PROBABILIDAD

1. En un instituto hay matriculados en el bachillerato de Ciencias 340 alumnos y 340 alumnas. En la modalidad de Humanidades hay 240 alumnos y 280 alumnas. Se elige un alumno/a al azar. Calcular: i) Probabilidad de que sea de Ciencias.

ii) Probabilidad de que sea un alumna de Humanidades.

iii) Sabiendo que es de la modalidad de Ciencias, probabilidad de que sea varón.

iv) ¿Son independientes los sucesos estar matriculado en Humanidades y ser varón?

2. Se lanza un dado dos veces. Se pide:

i) ¿Qué sucesos elementales constituye el espacio muestral?

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea 8?

iii) Si en la primera tirada ha salido 5, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea 8?

iv) Justifica, de acuerdo con los resultados obtenidos, la independencia o no independencia de los sucesos "Obtener suma de 8 puntos en dos tiradas" y "Obtener 5 en la primera tirada".

3. En cierta población con la misma proporción de hombres y mujeres, se sabe que la probabilidad de ser varón y tener elevado el nivel de colesterol es de 1/12, y la probabilidad de ser mujer y tener elevado el nivel de colesterol es de 1/25. Elegimos una persona la azar:

i) Si sabemos que es un varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga elevado el colesterol?

ii) Si sabemos que es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que tenga elevado el nivel de colesterol?

iii) Si elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su nivel de colesterol sea normal?

4. Un juego consiste en lanzar sucesivamente un dado hasta que aparezca un seis, en cuyo caso el juego concluye.

i) Hallar la probabilidad de que el juego acabe en el primer lanzamiento.

ii) Hallar la probabilidad de que el juego acabe exactamente en tres lanzamientos.

iii) Hallar la probabilidad de que el juego acabe en menos de siete lanzamientos.

5. Los 800 alumnos de un Centro de enseñanza es donde sólo se imparten las opciones de Ciencias Puras y Letras Puras, se distribuyen así: 440 varones, de los cuales están matriculados en Ciencias 300 y 360 mujeres, de las cuales están matriculados en Ciencias 200. Eligiendo al azar un alumno/a de este Centro, averiguar:

i) Probabilidad de que sea varón . . . . . . . . . . . . ii) Probabilidad de que sea mujer y estudie Letras.

iii) Si se sabe que es varón. ¿cuál es la probabilidad de que estudie Letras?

iv) ¿Son independientes los sucesos ser mujer y ser de Letras?

6. Disponemos de un dado en el que las caras con los números 1, 2, 4 y 5 tienen color amarillo. La cara con el número 3 es roja y la cara con el número 6 es verde; y de dos urnas I y II con la composición siguiente:

Urna I: 7 bolas blancas y 3 bolas azules Urna II: 4 bolas blancas y 6 bolas azules

Lanzamos el dado y si el color es amarillo vamos a la urna I, si sale otro color vamos a la urna II extrayendo a continuación dos bolas de modo consecutivo y sin reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:

i) Ambas bolas sean azules y pertenezcan a la urna II. . . . . . . . . . . . ii) Ambas bolas sean azules.

7. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas.

i) Se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca.

ii) Se extrae una bola y está marcada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?

iii) Se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra o esté marcada?

iv) ¿Son independientes los sucesos "sacar bola marcada" y "sacar bola blanca"?

8. Entre la población de una región se estima que el 55% presenta obesidad, el 20% padece hipertensión y el 15% obesidad e hipertensión. Calcular las probabilidades siguientes:

i) Ser persona obesa condicionado a ser hipertensa

ii) Ser persona hipertensa condicionado a ser obesa

iii) Ser obeso o hipertenso

iv) Justifica si son o no independientes los sucesos "ser obeso" y "ser hipertenso".

