional de Varios Objetos:
(*�3
	1.- Un anillo circular de espesor despreciable:
Consid�rese un anillo de masa M y con un radio medio r. Si el espesor del anillo
es muy delgado, todos los elementos de masa se encuentran a la misma distancia
del centro. Entonces el momento de inercia del anillo alrededor de un eje que
pasa por su centro y perpendicular al plano del anillo es

I = Mr� (9)

	2.- Inercia rotacional de un disco de radio a y masa M alrededor de un
eje que pasa por su centro y perpendicular a su plano es

I = Ma�/2 (10)

	3.- La inercia rotacional de un cilindro circular derecho de radio a y
masa M alrededor de un eje que pasa por su centro y perpendicular a su base es

I = Ma�/2 (11)

	4.-Inercia rotacional de una anillo de masa M con radios interior y
exterior a y b respectivamente, alrededor de un eje que pasa por su centro y
perpendicular a su plano es

I = M(a�+b�)/2 (12)
(*�1
Periodo de Vibraci�n de un O�ndulo de Torsi�n:
(*�3
	Considere una varilla uniforme r�gida y larga sujeta por su extremo
superior A, y soportando en su extremo inferior un disco, cuya inercia
rotacional alrededor de un eje que pasa por la varilla es I. Si Lo es la
constante de torsi�n de la varilla, entonces Lo es la torca requerida para
torcer el extremo inferior de la varilla a un �ngulo unitario (1 radi�n). Si el
disco se gira un �ngulo � y despu�s se suelta, la torca de restituci�n es Lo�.
Esta torca provoca que el disco oscile a su posici�n en equilibrio con una
aceleraci�n angular. Si � es la aceleraci�n angular del disco cuando el
desplazamiento es � entonces de la Ec. (4)

Lo� = -I�  o  � = -Lo�/I (13)(*,


(El signo negativo se usa porque � es positivo en la direcci�n que aumenta � que
es opuesta a la direcci�n de la torca restauradora Lo�). Entonces la aceleraci�n
angular para un desplazamiento angular � es proporcional a � y en direcci�n
opuesta. Esta es la condici�n requerida para que el disco ejecute un movimiento
arm�nico simple (M.A.S.).

	En el caso de desplazamientos lineales un cuerpo ejecuta un movimiento
arm�nico simple siempre que la aceleraci�n debida a un desplazamiento x sea
proporcional y en direcci�n opuesta al desplazamiento x. Para el movimiento
arm�nico simple de un resorte la aceleraci�n a para un desplazamiento x est�
dado por

a = -Cx/M (14)

donde C es la fuerza requerida por unidad de extensi�n del resorte y M es la
masa del cuerpo en vibraci�n. El periodo T de una vibraci�n arm�nica simple del
resorte se puede demostrar que es

T = 2��(M/C) (15)

	Entonces para desplazamientos y aceleraciones angulares dadas por la
ecuaci�n (13) el periodo para la vibraci�n arm�nica simple que se genera es

T = 2��(I/Lo) (16)


(*TC�lculos:(*U

	1.- Calcule las inercias rotacionales del disco, del anillo y de los
dos cilindros usando las Ecs. (10) (11) (12). Usando la Ec. (8) calcule las
inercias rotacionales de los dos cilindros alrededor de un eje a trav�s del
centro de la varilla y del disco.

    Disco:            Aro:                       Cilindro:

    Diametro (m):     Diametro 1 (m):            Diametro (m):
       0.255             0.255                      0.055
    Masa (kg):        Diametro 2 (m):            Masa (kg):
        4.48              0.24                      2.681
                      Masa (kg):
    Inercia (cm):        4.231                   Inercia (cm):
    0.036414                                     0.001013
                      Inercia (cm):
                      0.064853               Distancia cm-eje (m):
                                                      0.1

                                                 Inercia (eje):
                                                 0.027823(*,


	2.- De la Ec. (16), junto con los datos de la parte A (periodos de
oscilaci�n) y la inercia rotacional del disco, calcule la constante de torsi�n
para la varilla de acero.

