PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Para cubrir las necesidades del organismo, durante un cierto período de tiempo, en dos tipos de vitaminas P y Q se necesitan 30.000 unidades de la primera y 800 de la segunda. Se pueden adquirir dos productos A y B , cuyos costes respectivos son 200 y 100 pesetas por caja. Una caja del producto A proporciona 300 unidades de vitamina P y 4 de vitamina Q. La caja del producto B proporciona 100 unidades de P y 8 de Q. Determina la cantidad de cajas que se debe adquirir de cada producto para que el gasto sea mínimo.

2. Una fábrica construye dos tipos de coches eléctricos para campos de golf, monoplaza y biplaza. En la fábrica hay un grupo de operarios dedicados al montaje y otro dedicado al acabado. En la tabla adjunta se reflejan las horas necesarias según el modelo y las horas disponibles:

Si los beneficios son de 50.000 pesetas por coche monoplaza y 65.000 pesetas por el biplaza. ¿Cuántos coches de cada tipo conviene fabricar para maximizar el beneficio?

3. En un taller de confección se dispone de 160 m² de algodón y 240 m² de lana para hacer trajes y abrigos. Se utiliza por término medio 1 m² de algodón y 3 m² de lana por cada traje y 2 m² de algodón y 2 m² de lana por cada abrigo. Cada traje se vende a 25.000 pesetas y cada abrigo a 35.000 pesetas. ¿Cuántos trajes y abrigos deben hacer para obtener máximas ganancias?

4. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A para hacer la carrocería de un camión se invierten 7 días-operarios, para fabricar la de un coche 2 días-operarios. En la nave B se invierten 3 días-operarios tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y de maquinaria la nave A dispone de 300 días-operarios y la nave B de 270 días-operarios. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas. ¿Cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias?

5. Un estudio realizado por una cadena de radio indica que un programa A con 20 minutos de tertulia y un minuto de publicidad capta 30.000 oyentes, mientras que otro programa B con 10 minutos de tertulia y 1 de publicidad atrae 10.000 oyentes. Para un período de tiempo dado la dirección de la emisora dispone de 400 minutos para tertulia y los anunciantes de 30 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces debe aparecer cada tipo de programa para lograr la máxima audiencia?

6. Un centro social ha organizado un viaje para un número de personas cercano y no superior a 400. La empresa con la que se contrata el viaje dispone de 8 autobuses de 40 plazas y de 10 de 50 plazas, pero sólo tiene 9 conductores disponibles. El alquiler de un autobús de 50 plazas cuesta 16.000 pesetas y el de uno de 40 plazas 12.000 plazas. ¿Cuántos autobuses de cada tipo convendrá alquilar para que el precio del viaje sea mínimo? . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre-97)

7. Una empresa fabrica dos tipos de videoconsolas M₁ y M₂, y dispone de dos naves en las que se efectúan, respectivamente, tareas de soldadura y ensamblaje. La nave dedicada a soldadura dispone de 750 horas de trabajo, y se sabe que se emplean 3 horas para una videoconsola M₁ y 5 horas en una del tipo M₂. La nave destinada al montaje dispone de 3.000 horas y se necesitan 21 horas para el ensamblaje del modelo M₁ y 10 para el modelo M₂. La ganancia netas son de 6.000 pesetas para el modelo M₁ y de 4.000 pesetas para el M₂. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo para maximizar las ganancias de la empresa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-97)

8. Una fábrica de dulces tiene excedentes de algunas materias primas: 85 kg. de piñones, 100 kg. de almendras y 500 kg. de harina. Puede producir dulces de calidad media y superior, a 1.300 y 1.350 pesetas la caja respectivamente. La caja de calidad media utiliza 1 kg. de piñones, 1 kg. de almendras y 3 kg. de harina. La caja de calidad superior incorpora 1 kg. de piñones, 1'5 kg. de almendras y 2 kg. de harina. ¿Cuántas cajas de cada tipo conviene fabricar para obtener máximos beneficios?