9. Los datos que posee un centro de salud permiten afirmar que en una población la probabilidad de ser hombre y padecer una cierta enfermedad es 1/12 y la probabilidad de ser mujer y padecer la misma enfermedad es 1/25. Se considera que en esa población hay la misma proporción de hombres que mujeres. Se escoge una persona al azar.

i) Sabiendo que la persona elegida es hombre, hallar la probabilidad de que padezca la enfermedad

ii) Sabiendo que la persona elegida es mujer, hallar la probabilidad de que no padezca la enfermedad

iii) Hallar la probabilidad de que la persona elegida padezca la enfermedad. . . . . . . (Septiembre-97)

10. Se dispone de una moneda cargada de forma que la probabilidad de obtener cara con ella es 1/3, y de dos urnas A y B. La urna A contiene 12 bolas blancas, 20 negras y 5 rojas; la urna B contiene 15 bolas blancas, 18 negras y 4 rojas. Realizamos el experimento aleatorio consistente en lanzar la moneda y si sale cara extraemos una bola de la urna A, si sale cruz la extraemos de la urna B. Hallar la probabilidad de extraer una bola blanca y la probabilidad de extraer una bola que no sea roja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre-97)

11. Una compañía tiene dos proveedores A y B que le suministran artículos en mal estado en los últimos envíos. Los datos del último pedido son:

Calcular la probabilidad de que al elegir al azar un artículo:

i) Sea bueno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii) Sea del proveedor A

iii) Sea del proveedor A sabiendo que es defectuoso. . . . . . iv) Sea del proveedor A y sea bueno

v) Sea suministrado por A o sea defectuoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-97)

12. Lanzamos una moneda al aire y, según salga cara o cruz, sacamos una bola de la urna U₁ o de la urna U₂. La primera urna contiene tres bolas blancas y dos negras; la segunda urna, dos blancas y cuatro negras. Se pide:

i) Realizar un diagrama con los posibles resultados. . ii) Hallar la probabilidad de sacar bola negra.

13. Se disponen de dos urnas U₁ y U₂. La primera contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y una azul, la segunda contiene 2 bolas rojas, 2 blancas y una azul. Se saca al azar una bola de cada urna. Se pide: i) Construir el espacio muestral correspondiente a esta experiencia

ii) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas y la de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

iii) Calcular la probabilidad de la unión y de la intersección de los sucesos del apartado anterior.

14. Una imprenta tiene en almacén 1.000 libros de una edición E₁, 1.200 de la edición E₂ y 800 de la E₃. Se sabe que el 3% de los libros de E₁, el 1.5% de E₂ y el 2% de E₃ tienen defectos. Se elige un libro al azar. i) Hallar la probabilidad de que tenga defectos

ii) Sabiendo que el libro elegido presenta defectos ¿cuál es la probabilidad de que sea de la edición E₂? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre-98)

15. La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso es 1/3, la probabilidad de un suceso B es 3/4 y la probabilidad de que ocurran a la vez A y B es 5/8. Determinar:

i) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B

ii) Probabilidad de que no se verifique el suceso A y no se verifique el suceso B

iii) Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B

iv) Independencia de los sucesos A y B.

16. Se tienen dos urnas U₁ y U₂ cuyo contenido en bolas rojas, azules y verdes es: en la urna U₁ 4 azules, 3 rojas y 3 verdes, en la urna U₂ 5 azules, 4 rojas y 1 verde. Se lanzan tres monedas y si se obtiene exactamente dos caras se extrae una bola de la urna U₁, en otro caso se extrae de la urna U₂. Se pide:

i) Hacer un diagrama para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas.

ii) Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul.

17. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey nos dirigimos a la urna I, en caso contrario nos dirigimos a la urna II. A continuación sacamos una bola. EL contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras, el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea:

i) Blanca y de la urna II. . . . . . . . . . . . . . . . ii) Negra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-99)

18. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume de ambos. Se pide:

i) Sabiendo que un habitante consume pan integral ¿Cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales?

ii) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral?

iii) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma de ninguno de los dos tipos de pan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-99)

19. Se ha realizado un estudio entre 800 estudiantes obteniéndose los siguientes datos: Hay 440 mujeres de las cuales cursan estudios técnicos 300 y el resto estudian humanidades. De los 360 varones 200 cursan estudios técnicos y 160 humanidades. Se selecciona al azar un alumno. Se pide: i) Probabilidad de que estudie humanidades si se sabe que es varón.

ii) Probabilidad de que la persona elegida sea mujer si se sabe que realiza estudios técnicos.

iii) ¿Son independientes los sucesos ser varón y estudiar humanidades?. . . . . . . . . (Septiembre-99)

20. Una urna contiene 2 bolas negras y 2 bolas blancas. Se realizan cuatro extracciones con reemplazamiento. Se pide:

i) Obtén el espacio muestral correspondiente a este experimento aleatorio.

