短信推荐 转移 打包 发贴 进入西陆X情人 回复 精品收藏 删除 修改 置顶 申请BBS
暗物质构成宇宙的数理模型
作者:tongzr(xxx.xxx.xxx.xxx) 2003/02/13 22:14   字节:24K 点击:8次 帖号:28482
当前论坛: [挑战相对论]讨论区 [hongbin.bbs.xilu.com]订阅论坛短信  互换联接: 我的家园 感受家的温馨

第十一章  暗物质构成宇宙的数理模型


    在已观测到的物质中，各星系的质量对宇宙平均密度有决定性的贡献，它的大小是


P = 3.1x10-28 kg/cm3             (11-1)


    其它类型物质对密度的贡献都比星系低几个量极。例如，微波背景辐射的密度为10-32 kg /cm3；宇宙射线的密度为10-32 kg/cm3; 星光的密度为10-32 kg /cm3 ；X射线的密度为l0-34 kg/cm3 等等。所以(11-1)式中的数值就可以看做是已观测到的宇宙物质的总平均密度。


另一方面热大爆炸宇宙学的基本方程为


image081.gif (381 bytes)                      (11-2)


image082.gif (1219 bytes)       (11-3)


    其中R(t)是宇宙的标度因子， k = -1, 0。 1，分别对应于开，平直，闭宇宙 ，由 (11-2) 和 (11-3)式消去image083.gif (862 bytes)可得到一个关于标度因子R(t)的一阶微分方程


image084.gif (1111 bytes)                          (11-4)


度量宇宙 膨胀的哈勃参量定义为


image085.gif (969 bytes)                          (11-5)


场方程 (11-4) 可改写成


                 (11-6)


其中


                         (11-7)


宇宙现时的能量密度和压强可由方程(11-2)和(11-3)得出


                     (11-8)


       (11-9)


    其中R0 是宇宙标度因子R(t)的现时值，H0 和q0是哈勃参数H和减速参数image0810.gif (953 bytes) 的现时值，由(11-8)可知，空间曲率k/R2为正或负，决定于p0究竟大于还是小于临界密度。


   


                                                                  (11-10)


现时哈勃参量的观测值是


H0 =50km · s-1 · Mpc-1                           (11-11)


现时减速参量的观测值是


q0 = 1.0 ± 0.8                          (11-12)


有足够的根据认为宇宙现时的能量密度主要决定于非相对论性物质，且满足


P0 << ρ0


那么，我们从 (11-9)可知


k / R02=(2q0 –1) H02                     (11-14)


并由(11-8)式得到现时密度与临界密度的比为


ρ0 / ρ c = 2 q0                          (11-15)


    将(11-1)代入(11-15)式，得到 q0 = 0.02，这与q0 的观测值 (11-12)相差太大。这一结果表明不可视物质不仅必定存在，在宇宙 中至少90% 的物质一定由所谓非重子物质所组成，而且这类物质的电磁相互作用十分微弱，否则它们就不会如此之暗，以至于很难探测到。在上一节之中，我们已经讨论到单个WG 元粒子不可能对“WG以太”有较强的牵携， g=0,即WG元粒子的电磁相互作用十分弱，所以WG元粒子可以作为暗物质的候选者。


11.1. WG星


¾ WG构成整个宇宙的数理分析


    如果考虑到WG物质的分布密度为p(r)，在牛顿力学的框架下WG物质将满足Poisson方程


V = 4πGρ                              (11.1-1)


    其中V是WG物质的引力势, G是牛顿引力常数。另一方面，在非相对论性近似下，WG物质应当满足薛定谔方程


      (11.1-2)


对于具有相同量子态的N个WG元粒子的物质密度分布为


ρ = N mw ψ*ψ                        (11.1-3)


其中单粒子波函数应满足规一化条件


(11.1-4)


    我们现在研究球对称的WG星体，所以我们仅讨论系统的基态波函数，即n = 1, l = 0 态。球对称基态径向波函数在取无量纲的单位下，满足如下的方程组。


            (11.1-5)


                         (11.1-6)


                                    (11.1-7)


其中


r = h2 · · G-1 · N-1 · u /2         (11.1-8)


image0818.gif (1456 bytes)          (11.1-9)


image0819.gif (1171 bytes)                          (11.1-10)


image0820.gif (1174 bytes)                          (11.1-11)


    薛定谔方程的边界条件：当u→∞ 时， Φ(u) → 0。由于我们仅考虑系统的基态，我们要求波函数Φ(u)不存在节点。利用常微分方程的Runge-Kutta 方法可以进行数值积分计算。数值积分给出基态的束缚态能E0 = -0.054 G2 N3 mw5 / h2 ，所以WG星的总能量M为


image0821.gif (1636 bytes)    


                                                                       (11.1-12)


从上式很容易导出，WG星总能量的上限。M的最大值发生在


.


所以


                 (11.1-13)


    另一方面，由于mw 的数值很小，如将mw=3.6x10-45kg 代入上式，容易发现


MMAX = 2.1 x 1036 g ≈ 10.5 x 103 M£ (11.1-14)


所以利用WG方案，确实可以解决宇宙的暗物质问题


11.2 WG星质量的解析研究


    在牛顿力学的近似下，我们可以进一步对N个WG 元粒子系统能量作解析研究，两个WG元粒子之间的牛顿势为


image0824.gif (1185 bytes)                 (11.2-1)


由(11.2-1)式，N个WG元粒子之间的总哈密顿量为


                             (11.2-2)


其中


image0826.gif (1581 bytes)     


                                                                  (12.2-3)


    以氢原子的两体哈密顿量相比，我们发现N个WG元粒子的总哈密顿量仅有的差别是用质量 替代 mp，所以关于氢原子的薛定谔方程的结果均可以在适当的替代下以用。基态的期望值 满足不等式


image0828.gif (1254 bytes)                          (11.2-4)


所以，我们有N个WG 元粒子的自引力系统的基态能量的下限：


image0829.gif (650 bytes)     (11.2-5)


    这是一个初步的解析结果，如果进一步将质心动能分离出来，我们可以得到更好的解析结果。


利用数学恒等式


image0830.gif (871 bytes)   (11.2-6)


N个WG元粒子在它们的质心系中的相对运动是由下述哈密顿量描述 的


                         (11.2-7)


其中


image0832.gif (627 bytes)        (11.2-8)


定义 (image0833.gif (223 bytes)) 是共轭动量为 image0834.gif (199 bytes)= (image0835.gif (239 bytes))/2，image0834.gif (199 bytes) 和(image0833.gif (223 bytes)) 提供了正则交换关系。 (11.2-8)式可以改写为


image0836.gif (546 bytes)                      (11.2-9)


hij 的期望值的下限为


image0837.gif (464 bytes)                        (11.2-10)


所以，基态的下限是


image0836.gif (546 bytes)                     (11.2-11)


另一方面，如果利用试探波函数


image0839.gif (567 bytes)             (11.2-12)


并采用标准的变分技术，可以得 到基态能量的下限为


image0840.gif (578 bytes)        (11.2-13)


如果考虑到WG星是由大量的WG元粒子组成，则我们发现E0的上下限仅相差15%，我们可以取其平均值 ， WG星体的平均质量M为


= N mw – 0.058 N3 mw5 / mpl4   (11.2-14)


如将 mw=3.6 x 10-35 kg 代入上式，则表达式约化成


= (N – 4.3 x 10-155 N3) mw       (11.2-15)


在图4中我们作出了关于粒子数N的函数分布值


图 4


　


image0843.gif (3171 bytes)