    (*TVarilla de Acero:(*U


               Disco:

               Periodo (s):

                                 1.852

               Inercia:

                                 0.036414

               Cons. de Torsi�n:

                                 0.647400

	3.- Usando el valor de Lo encontrado en el c�lculo anterior, y los datos
de la parte B (periodos de oscilaci�n), calcule la inercia rotacional del anillo
y del disco juntos. Compare este valor con la suma de las inercias rotacionales
del disco y del anillo computadas en 1. Establezca la diferencia en porcentaje
de los dos valores obtenidos.

    (*TVarilla de Acero:(*U

               Disco y aro:

               Periodo (s):
                                 3.025333

               Cons. de Torsi�n:

                                 0.647400

               Inercia:

                                 0.097170
               dif %:   4.045870
                                 0.101267


	4.-Usando el valor de Lo y los datos de la parte C (periodos de
oscilaci�n) calcule la inercia rotacional de la combinaci�n del disco y de las
dos masas cil�ndricas. Compare este valor con la suma de las computadas
individualmente. Establezca la diferencia en porcentaje.(*,

    (*TVarilla de Acero:(*U

               Disco y 2 cilindros:

               Periodo (s):

                                 2.911333

               Cons. de Torsi�n:

                                 0.647400

               Inercia:

                                 0.089985
               dif %:   2.255526
                                 0.092061

	5.-Realizar los mismos c�lculos para las dem�s varillas.

                    (*TVarilla de Acero:(*U

    Disco:            Disco y aro:               Disco y 2 cilindros:

    Periodo (s):      Periodo (s):               Periodo (s):

       1.852          3.025333                   2.911333

    Inercia:          Cons. de Torsi�n:          Cons. de Torsi�n:

    0.036414          0.647400                   0.647400

    Cons. de Torsi�n: Inercia:                   Inercia:

    0.647400          0.097170                   0.089985
                      dif %:   4.045870          dif %:   2.255526
                      0.101267                   0.092061

                   (*TVarilla de Bronce:(*U

    Disco:            Disco y aro:               Disco y 2 cilindros:

    Periodo (s):      Periodo (s):               Periodo (s):

    1.345733          2.198666                   2.105333

    Inercia:          Cons. de Torsi�n:          Cons. de Torsi�n:

    0.036414          0.890953                   0.890953

    Cons. de Torsi�n: Inercia:                   Inercia:

    0.890953          0.097200                   0.089123
                      dif %:   4.015758          dif %:   3.191380
                      0.101267                   0.092061(*,


                      (*TVarilla de Cobre:(*U

    Disco:            Disco y aro:               Disco y 2 cilindros:

    Periodo (s):      Periodo (s):               Periodo (s):

    1.294666          2.104333                   2.017333

    Inercia:          Cons. de Torsi�n:          Cons. de Torsi�n:

    0.036414          0.926096                   0.926096

    Cons. de Torsi�n: Inercia:                   Inercia:

    0.926096          0.096201                   0.088411
                      dif %:   5.002471          dif %:   3.964963
                      0.101267                   0.092061


(*TCuestionario:(*U

1.-Si se tiene un error de 1% en la determinaci�n del periodo. �Qu� porcentaje
de error provoca �ste en la determinaci�n de Lo?

   Si no se tiene ning�n error en la determinaci�n de I, se tiene un error
   del 2% en Lo.

2.-�Depende el per�odo de vibraci�n de la amplitud de las vibraciones?

   Si la amplitud es peque�a (<15�) no, ya que en ese caso el periodo se puede
   calcular con T = 2��(I/Lo) que no involucra a la amplitud.

3.-Muestre que ambos lados de la Ec. (16) tienen las mismas dimensiones.

           T = 2��(I/Lo)     [T]=seg [I]=Kgm� [Lo]=Kgm�/seg�

           seg = �(Kgm�/(Kgm�/seg�) = �seg� = seg(*,


(*TConclusiones:(*U


             (Victor)

     En esta pr�ctica se pudo establecer el hecho de que se puede calcular
la inercia rotacional de combinaci�n de objetos mediante la simple suma de las
inercias rotacionales individuales y obtener un porcentaje de diferencia
bastante bajo.





































(*TBibliograf�a:(*U

             F�sica Parte 1
             (*TRobert Resnick(*U y (*TDavid Halliday(*U
             Ed. CECSA(*,