ii) Determina qué elementos del espacio muestral constituyen el suceso A:"Sólo sale una bola negra" y cuáles el suceso B:"La segunda bola extraída es negra".

iii) Halla las probabilidades correspondientes a los sucesos A y B y las correspondientes a su unión y su intersección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre-99)

21. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de que: i) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

ii) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B.

iii) ¿Son independientes los sucesos A y B? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-2.000)

22. Se dispone de tres monedas. La 1ª de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª moneda también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide: i) escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y en el orden indicado.

ii) Probabilidad de que se obtengan, exactamente, 2 cruces.

iii) Probabilidad del suceso A="(cara, cruz,cara)". iv) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.

(Junio-2.000)

23. En un experimento aleatorio, se consideran dos sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique el suceso A es 0,1. La probabilidad de que no se verifique el suceso B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar la probabilidad de que:

i) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

ii) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los sucesos A y B?

(Septiembre 2.000)

24. Una caja tiene 7 tarjetas de la misma forma y tamaño: 4 de color amarillo y 3 de color rojo. Se extrae de ella una tarjeta, se anota su color y sin devolverla a la caja extraemos una segunda tarjeta. Se pide: i) Escribir el espacio muetral.

ii) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.

(Septiembre 2.000)

25. Se dispone de dos urnas idénticas. La primera contiene 3 bolas negras y 4 verdes. La 2ª contiene 4 bolas negras y 3 verdes.

i) Extraemos una bola de cada urna. Halla la probabilidad de que ambas sean de color negro.

ii) Se saca una bola de la 2ª urna y sin mirarla se introduce en la 1ª. De ésta, a continuación, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que sea de color verde. . . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.000)

26. Una caja contiene 1 tarjeta amarilla y 2 tarjetas rojas. Se extrae, con reemplazamiento, dos veces seguidas una tarjeta de la caja. Se pide:

i) Escribir los sucesos elementales que constituyen los sucesos A="Sólo ha salido una tarjeta roja" y B="La segunda tarjeta extraída es amarilla".

ii) Halla la probabilidad de los sucesos A, B y AnB. . . iii) ¿Son independientes los sucesos A y B?

(Propuesto 2.000)

27. Al 65% de los alumnos de un Instituto les gusta el rock latino. Al 25% les gusta la música clásica y sólo al 10% les gusta los dos tipos de música. Se elige al azar uno de estos alumnos. Calcula la probabilidad de que:

i) Le guste el rock latino o la música clásica.

ii) No le guste ni el rock latino ni la música clásica.

iii) Le guste sólo el rock latino.

iv) ¿Son independientes los sucesos A="Le gusta el rock latino" y B="Le gusta la música clásica"

(Propuesto 2.000)

28. Se tienen tres bolsas A, B y C con el siguiente contenido, A: 2 bolas blancas y 3 rojas.

B: 3 bolas blancas y 2 rojas. C: 1 bola blanca y 4 rojas. Se lanzan tres monedas distintas. Si se obtienen exactamente dos caras, se extrae una bola de la bolsa A. Si se obtienen exactamente dos cruces, se extrae una bola de la bolsa B y en los restantes casos, se extrae una bola de la bolsa C. Se pide:

i) Escribe el espacio muetral del experimento aleatorio: "Lanzamiento de las tres monedas".

ii) Halla la probabilidad de que la bola extraída sea de color blanco. . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.000)

29. Se dispones de un dado trucado de cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3 y 4, de modo que p(4)=4p(1), p(3)=3p(1), p(2)=2p(1) en donde p(4) indica la probabilidad de obtener la puntuación 4 y así sucesivamente. Se dispone también de dos urnas con la siguiente composición: Urna U₁: 1 bola roja y 2 bolas verdes. Urna U₂: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se lanza el dado, si sale puntuación par extraemos una bola de la urna U₁ y si sale impar de la urna U₂. Se pide:

a) Determina la probabilidad de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras.

b) Se lanza el dado y a continuación se extrae una bola de la urna que corresponda, halla la probabilidad de que sea de color verde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio 2.001)

30. Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche y a continuación, sin reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide:

a) Escribir los sucesos elementales que definen los suceson M="Sólo ha salido un lápiz de colro verde" y N="El segundo lápiz extraído es de color azul".

b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y MnN.

