SISTEMAS DE ECUACIONES

1. A una persona que ha viajado por el extranjero le han sobrado unos cuantos francos franceses, libras esterlinas y dólares. Al cambiarlos ha recibido 2390 pesetas. Ese día el dólar estaba a 140 pesetas, la libra a 210 y el franco a 25 pesetas. El número de dólares más el de libras mas el de francos es 20. Si hubiera tenido el doble de dólares, el triple de francos, pero no le hubiesen quedado libras, hubiera recibido al cambio 3250. ¿Cuántos dólares, libras y francos tenía?

2. Una editorial dispone de tres libros diferentes correspondientes a tres materias distintas de Bachillerato. El libro de la materia A se vende a 900 pesetas el ejemplar, el libro de la materia B a 1.100 pesetas y el de la materia C a 1.300 pesetas. Se sabe que el año pasado la editorial ingreso 840.000 pesetas por la venta de los libros de las asignaturas A, B y C. El libro A se vendió tres veces más que el C, y el B se vendió tanto como A y C juntos. ¿Cuántos libros se vendieron de cada tipo? ¿Cuáles fueron los ingresos que proporcionaron las ventas de cada tipo de libro?

3. Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos distintos A, B y C. Las cajas de tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de 100 pesetas, las de tipo B pesan 500 gramos y su precio es 180 pesetas, mientras que las C pesan 1 kilogramo y cuestan 330 pesetas. A una farmacia se le han suministrado un lote de 5 cajas, con un peso total de 2.5 kilogramos por un importe de 890 pesetas. ¿Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia?

4. La suma de las edades de tres personas es, en el momento actual, 73 años. Dentro de 10 años la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la persona más joven. Hace doce años la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Hallar las edades de las tres personas.

5. En un instituto, donde se imparten 1º y 2º ciclo de enseñanza obligatoria y bachillerato hay 20 grupos de alumnos en total. Si sumamos los grupos de bachillerato y de 2º ciclo de enseñanza secundaria obtenemos el triple del número de grupos de 1º ciclo. Si hubiera un grupo más de 2º ciclo su número igualaría al de grupos de bachillerato. ¿Cuántos grupos hay de bachillerato, de 1º ciclo y de 2 ciclo de enseñanza obligatoria?. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . (Septiembre-97)

6. Entre Carlos, Raúl y Pedro suman 515 libros de distintos géneros literarios. Si el número de libros que posee Carlos le sumamos el triple de la diferencia entre los que tienen Pedro y Raúl, entonces Carlos tendría tantos como Raúl. Además 8 veces el número de volúmenes de Pedro equivale a 9 veces el número de los de Carlos. ¿Cuántos libros tiene cada uno? . . . . . . . (Junio-97)

7. En una tienda de alimentación hay tres productos en oferta: harina, vinagre y botes de guisantes. Un cliente compró un paquete de harina, cuatro botellas de vinagre y dos botes de guisantes, por un importe de 200 pesetas; otro cliente compró un bote de guisantes, dos botellas de vinagre y devolvió un paquete de harina que tenía insectos en su interior, pagó 70 pesetas; y un tercer cliente compró tres botellas de vinagre y devolvió dos paquetes de harina, pagando 20 pesetas. ¿Cuáles eran los precios de los tres productos? ¿Cómo sería el sistema si el tercer cliente hubiera comprado dos botes de guisantes y 4 botellas de vinagre y hubiera devuelto dos paquetes de harina y le hubieran cobrado 150 pesetas?

8. Una tienda de discos ha vendido 330 discos compactos de música clásica, rock y cantautores por un importe de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de música clásica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantautores un 15% y un 20% más baratos que los de música clásica, respectivamente. También se sabe que se ha vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del número de compactos de rock vendidos. Averiguar cuántos discos compactos se ha vendido de cada clase. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . (Septiembre-98)

9. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro suman 1.545 pesetas. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y el de Marta es igual al gasto de Marta. Averiguar cuál es la cantidad que gasta cada uno.

10. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L₁, L₂ y L₃. El importe total de la edición es 3.750.000 pesetas. Los costes en pesetas por unidad son 700, 500 y 600, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L₃ es igual a los dos séptimos de los del tipo L₂, y si al triple del número de ejemplares de L₁ se le suma el número de ejemplares de L₃ se obtiene el doble del número de ejemplares de L₂. Averigua cuántos libros se han editado de cada tipo. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . (Junio-99)

11. Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C se obtienen 50 años. El doble de la suma de las antigüedades de B y C es igual al triple de la antigüedad de A. La diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30% de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . (Septiembre-99)

12. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:

- Cuatro cafés y un bocadillo, cuestan lo mismo que cinco refrescos.