9. Una persona va a iniciar una dieta y recibe las siguientes recomendaciones:

- Debe tomar una mezcla de dos compuestos D₁ y D₂

- La cantidad total diaria a ingerir, una vez mezclados los compuestos, no debe ser superior a 150 gramos ni inferior a 50 gramos

- En la mezcla deber haber más cantidad de D₁ que de D₂

- La mezcla no debe contener más de 100 gramos de D₁

Se sabe que cada gramo de D₁ aporta 0.3 miligramos de vitaminas y 4.5 calorías y cada gramo de D₂ aporta 0.2 miligramos de vitaminas y 1.5 calorías. ¿Cuántos gramos de cada compuesto debe tomar para obtener la máxima cantidad de vitaminas? ¿Cuántos gramos de cada compuesto si desea el mínimo de calorías? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre-98)

10. En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 a un televisor. Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores cada uno de los cuales dedica 5 horas diarias a la venta o a la instalación de electrodomésticos durante los 16 días de campaña. sabe que se obtiene un beneficio de 45.000 pesetas por televisor y de 50.000 pesetas por la lavadora vendidos. ¿Cuántas lavadoras y televisores conviene poner a la venta para obtener máximos beneficios?

11. Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 450 pesetas por cada broche sencillo y de 600 pesetas por cada broche de fiesta. En un día no se puede fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿Cuál es el número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál debería ser la producción para obtener el máximo beneficio si se obtuvieran 600 pesetas por broche sencillo y 450 por el de fiesta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-99)

12. Dada la función objetivo f(x,y)=2x+3y sujeta a las restricciones:

2x+y<=10 ; x+2y<=8 ; x>=0 ; y>=0

Se pide: i) Representa la región factible.

ii) Halla los valores de x e y que hacen máxima la función objetivo.

iii) Determina los valores de x e y que minimizan la función objetivo.

(Septiembre-99)

13. Las 18 chicas y los 24 chicos de Bachillerato de una centro docente organizan un viaje. Para financiarlo deciden trabajar por las tardes en una empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos:

Tipo A: Dos chicas y cuatro chicos. Tipo B: Tres chicas y tres chicos.

La empresa abona por una tarde de trabajo 3.000 ptas al equipo del tipo A y 5.000 ptas al equipo del tipo B. Se pide:

i) Dibujar la región factible.

ii) ¿Cómo conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad posible de dinero?

iii) Si la empresa abonara por una tarde de trabajo 4.000 ptas al equipo del tipo A y 5.000 ptas al equipo del tipo B. ¿Cómo les convendría hacer la distribución? . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio-2.000)

14. Una fábrica envasa al día durante una campaña de Navidad 180 kg. de turrón. Produce tabletas medianas y grandes de peso neto 200 gr. y 300 gr., respectivamente. Se deben fabricar un número de tabletas medianas no superior al triple de tabletas grandes. El beneficio es de 110 ptas. tableta mediana y 150 ptas por tableta grande. Se pide:

i) Representar la región factible.

ii) ¿Cuántas tabletas de cada clase denen producirse al día para que el beneficio sea máximo?

(Septiembre 2.000)

15. Dada la función objetivo F(x,y)=x+3y sujeta a las restricciones siguientes:

a) x+2y>=2; b) x-y<=2; c) 2x-y>=-1; d) x+y<=4; e) x>=0; d) y>=0. Se pide:

i) Representa la región factible. . . ii) Valor de "x" y valor de "y" que hacen máxima la función F.

(Propuesto 2.000)

16. Un almacén realiza a sus clientes una oferta relativa a sus excedentes de tres productos para piscinas: 1.500 litros de hipoclorito sódico, 1.400 litros de algicida y 1.200 litros de floculante. Para ello preparan dos tipos de lotes de oferta:

Tipo 1º: 10 litros de hipoclorito sódico, 20 litros de algicida y 20 litros de floculante.

Tipo 2º: 30 litros de hipoclorito sódico, 20 litros de algicida y 10 litros de floculante.

Cada lote del 1º tipo reporta un beneficio de 1.000 ptas. y cada lote del 2º tipo 1.200 ptas. Supongamos que se vendan todos los lotes preparados. Se pide:

i) Dibujar la región factible.

ii) ¿Cuántos lotes de cada tipo conviene preparar para obtener el máximo beneficio?

