Cálculo de la posición aproximada de la Luna

Calcular la posición del Sol es relativamente sencillo pero el cálculo de la posición lunar ofrece mucho complicación pues le afectan de manera no despreciable el Sol y la Tierra.
Veamos someramente alguna de las intrincadas características de la órbita lunar:
La Luna gira alrededor de la Tierra describiendo una elipse cuya excentricidad es 1/18 (exactamente e=0,054900) y a una distancia media de 384403 Km que corresponden a 60,2665 radios ecuatoriales.
La excentricidad lunar bastante mayor que la de la órbita de la Tierra alrededor del Sol (1/60) hace que la distancia hasta nosotros de la Luna varíe bastante a lo largo de la órbita desde 363300km correspondientes a 56 radios en el perigeo hasta 405500km correspondientes a 64 radios en el apogeo y todo ello en el transcurso de medio mes.
Esto es de fácil comprobación midiendo el diámetro aparente del disco lunar que se deben al cambio de la distancia y que fluctúan desde 32'42" en el perigeo y de 29'22" en el apogeo. A la distancia media le corresponde un semidiámetro de 15' 32".6
Si determinamos la A.Recta y Declinación lunar mediante observación para un periodo lunar y dibujamos estos puntos sobre la esfera celeste, el resultado será un círculo cercano a la eclíptica y que cortará a la eclíptica en dos puntos el nodo ascendente W donde la Luna cruza la eclíptica pasando del sur al norte y el nodo descendente. Estos puntos fueron llamados puntos draconíticos en la antigüedad porque se creía que en estos puntos (que es donde ocurren los eclipses) los dragones esperaban a la Luna para tratársela.
Todavía se conserva esta denominación cuando se habla de revolución draconítica. La inclinación de la órbita lunar respecto a la eclíptica es i=5°8'43".

La Luna en su movimiento avanza de oeste e este con un movimiento muy rápido que por término medio vale n=13°10'35" pero debido a la elevada excentricidad y a la segunda ley de Kepler su movimiento sobre la esfera celeste es extraordinariamente no uniforme. Por dicha ley la Luna se aparta de su movimiento medio en una cantidad llamada Ec. de Centro y que en primer orden vale C=2e sen M. Así la Luna adelanta o retrasa hasta Cmax=180x2e/(p)=6°,30

Pero este movimiento que sería el existente si la Luna y la Tierra estuviesen aislados se ve extraordinariamente complicado por la confluencia de la gravitación solar e incluso planetaria. Estos efectos gravitatorios suplementarios hacen que la órbita lunar no obedezca exactamente a las leyes de Kepler, sufriendo perturbaciones entre las que las mas importantes son:

  1.  Retrogradación de la línea de los nodos
La línea de intersección de la órbita de la Tierra con la Eclíptica no está fija sino que retrograda unos 19.3 °/año es decir que da una vuelta en sentido retrógrado en 6798 días (18 años y 224 días) variando por término medio en un día -3.17724'= -0.052954°. Así W=W0-0.052954t
Sin embargo esta retrogradación de los nodos no es uniforme . Desaparece en dos momentos del año cuando la posición solar coincide con los nodos pues en estos momentos la componente ortogonal de la fuerza perturbadora del Sol desaparece .
  1. Avance de la línea de los ápsides o avance del perigeo lunar

    2. El eje mayor de la elipse lunar se mueve en sentido directo unos 40.7 °/año dando la vuelta completa en 3232.6 días (8 años 310 días) movimiento análogo al que efectúa la Tierra sólo que mucho mas rápido pues esta emplea 21000 años. El avance es de 0.111404° =6.68424'. Sin embargo la longitud del perigeo lunar no varia uniformemente ¡ni siquiera avanza siempre! Por la acción combinada de las componentes normal y tangencial de la atracción solar el perigeo avanza y retrocede alternativamente pero el avance supera a la retrogradación en la medida expuesta.

     

  2.  El ángulo de inclinación sufre oscilaciones periódicas

    3. Pasa  de 5°0'1" a 5°17'35" en un periodo de 173 días. Su valor medio es de 5°8'43".

     

  3.  La excentricidad de la órbita lunar varia

    4. Desde 0.0381 a 0.0719 en un plazo aproximado de 210 días. Su valor medio es 0.054900.

    Esto hace que la teoría del movimiento lunar sea extremadamente complicado: por ejemplo la Longitud celeste lunar se expresa por una serie que contiene 655 términos y la latitud por otra que contiene 300. Astrónomos como Brown, Laplace, Damoiseau, Hanse, Delauney y otros consagraron su vida a estudiar desigualdades del movimiento lunar y calcular su amplitud que determina su importancia. Se estudiaron unas 1500 de las que sólo unas 500 resultan imprescindibles para establecer con precisión la posición lunar.

    Las irregularidades mas importantes y que son consecuencia de las variaciones en los elementos orbitales son:

    Es una variación de la longitud lunar a causa de la modificación de la excentricidad de la órbita lunar. La corrección en la Evección depende de C=L-Ls diferencia entre las longitudes de la luna y del sol y de la anomalía media lunar Mm según la expresión: Ev=1.2739 sen (2C-Mm). Su amplitud es 1°16' y su periodo 32 días. Fue ya descubierta por Tolomeo.  Desigualdad en la longitud lunar debida a la variación de la distancia Sol- Tierra a causa del movimiento elíptico de esta. La ec. anual depende de la anomalía media del Sol M y su valor es Ae=0.1858 sen M su amplitud es 11'9" y su periodo 1 año anomalístico.  Se debe al movimiento lunar en el seno del campo gravitatorio solar, pues sufre mas atracción cuando esta en novilunio que cuando esta en el plenilunio. La corrección a aplicar es V=0.6583 sen 2(l'-Ls) siendo l' la longitud lunar corregida de avance del perigeo evección, ec. anual etc. Su periodo es el mes sinódico. Con idéntica razón de existir que la anterior (tal vez sea la misma irregularidad) causa que la Luna se retrase por término medio 4 minutos al llegar al primer cuarto y adelante otro tanto al llegar al último. Mediante cálculo se halla que la causa de este adelanto o atraso es que la distancia solar es 389 veces la distancia a la Tierra y de ahí resulta un valor para 1UA= 149.5 millones de Km.