c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta. . . . . . . . . . . . (Junio 2.001)

31. Se dispone de dos urnas iguales con el siguiente contenido: Urna P: 4 bolas amarillas y 6 granates. Urna Q: 5 bolas amarillas y 7 granates. Se dispone de un dado cúbico con las siguientes puntuaciones: 1, 1, 2, 2, 2, 3. Se lanza el dado. Si sale el número 1 se extrae una bola de la urna P. En los demás casos la bola se extrae en la urna Q. Se pide la probabilidad de que: a) Al lanzar el dado se obtenga una puntuación mayor de 1. b) Al tomar una bola de la urna P sea de color granate. c) Al extraer una bola, después de lanzar el dado, se obtenga de color amarillo.

(Septiembre 2.001)

32. Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su participación en distintos tipos de carreras:

El 70% suele participar en carreras de maratón (42 Km 195 metros)

El 75% suele participar en carreras de media maratón (21 Km 97'5 metros)

El 13% no suele participar en estos tipos de carreras.

Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:

a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.

b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.

c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de media maratón.(Septiembre 2.001)

33. Se lanzan a la vez dos dados cúbicos iguales. Se consideran los sucesos M= "Las puntuaciones de ambos dados son impares" y N="Las puntuaciones de ambos dados son iguales". Se pide: a)Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio "Lanzamiento simultáneo de los dos dados".

b) Determina las probabilidades de los sucesos M, N, MuN y MnN.

c) Determina la probabilidad del suceso "Las puntuaciones de los dos dados no son ambas pares ni ambas iguales".

d) ¿Son independientes los sucesos M y N? Razona la respuesta.

(Propuesto 2.001)

34. Se dispone de una baraja española de 40 cartas (10 cartas de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos). Se extraen dos cartas de la baraja, una a continuación de la otra, sin reemplazamiento. Se pide:

a) Probabilidad de que las dos cartas sean de oros.

b) Probabilidad de que la 1ª carta sea un as y que la 2ª sea una sota. (En una baraja española hay 4 ases y 4 sotas).

Contesta a las mismas cuestiones planteadas, en el caso de que la extracción de cartas se haga con reemplazamiento, es decir, la 1ª carta extraída se devuelva a la baraja antes de extraer la segunda carta.

(Propuesto 2.001)

35. Se dispone de una bolsa con 5 bolas negras y 3 rojas, todas del mismo tamaño. Se dispone también de una moneda trucada de tal forma que la probabilidad de que salga "cara" es cuatro veces la probabilidad de que salga "cruz". Se lanza la moneda. Si sale cara introducimos en la bolsa 2 bolas negras iguales a las existentes. Si sale cruz entonces sacamos de la bolsa una bola roja. Se pide:

a) Determina la probabilidad de que en la bolsa resultante después de lanzar la moneda no haya variado el número de bolas negras.

b)Lanzamos la moneda y realizamos la operación que proceda. A continuación extraemos al azar una bola de la bolsa. Determina la probabilidad de que sea de color negro.

(Propuesto 2.001)

36. La diferencia entre la probabilidad de un suceso M y la probabilidad del contrario de otro suceso N es -0,3. Sabiendo que, cuatro veces la probabilidad de M es igual a tres veces la probabilidad de N y que la probabilidad de la intersección de los sucesos M y N es 0,1, se pide:

a) Probabilidad de que se verifique alguno de los sucesos M o N.

b) Probabilidad de que se verifique únicamente el suceso M ó únicamente el suceso N.

c) Probabilidad de que no se verifique ninguno de los dos.

d) ¿Son independientes los sucesos M y N? Razona la respuesta.

(Propuesto 2.001)

SOLUCIONES

1. i) 17/30 . . . . . . . . . . . ii) 7/30 . . . . . . . . . . . iii) 1/2 . . . . . . . . . . . iv) NO

2. i) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} . . ii) 5/36 . . . . . . . . . . . iii) 1/6 . . . . . . . . . . . iv) NO

3. i) 1/6 . . . . . . . . . . . ii) 2/25 . . . . . . . . . . . iii) 263/300

4. i) 1/6 . . . . . . . . . . . ii) 25/216 . . . . . . . . . . . iii) 0.665102

5. i) 11/20 . . . . . . . . ii) 1/5 . . . . . . . . . . . iii) 7/22 . . . . . . . . . . . iv) NO

