Profª. Ruth Portanova
Resumo do trabalho final
APOLÔNIO DE PERGA
· Nome: Apolônio de Perga
· Conhecido como: "O Grande Geômetra"
· Local de nascimento: Perga, na Panfília, sul da Ásia Menor
· Data de nascimento: cerca de 262 a.C.
· Morte: cerca de 190 a.C., em Alexandria, Egito
· Período histórico: helenístico grego
· Contexto histórico: Graças a Alexandre, O Grande, a cultura grega estabeleceu-se também na África e Ásia. Posteriormente, a grande instabilidade política veio com os reinos helenísticos, trazendo, no entanto, intenso florescimento intelectual, com deslocamento do centro cultural para Alexandria. Apolônio, Arquimedes e Euclides foram os três grandes matemáticos do período helenístico, tornando esta a “Idade Áurea” da matemática grega (cerca de 300 a 200 a .C.).
· Governantes da época: Rei Ptolomeu Euergetes e Rei Ptolomeu Filopater
· Área de estudos matemáticos: Geometria
· Centro de estudos: Pérgamo e Alexandria
· Outras ocupações: Tesoureiro do Rei Ptolomeu Filadelfo, astrônomo
· Contribuição para a época: modelo matemático favorito para a representação do movimento dos planetas
· Legado: Seu estudo detalhado sobre cônicas inspirou vários matemáticos quanto à questão da tangência, máximos e mínimos.
· Matemáticos influenciados por suas obras: Papus, Fermat, Wallis, Lahire,
· De Witt e Newton
· Tradutor e restaurador de sua obra: Halley (amigo de Newton)
OBRAS DE APOLÔNIO
“LUGARES PLANOS”:
Das restaurações inferimos que dois dos lugares considerados eram: o lugar dos pontos cuja diferença de quadrados das distâncias a dois pontos fixos é constante é uma reta perpendicular a reta que une dos pontos, e o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante (e diferente de um) é um círculo; este último lugar é chamado “círculo de Apolônio”, embora já fosse conhecido por Aristóteles.
“DIVIDIR EM UMA RAZÃO”:
Tratava de um problema geral: dadas duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta que corte sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada. Este problema equivale a resolver uma equação quadrática do tipo ax - x² = bc.
“CORTAR UMA ÁREA”:
Trata do problema semelhante citado no livro anterior, só que exige que os segmentos cortados contenham um retângulo dado. Leva a uma equação quadrática da forma ax + x² = bc.
“SOBRE SECÇÃO DETERMINADA”:
Estuda o que se poderia chamar de geometria analítica a uma dimensão. Considerava o problema geral: dados quatros pontos A,B,C,D sobre uma reta, determinar um quinto ponto P sobre ela, tal que o retângulo sobre a P e CP esteja numa razão dada com o retângulo sobre BP e DP. Apolônio, como em outros casos, tratou a questão a exaustivamente, inclusive os limites de possibilidade e o número de soluções desta quadrática.
“TANGÊNCIAS”:
Este tratado, segundo Papus, contém o problema hoje conhecido como “o problema de Apolônio”: dadas três coisas, cada uma das quais pode ser um ponto uma reta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas. Este problema envolve dez casos, em os “Elementos” encontramos os dois mais fáceis, e não temos a solução de Apolônio; é sugerido que o último caso foi um desafio para Apolônio, além de suas capacidade. Newton resolveu usando apenas régua e compasso!
“INCLINAÇÕES”:
Este tratado considerava a classe dos problemas neusis (inclinações) que podem ser resolvidos por métodos “planos”, isto é, só usando régua e compasso. Um dos problemas tratados foi o da inserção dentro de um círculo dado, de uma corda de comprimento dado inclinando-se a um ponto dado.
“COMPARAÇÃO ENTRE DODECAEDRO E ICOSAEDRO”:
Nesta obra Apolônio, segundo citações feitas na Antiguidade, dava prova do teorema que diz estarem as faces pentagonais planas de um dodecaedro à mesma distância do centro da esfera circunscrita que as faces triangulares de um icosaedro inscrito na mesma esfera. É possível que o autor de os “Elementos” XIV tenha usado o tratado de Apolônio no teorema que diz que neste caso a razão das áreas do dodecaedro e do icosaedro é igual a razão de seus volumes.
O “TESOURO”:
É uma coleção especial escrita por Euclides e descrita por Papus, destinada aos que queriam obter a capacidade de resolver problemas envolvendo curvas, depois de já terem adquirido os elementos básicos. O “Tesouro”, consistindo em grande parte das obras de Apolônio, incluía o que chamamos hoje Geometria Analítica, demonstrando a razão de Apolônio ser chamado pelos antigos de “o Grande Geômetra”, e não Euclides.
“AS CÔNICAS”:
Este tratado é considerado o mais avançado de sua época. As “Cônicas” de Apolônio contém estudos sobre tangentes e normais às secções cônicas. Sendo constituído por oito livros:
Livro I – Fundamentalmente é dedicado á definição precisa das cônicas e suas propriedades básicas a partir da secção de um único cone gerado por retas que passam por um ponto fixo, vértice que se apóiam num círculo básico; não necessariamente sendo reto.
Livro II – As proposições deste livro tratam de problemas relativos as assímptotas da hipérbole e de propriedades das tangentes às cônicas, e sua relações. Apolônio denominava secções opostas os dois ramos da hipérbole.
Livro III – Continua com o estudo das tangentes às cônicas, neste livro, aparecendo pela primeira vez, a noção de foco da elipse e da hipérbole, e a divisão harmônica das secantes às cônicas. Apolônio via estas coisas sob o ponto de vista plástico.
Livro IV – Segundo o próprio autor este livro trata do número de partes que duas cônicas não coincidentes podem ter em comum. No final faz uma observação dizendo que, em matemática, muitos teoremas têm valor por si mesmos em face da beleza de suas demonstrações.
Livro V – Trata de problemas de máximos e mínimos referentes ao comprimento de certas linhas em posição especial relativamente às cônicas, como tangentes e normais a ela.
Livro VI – Apolônio define os conceitos igual e semelhante, tratando, em seguida, de encontrar uma secção de um cone dado igual à curva dada ou construir um cone dado que possua uma secção igual a uma cônica dada, e assim por diante.
Livro VII – Neste livro o autor diz que trata de propriedades novas relativas aos diâmetros conjugados das secções cônicas e das figuras, isto é, retângulos caractrísticos, construídos sobre eles.
Livro VII – Este livro foi perdido, deveria tratar de aplicações dos resultados do livro anterior.