    El applet calcula la posición lunar por el método aproximado de Peter Duffet en su libro Practical Astronomy with your calculator en su apartado 61: Calculating the MOON's positions:

    El método para encontrar la posición lunar es el mismo que para cualquier planeta salvo en dos aspectos:

    Los términos correctivos que tienen que ser aplicados y que ni la longitud del perigeo ni la nodal pueden considerarse constantes.

    La fecha de origen se tomo el 0.0 de Enero de 1980 para ese día los elementos de la órbita lunar son:
     
    Características Valor
    Longitud media lunar l0=64.975464°
    Longitud media del perigeo P0=349.383063
    Longitud media del nodo N0=151.950429
    Inclinación de la órbita I=5.145396
    Excentricidad de la órbita e=0.054900
    Semieje mayor de la órbita a=384401 km
    Paralaje a la distancia media 0.9507°
    Ejercicio: Calcular la posición lunar el 26 de Febrero de 1979 a 16 horas de TU

    1.  Encontrar el lapso de tiempo respecto a la fecha origen:

      2. t=57+0.667245-365= -307.332755 días
    2. Encontrar la Anomalía Media solar: M=m0+nt

      3. m0=l0-w=278.83354-282.596403=-3.7629
      M= -3.7629+360/365.2422 t=53.3154°
    3. Encontrar la Ec de Centro y la longitud solar verdadera:

      4. C=(2e sen M)180/p=1.5363° (e=0.016718 Tierra)
      Ls media=278.83354+nt=335.9119°
      Ls= media +C=337.4482°
    4. Encontrar la longitud media lunar:

      5. l=l0+nt=64.975464+13.1763966t=-3984.5628=335.4372
    5. La anomalía media de la Luna Mm

      6. El avance del perigeo causa una disminución en la anomalía media así Mm=l-P=(l-P0)-0.°1114041t=20.2923°
    6.  El nodo retrograda en 18.61 años asi que el nodo medio en la época de cálculo vale:

      7. N=N0-0.0529539t=168°.2249
    7. La Evección causada por la variación de la excentricidad es:

      8. Ev=1.2739 sen(2C-Mm)=-0.5245°
    8. La Ec. Anual depende de la anomalía media solar:

      9. Ae=0.1858 sen M=0°.1490
    9. Una corrección de la que no cita su origen es:

      10. A3=0.37senM=0.2967
      ¡Es mas importante que la EC. ANUAL!
    10.  Con todo ello se puede calcular la anomalía media lunar corregida:

      11. M'm=Mm+Ev-Ae-A3=19.3221°
    11.  La Ec de Centro en segundo orden es:
      12. C=2e sen M'm +5/4 e2 sen(2M'm) Los coeficientes en grados son: 2e180/p=6.2911
      (5/4)e2(180/p)=0.2159             Así el segundo término en la ec. de Centro es: A4=0.216 sen(2M'm)
      En el día que nos ocupa C=Ec+A4=2°.0808+0°.1336=2.2144
    12.  El valor de la longitud lunar corregido sería:

      13. l'=lmedio+Ev-Ae+Ec+A4=336°.9781
    13. Otro factor a corregir es la diferente atracción del Sol sobre la Luna en el Novilunio que en el Plenilunio.

      14. Esta corrección llamada Variación vale V=0.6583 sen 2(l'-Ls)=-0°.0108
    14. Así la longitud lunar verdadera vale: l"=l'+V=336°.9673
    15. Sabemos que el nodo medio retrograda pero no lo hace uniformemente. La longitud corregida del nodo es:

      16. N'=N-0.16senM=168.2249-0.16sen 53.3154=168.0966
    16.  Conversión a Eclíptica: Siendo N'el nodo verdadero y L" la longitud verdadera se cumplirá:
      17. sen Bm=sen(l"-N') sen i
      tan (Lm-N')=tan(l"-N') cos i             siendo Bm la latitud lunar eclíptica y Lm la longitud lunar eclíptica.
      La primera ecuación no tiene ambigüedad mientras la segunda tiene la clásica. En el caso que nos ocupa de la primera Bm=0.919°.
      Para la segunda tg Lm-N'=Y/X con Y=cosi sen(l"-N') y X=cos(l"-N'). Aplicado al ejemplo Y=0.192246>0 X=-0.981194<0 con lo que (Lm-N') pertenece al 2°cuadrante. La función arctan (Y/X)= -11.08557 pertenece al 4°cuadrante. Deshacer la ambigüedad significa añadir 180° así Lm-N'=168.9144 y Lm=N'+168.9144=337.0110
    17. Falta convertir en ecuatoriales con resultado:

      18. A.R.=22h 33m 27s D=-8°1'1"
      mientras el Anuario da una solución:
      A.R.=22h 33m 29s D=-8°2'42"
    El error de este método aproximado no llega en Lm a 0.2°