UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA

Pruebas de aptitud para acceso a la Universidad (Bachillerato L.O.G.S.E.)

Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Esta prueba consta de cuatro bloques de dos ejercicios A) y B) cada uno. El/la alumnos/a debe resolver cuatro ejercicios, uno de cada bloque. Cada ejercicio tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora.

BLOQUE 1

A) Una tienda de discos ha vendido 330 discos compactos de música clásica, rock y cantautores por un importe de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de música clásica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantautores un 15% y un 20% más baratos que los de música clásica, respectivamente. También se sabe que se ha vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del número de compactos de rock vendidos. Averiguar cuántos discos compactos se ha vendido de cada clase.

B) Resuelve la ecuación X.A+X=2B siendo:

BLOQUE 2

A) Una persona va a iniciar una dieta y recibe las siguientes recomendaciones: Debe tomar una mezcla de dos compuestos D₁ y D_{2 .} La cantidad total diaria a ingerir, una vez mezclados los compuestos, no debe ser superior a 150 gramos ni inferior a 50 gramos. En la mezcla deber haber más cantidad de D₁ que de D_2. La mezcla no debe contener más de 100 gramos de D₁. Se sabe que cada gramo de D₁ aporta 0.3 miligramos de vitaminas y 4.5 calorías y cada gramo de D₂ aporta 0.2 miligramos de vitaminas y 1.5 calorías. ¿Cuántos gramos de cada compuesto debe tomar para obtener la máxima cantidad de vitaminas? ¿Cuántos gramos de cada compuesto si desea el mínimo de calorías?

B) En una empresa se quiere realizar una encuesta por el método de muestreo estratificado entre sus 800 empleados. Se pretende que la muestra, de tamaño 160, sea representativa por sexo y edad. Para la edad se establecen 5 estratos en los que se distribuyen los empleados/as como se indica en la tabla. Por sexo la distribución es 380 hombres y 420 mujeres distribuidos proporcionalmente a cada grupo de edad. Determina, redondeando si es preciso, a cuántos empleados y empleadas de cada estrato se ha de preguntar.

BLOQUE 3

A) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una gran ciudad en los últimos años indica que la concentración de estos viene dada por la función

C(x)=-0.2x²+5x+30 (x en años contando a partir del 1 de enero de 1.990).

i) Halla la tasa de variación entre enero de 1.991 y enero de 1.995

ii) Según el estudio ¿en qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?

iii) ¿En el año 1.997 era creciente C(x)?

iv) Halla la pendiente de la recta tangente a esta función en x=8. Interpreta el resultado obtenido.

B) Se tiene una lona de forma rectangular y 64 m² de superficie. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que la suma de los cuadrados de sus lados sea mínima? ¿Ha de tener las mismas dimensiones dicha lona si lo que se desea es que su perímetro sea mínimo?

BLOQUE 4

A) Una imprenta tiene en almacén 1.000 libros de una edición E₁, 1.200 de la edición E₂ y 800 de la E₃. Se sabe que el 3% de los libros de E₁, el 1.5% de E₂ y el 2% de E₃ tienen defectos. Se elige un libro al azar.

i) Hallar la probabilidad de que tenga defectos

ii) Sabiendo que el libro elegido presenta defectos ¿cuál es la probabilidad de que sea de la edición E₂?

B) En una empresa de exportación de cítricos se investiga el peso medio de cierta variedad de naranjas. Se admite un error máximo de 10 gramos, con una confianza del 95%. Se sabe por estudios de otros años que el peso medio se distribuye normalmente siendo la desviación típica de 60 gramos. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra a elegir? ¿Y si se desea una confianza del 99%?