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第十一章  暗物质构成宇宙的数理模型

    在已观测到的物质中，各星系的质量对宇宙平均密度有决定性的贡献，它的大小是

P = 3.1x10^-28 kg/cm³             (11-1)

    其它类型物质对密度的贡献都比星系低几个量极。例如，微波背景辐射的密度为10^-32 kg /cm³；宇宙射线的密度为10^-32 kg/cm³; 星光的密度为10^-32 kg /cm³ ；X射线的密度为l0^-34 kg/cm³ 等等。所以(11-1)式中的数值就可以看做是已观测到的宇宙物质的总平均密度。

另一方面热大爆炸宇宙学的基本方程为

                     (11-2)

      (11-3)

    其中R(t)是宇宙的标度因子， k = -1, 0。 1，分别对应于开，平直，闭宇宙 ，由 (11-2) 和 (11-3)式消去可得到一个关于标度因子R(t)的一阶微分方程

                         (11-4)

度量宇宙 膨胀的哈勃参量定义为

                         (11-5)

场方程 (11-4) 可改写成

                 (11-6)

其中

                         (11-7)

宇宙现时的能量密度和压强可由方程(11-2)和(11-3)得出

                     (11-8)

       (11-9)

    其中R₀ 是宇宙标度因子R(t)的现时值，H₀ 和q₀是哈勃参数H和减速参数 的现时值，由(11-8)可知，空间曲率k/R²为正或负，决定于p₀究竟大于还是小于临界密度。

                                                                  (11-10)

现时哈勃参量的观测值是

H₀ =50km · s^-1 · Mpc^-1                           (11-11)

现时减速参量的观测值是

q₀ = 1.0 ± 0.8                          (11-12)

有足够的根据认为宇宙现时的能量密度主要决定于非相对论性物质，且满足

P₀ << ρ₀

那么，我们从 (11-9)可知

k / R₀²=(2q₀ –1) H₀²                     (11-14)

并由(11-8)式得到现时密度与临界密度的比为

ρ₀ / ρ _c = 2 q₀                          (11-15)

    将(11-1)代入(11-15)式，得到 q₀ = 0.02，这与q₀ 的观测值 (11-12)相差太大。这一结果表明不可视物质不仅必定存在，在宇宙 中至少90% 的物质一定由所谓非重子物质所组成，而且这类物质的电磁相互作用十分微弱，否则它们就不会如此之暗，以至于很难探测到。在上一节之中，我们已经讨论到单个WG 元粒子不可能对“WG以太”有较强的牵携， g=0,即WG元粒子的电磁相互作用十分弱，所以WG元粒子可以作为暗物质的候选者。

11.1. WG星

¾ WG构成整个宇宙的数理分析

    如果考虑到WG物质的分布密度为p(r)，在牛顿力学的框架下WG物质将满足Poisson方程

V = 4πGρ                              (11.1-1)

    其中V是WG物质的引力势, G是牛顿引力常数。另一方面，在非相对论性近似下，WG物质应当满足薛定谔方程

      (11.1-2)

对于具有相同量子态的N个WG元粒子的物质密度分布为

ρ = N m_w ψ^*ψ                        (11.1-3)

其中单粒子波函数应满足规一化条件

(11.1-4)

    我们现在研究球对称的WG星体，所以我们仅讨论系统的基态波函数，即n = 1, l = 0 态。球对称基态径向波函数在取无量纲的单位下，满足如下的方程组。

            (11.1-5)

                         (11.1-6)

                                    (11.1-7)

其中

r = h² · · G^-1 · N^-1 · u /2         (11.1-8)

         (11.1-9)

                         (11.1-10)

                         (11.1-11)

    薛定谔方程的边界条件：当u→∞ 时， Φ(u) → 0。由于我们仅考虑系统的基态，我们要求波函数Φ(u)不存在节点。利用常微分方程的Runge-Kutta 方法可以进行数值积分计算。数值积分给出基态的束缚态能E₀ = -0.054 G² N³ m_w⁵ / h² ，所以WG星的总能量M为

                                                                       (11.1-12)

从上式很容易导出，WG星总能量的上限。M的最大值发生在

.

所以

                 (11.1-13)

    另一方面，由于m_w 的数值很小，如将m_w=3.6x10^-45kg 代入上式，容易发现

M_MAX = 2.1 x 10³⁶ g ≈ 10.5 x 10³ M£ (11.1-14)

所以利用WG方案，确实可以解决宇宙的暗物质问题

11.2 WG星质量的解析研究

    在牛顿力学的近似下，我们可以进一步对N个WG 元粒子系统能量作解析研究，两个WG元粒子之间的牛顿势为

                (11.2-1)

由(11.2-1)式，N个WG元粒子之间的总哈密顿量为

                             (11.2-2)

其中

                                                                  (12.2-3)

    以氢原子的两体哈密顿量相比，我们发现N个WG元粒子的总哈密顿量仅有的差别是用质量 替代 m_p，所以关于氢原子的薛定谔方程的结果均可以在适当的替代下以用。基态的期望值 满足不等式

                         (11.2-4)

所以，我们有N个WG 元粒子的自引力系统的基态能量的下限：

    (11.2-5)

    这是一个初步的解析结果，如果进一步将质心动能分离出来，我们可以得到更好的解析结果。

利用数学恒等式

  (11.2-6)

N个WG元粒子在它们的质心系中的相对运动是由下述哈密顿量描述 的

                         (11.2-7)

其中

       (11.2-8)

定义 () 是共轭动量为 = ()/2， 和() 提供了正则交换关系。 (11.2-8)式可以改写为

                     (11.2-9)

h_ij 的期望值的下限为

                       (11.2-10)

所以，基态的下限是

                    (11.2-11)

另一方面，如果利用试探波函数

            (11.2-12)

并采用标准的变分技术，可以得 到基态能量的下限为

       (11.2-13)

如果考虑到WG星是由大量的WG元粒子组成，则我们发现E₀的上下限仅相差15%，我们可以取其平均值 ， WG星体的平均质量M为

= N m_w – 0.058 N3 m_w⁵ / m_pl⁴   (11.2-14)

如将 m_w=3.6 x 10^-35 kg 代入上式，则表达式约化成

= (N – 4.3 x 10^-155 N³) m_w       (11.2-15)

在图4中我们作出了关于粒子数N的函数分布值

图 4