Credo in unum Deum, Patrem omnipotentem,
factorem coeli et terrae, visibilium omnium et invisibilium.
Continuando con la seguidilla de ensayos sobre conceptos matemáticos aplicados con frecuencia en el lenguaje científico, ha llegado el turno de repasar las operaciones con logaritmos.
Para ello, volvemos a la idea de la potenciación, que hemos detallado con mayor extensión en la edición anterior de Fides et Ratio. De hecho, el primero de los ejemplos que utilizáramos en esa ocasión fue:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 (se lee «dos a la cuarta»)
El número en superíndice se conoce con el nombre de exponente, y nos indica la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí mismo el otro número, llamado base. Así, en otro ejemplo:
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 (se lee «dos a la décima»)
Contamos con una base («2») y un exponente («10»)
La logaritmación es una de las operaciones inversas de la potenciación, y consiste en obtener el valor del exponente conociendo la base y el resultado. Retomando los mismos ejemplos:
log2 1024 = 10 (porque debemos elevar 210 para obtener 1024)
log2 16 = 4 (porque debemos elevar 24 para obtener 16)
log101000 = 3 (porque debemos elevar 103 para obtener 1000)
Cuando trabajamos con logaritmos en base 10, puede no escribirse el número base porque se da por sobreentendido. En consecuencia, si leemos:
log 1000000 = 6 (ya que 106 es un millón)
Si hasta aquí no hay dificultades, debemos avanzar entonces sobre estos logaritmos en base 10. Tomemos puntualmente los primeros tres evidentes:
log 10 = 1 (dado que 101 = 10)
log 100 = 2 (dado que 102 = 100)
log 1000 = 3 (dado que 103 = 1000)
Ustedes se preguntarán... ¿cual es el logaritmo, por ejemplo, del número 200? Parecería que debe tratarse de un número comprendido entre 2 y 3. De hecho, eso es real. En el siglo XVIII, el matemático y físico Howell calculó manualmente durante años estos valores para expresarlos en las tablas que llevan su nombre. Hoy día, las calculadoras científicas permiten su cálculo inmediato.
En efecto, si nos planteamos:
log 200 = ¿?
... nuestro razonamiento ha de ser:
10¿? = 200
Ya sea a través de las tablas o de la calculadora, el resultado que obtendremos es:
102.30301 = 200
Si hasta aquí no hay dificultades, notaremos enseguida que, al igual que la notación científica, el uso del logaritmo nos permite expresar grandes cantidades con números más simples. Supongamos que tengo interés en describir cuantos ejemplares («copias») del VIH hay en un mililitro de la sangre de un enfermo. Un estudio especializado intentará decirme que, quizás, el paciente tenga 400 000 copias en ese milímetro cúbico. Sin embargo, es común que el resultado nos diga que la «carga viral» de esta persona es de 5.606 unidades-log. Si repetimos los razonamientos previos, entenderemos que:
105.606 = 400 000
Ahora bien, imaginemos que este enfermo es tratado con uno de los actuales esquemas antivirales de alta eficacia, y regresa a los tres meses con un nuevo resultado que nos cuenta que su carga viral es de 2.803 unidades-log. A primera vista, parecería que el número de copias del VIH se ha reducido a exactamente la mitad. Sin embargo, al aplicar este logaritmo nos encontramos que:
102.803 = 635
Como vemos, en realidad la cantidad de virus se ha reducido de un modo absolutamente dramático... ¿qué es lo que ocurre? Sucede que la escala de unidades logarítmicas no es decimal, sino que al pasar de 2 a 3, por ejemplo, existe un cambio de decenas a centenas, esto es, un cambio «de a 10» niveles. Dicho de otro modo, 2 unidades-log equivalen a 100 mientras que 3 unidades-log equivalen a 1000 (hay un salto de «10 niveles»); 4 unidades-log equivalen a 10 000 (hay un salto de «10 niveles» con respecto a las 3 unidades-log y de «100 niveles» con respecto a las 2 unidades-log).
¿Complejo? Pues bien, las escalas logarítmicas son de uso cotidiano en muchas disciplinas científicas, como en nuestro ejemplo relacionado con el tratamiento de la enfermedad por VIH. En la segunda parte de este ensayo, veremos su aplicación en lo que hace a la radioactividad.
Revista Digital Fides et Ratio - Julio de 2007