(Propuesto 2.000)

17. Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas de cumpleaños con el siguiente contenido:

Tipo I: 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas.

Tipo II: 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas.

En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40.

El beneficio por la venta es: de 150 ptas por cada bolsa del Tipo I y 225 por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían venderse en ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Junio 2.001)

18. Un Ciber-Café realiza dos ofertas entre sus clientes habituales:

Oferta I: 1 refresco, 3 bizcochos y 20 minutos de conexión a Internet.

Oferta I: 1 refresco, 2 bizcochos y 30 minutos de conexión a Internet.

Las características del local limitan a 50 horas diarias el tiempo máximo de conexión a Internet. Al no disponer de almacén, sólo se puede acumular un máximo de 100 refrescos y 240 bizcochos. Un cliente que opte por la Oferta I produce un beneficio de 500 ptas y si opta por la Oferta II, el beneficio es de 450 ptas. Halla el número de clientes que deberían elegir cada una de las ofertas para que el beneficio total fuese lo mayor posible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre 2.001)

19. Un atleta utiliza dos tipos de sesiones en su entrenamiento:

Tipo I: 10 carreras cortas de 100 metros cada una y 4 carreras largas de 3 km. cada una.

Tipo II: 10 carreras cortas de 300 metros cada una y 3 carreras largas de 2 km. cada una.

El tiempo que tarda el atleta en realizar una sesión del Tipo I es de 60 minutos y en realizar una sesión del Tipo II, 50 minutos.

En carreras cortas el número de km. semanales no puede ser superior a 9, y en carreras largas el número de km. semanales no puede ser superior a 48. Halla el número de sesiones de cada tipo que debe realizar a la semana para que el tiempo de entrenamiento sea el mayor posible. ¿Cuál es ese tiempo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.001)

20. Un fabricante de helados utiliza dos tipos de envases para sus helados de vainilla: Cono de galleta y tarrina con capacidades respectivas de 30 y 20 centilitros. Diariamente envasa un máximo de 14 litros de helado. El número de conos de galleta no puede superar al cuádruplo del número de tarrinas y el número de éstas no puede superar al doble del número de conos de galleta. El precio de venta al público es de 275 ptas el cono de galleta y de 225 ptas la tarrina. El precio de coste es de 140 ptas el cono de galleta y de 120 ptas la tarrina. Halla cuántos envases de cada tipo debe realizar para que el beneficio diario sea máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.001)

SOLUCIONES

1. 80 de la caja A y 60 de la B. . . . . . . . . . 2. 25 monoplazas y 15 biplazas.

3. 40 trajes y 60 abrigos. . . . . . . . . . . . . . . 4. 24 camiones y 66 automóviles.

5. 20 veces el programa A y 0 veces el programa B. . . . . 6. 5 autobuses de 40 plazas y 4 de 50.

7. 100 videoconsolas M₁ y 90 videoconsolas M₂.

8. 55 cajas de calidad media y 30 cajas de calidad superior.

9. Para maximizar la cantidad de vitaminas: 100 gramos de D₁ y 50 gramos de D₂.

Para minimizar la cantidad de calorías: 25 gramos de cada compuesto.

10. 600 lavadoras y 1440 televisores.

11. 200 broches sencillos y 300 de fiesta. . . . . . . 400 broches sencillos y 100 de fiesta.

12. ii) x=4, y=2. . . . . . . iii) x=0, y=0.

13. ii) 0 equipos tipo A y 6 equipos tipo B. . . . . . iii) 3 equipos tipo A y 4 equipos tipo B.

14. ii) 600 medianas y 200 grandes. . . . . . . . . . . . 15. ii) x=1, y=3.

16. ii) 30 lotes del tipo 1º y 40 lotes del tipo 2º. . . 17. 60 bolsas del Tipo I y 30 bolsas de Tipo II.

18. 40 de la Oferta I y 60 de la II. . . . . . . . . . . . . . 19. 3 veces el Tipo I y 2 veces el Tipo II

20. 20 conos y 40 tarrinas.