6. i) 1/9 . . . . . . . . . . ii) 7/45

7. i) 1/4 . . . . . . . . . . ii) 3/10 . . . . . . . . . . . iii) 15/16 . . . . . . . . . . . iv) NO

8. i) 3/4 . . . . . . . . . . . ii) 3/11 . . . . . . . . . . . iii) 3/5 . . . . . . . . . . . iv) NO

9. i) 1/6 . . . . . . . . . . . ii) 23/25 . . . . . . . . . . . iii) 37/300

10. P(B)=14/37 . . . . . . . . . . . P(no R)=98/111

11. i) 3/20 . . . . . . . . . . ii) 1/4 . . . . . . . . . . . iii) 4/17 . . . . . . . . . iv) 1/20 . . . . . . . . . . v) 9/10

12. i) {(C,B),(C,N),(X,B),(X,N)}. . . . . . . . . . . ii) 8/15

13. i) {(R,R),(R,B),(R,A),(B,R),(B,B),(B,A),(A,R),(A,B),(A,A)}

ii) P(R,R)=1/5 P(=C)=11/30 . . . . . . . . . . . iii) P(unión)=11/30 . . . . . . . . . P(intersección)=1/5

14. i) 0.02133 . . . . . . . . . . . ii) 0.28125

15. i) 19/24 . . . . . . . . . . . ii) 5/24 . . . . . . . . . . . iii) 5/6 . . . . . . . . . . . iv) NO

16. i) {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. . . . . . . . . . . ii) 37/80

17. i) 27/50 . . . . . . . . . . . ii) 241/600

18. i) 4/11 . . . . . . . . . . . ii) 1/3 . . . . . . . . . . . iii) 0.35

19. i) 4/9 . . . . . . . . . . . ii) 3/5 . . . . . . . . . . . iii) NO

20. i) {BBBB,BBBN,BBNB,BNBB,NBBB,BBNN,BNBN,BNNB,NBNB,NNBB,

NBBN,NNNB,NNBN,NBNN,BNNN,NNNN}.

ii) A={BBBN,BBNB,BNBB,NBBB}, B={BNBB,BNBN,BNNB,NNBB,NNNB,NNBN,BNNN,NNNN}.

iii) P(A)=1/4, P(B)=1/2, P(intersección)=1/16, P(unión)=11/16.

21. i) 0,72 . . . . . . . . . . . ii) 0,82 . . . . . . . . . . . iii) Son independientes.

22. i) {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. . . ii) 0,52 . . . iii) 0,24 . . . iv) 0,76

23. i) 0.96 . . . . . . . . . . . ii) 0.54 Si son independientes.

24. i) {AA, AR, RA, RR}. . . . . . . . . . . ii) P(AA)=P(AR)=P(RA)=2/7, P(RR)=1/7.

25. i) P(NN)=12/49 . . . . . . . . . . . ii) P(V)=31/56.

26. i) A={AR, RA} B={AA, RA}. . . . . . . . . . . ii) P(A)=4/9, P(B)=3/9, P(AnB)=2/9

iii) No son independientes.

27. i) 0.8 . . . . . . . . . . . ii) 0.2 . . . . . . . . . . . iii) 0.55 . . . . . . . . . . . iv) NO

28. i) {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. . . . . . . . . . . ii) P(B)=17/40.

29. a) p(1)=1/10 ; p(2)=1/5 ; p(3)=3/10 y p(4) 2/5 . . . . . . b) 16/25

30. a) M={AV, VA} ; N={AA, VA} . . . . . . b) P(M)=3/5 ; P(N)=2/5 ; P(MnN)=3/10

c) No son independientes

31. a) 2/3 . . . . . . b)3/5 . . . . . c) 37/90

32. a) 0'87 . . . . . b) 0'58 . . . . c) 0'29

33. a) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

b) P(M)=1/4; P(N)=1/6; P(MuN)=1/3; P(MnN)=1/12. . . . . . . . c) P=2/3. . . . . . d) No

34. P(2 oros)=3/52; P(As y Sota)=2/195 . . . . . . . P(2 oros)=1/16; P(As y Sota)=1/100

35. a) 1/5. . . . . . . . . b) 123/175

36. a) 0,6. . . . . . . . . b) 0,5. . . . . . . . . c) 0,4. . . . . . . d) No