- Cuatro cafés y tres bocadillos, cuestan lo mismo que diez refrescos.

- Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 950 ptas.

Calcular el precio de un café, de un refresco y de un bocadillo. . . . . . . . . . . .. . . . . . . (Junio-2.000)

13. Los 345 atletas que llegaron a la meta en una prueba de maratón se pueden agrupar así: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo B: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 3 y 4 horas. Grupo C: Atletas cuyo tiempo está comprendido entre 4 y 5 horas. El número de atletas del grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. La diferencia entre el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Calcular el número de atletas que hay en cada grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Septiembre 2.000)

14.- Según la Guía Oficial de Hoteles, en una ciudad del litoral levantino existen 106 establecimientos contando los de 2* (dos estrellas), los de 3* (tres estrellas) y los de 4* (cuatro estrellas). Si 9 hoteles de 3* pasaran a la categoría de 2*, entonces habría igual número de hoteles de 2* y de 3*. En cambio, si hubiera un hotel más de 2*, entonces el número de éstos sería cuatro veces el número de los de 4*. ¿Cuántos hoteles hay de 2*, de 3* y de 4*?. . . . . . (Propuesto 2.000)

15.- Una persona reparte entre sus tres hijos el premio obtenido en un sorteo, de la forma siguiente. Al mayor le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo mediano le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo menor le asigna la mitad de la diferencia de las cantidades que corresponden a los otros dos más 100 Euros. Halla la cantidad de dinero asignada a cada hijo y el importe total del premio. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.000)

16.- En una competición deportiva celebrada en un I.E.S. participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . (Junio 2.001)

17. Dividimos un número de tres cifras, "xyz", entre la suma de estas y obtenemos 20 de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, "y", es igual a la mitad de la suma de las otras dos. La cifra de las unidades, "z", es igual a la suma de las otras dos. Halla el número "xyz". . (Septiembre 2.001)

18. Las edades de tres miembros de una misma familia, el abuelo, el hijo y el nieto, verifican lo siguiente: La suma de las edades del abuelo y del nieto excede en 5 años al doble de la edad que tiene el hijo. Hace 5 años la edad del abuelo era el doble de la edad que tenía el hijo. Sumando las edades que tendrán dentro de 10 años se obtiene 28 veces la edad que tenía el nieto hace 5 años. Halla la edad actuales de los tres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Propuesto 2.001)

19. Se reparten 18.400€ entre tres personas A, B y C de modo que: Por cada 2€ que recibe A, B recibe 3€. Por cada 5€ que recibe B, C recibe 7€. ¿Qué cantidad corresponde a cada persona?

(Propuesto 2.001)

SOLUCIONES

1. 6 francos, 4 libras y 10 dólares.

2. Se venden 300 libros A, 400 B y 100 C. Los ingresos por los libros A son 270.000 ptas,

por los B 440.000 ptas y por los C 130.000 ptas.

3. 2 del tipo A, 2 del B y 1 del C.

4. El mayor tiene 40 años, el mediano 18 y el pequeño 15 años.

5. 5 grupos de 1º, 7 de 2º y 8 de bachillerato.

6. Carlos tiene 160 libros, Raúl 175 y Pedro 180.

7. La harina 20 ptas, el vinagre 20 ptas y los guisantes 50 ptas. El sistema es incompatible.

8. Se han vendido 130 de música clásica, 120 de rock y 80 de cantautores.

9. Marta se gasta 480 ptas, Raúl 540 y Pedro 525.

10. Tipo L₁=2.000 libros, L₂=3.500 libros y L₃=1.000 libros.

11. A tiene 20 años de antigüedad, B 18 años y C 12 años.

12. Un café cuesta 125 ptas, un bocadillo 500 ptas y un refresco 200 ptas.

13. Grupo A: 97, Grupo B: 217 y Grupo C: 31 atletas.

14. Hay 39 hoteles de 2*, 57 de 3* y 10 de 4*.

15. Le asigna 100 Euros a cada hijo. El premio total es de 300 Euros.

16. Hubo 15 atletas Infantiles, 29 Cadetes y 6 Juveniles

17. El número es el 123.

18. Abuelo: 65 años, hijo: 35 años y nieto: 10 años.

19. A recibe 4.000€, B recibe 6.000€ y C recibe 8.400€.