quadrmag1

Quadrados Mágicos(1)

[Principal] [Fractais] [Logaritmos][Matriz 3x3] [Matriz 4x4] [Eq.2o.Grau] [Matemática][Quadr. Mág. 2]

Definição:

Quadrados mágicos são tabelas constituídas por seqüências numéricas. As tabelas são divididas em n linhas por n colunas formando n^2 espaços preenchidos com os números inteiros de 1a n^2 tal que: a soma deles na vertical, horizontal e diagonal sejam constantes.(n^2:leia-se n elevado ao quadrado)

Exemplos abaixo

Para n = 3 Espaços = 9 Soma = 15 Números de 1 a 9

2	7	6
9	5	1
4	3	8

Para n =4 Espaços =16 Soma = 34 Números de 1 a 16

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Para n = 5 Espaços =25 Soma = 65 Números de 1 a 25

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Para n = 6 Espaços = 36 Soma = 111 Números de 1 a 36

1	34	33	32	9	2
29	11	18	20	25	8
30	22	23	13	16	7
6	17	12	26	19	31
10	24	21	15	14	27
35	3	4	5	28	36

As primeiras referencias a tabelas desse tipo encontram-se em documentos pertencentes as antigas civilizações da Índia e da China . Na idade media , os alquimistas, astrólogos e calculistas europeus, impressionados com as características dessas tabelas, deram-lhes o nome de quadrados mágicos , como são conhecidas ate hoje .

A ordem de um quadrado mágico e determinada pelo numero de linhas ou colunas nele existentes. O valor da soma dos elementos de uma linha, coluna ou diagonal e denominada de constante k do quadrado

Para quadrados mágicos de ordem n , formados por números consecutivos de 1 a n^2 , pode-se calcular o valor da constante k , antes mesmo de se construir o quadrado , pois a seqüência 1,2,3... n^2 e uma Progressão Aritmética , cuja Soma e dada por

					2	2
Sn =	( a1 + an) x n	>>	Sn =	(1 + n	)	x n
	2			2

					2
k =	Sn	>>	k =	( 1 + n	)x n
	n			2

Notamos que todos os n^2 números são computados na soma das linhas ou colunas. Assim a somatória de todos os números utilizados (1, 2, ... , n^2) { Sn = [(1+n^2)*n^2] / 2 ] } deve ser dividida pelas 'n' colunas.

A tabela abaixo mostra valores da constante k para os quadrados mágicos formados por inteiros 1 a n^2 .

Ordem	Constante K
1	1
2	5 ( !!!!! ????? )
3	15
4	34
5	65
6	111
7	175
8	260
...	...
n	( 1 + n^2) x n / 2

No caso n=1 a solução é trivial [1], já o caso n=2 não possui solução o que é facilmente verificado fazendo as (n^2)! = 24 combinações ou percebendo que ao fixarmos um número no primeiro espaço, n1, teríamos que obter outros 3 números inteiros,n2 n3 e n4, tais que:

1	2
3	4

1	2
4	3

1	3
2	4

1	3
4	2

...

n1+n2 = n1+ n3= n1+n4= n2 + n3 =5

Para que a soma nas colunas, linhas e diagonal permanecesse constante. Portanto vemos que o caso n=2 não possui solução. Para n>2 divido em 2 casos n pares e ímpares. Para n (impar) não só é provada a existência como ainda existem diversos métodos de resolução . Já quanto aos casos pares informação a respeito a não ser pelo fato de ter visto algumas resoluções para casos de n baixos: n=4,6...10. E claro que sempre é possível checar as (n^2)! combinações possíveis porém esta não é uma solução geral e nem mesmo computacionalmente razoável uma vez que para n baixos como 10 já temos este valor muito alto: [(10^2)!= ]. E mesmo algoritmos mais eficientes tem seu número de cálculos aumentado violentamente com (n^2)!/(n!).

Métodos de Resolução:

Desde a antiguidade , sempre se procurou determinar uma regra geral para a construção dos quadrados mágicos. No século XVII , o matemático francês Bachet propôs uma regra geral para quadrados mágicos de ordem impar . que e exposta a seguir na tabela de Ordem (5x5) .

				5
			4		10
		3		9		15
	2		8		14		20
1		7		13		19		25
	6		12		18		24
		11		17		23
			16		22
				21

prolongamos a tabela e numeramos de 1 a 25 na seqüência exposta . Em seguida transpomos os elementos que ficaram na parte externa dos quadrados , para as casas em branco, do lado oposto do quadrado na mesma linha ou coluna em que se encontravam . Veja abaixo .

				5
			4		10
		3	16	9	22	15
	2	20	8	21	14	2	20
1		7	25	13	1	19		25
	6	24	12	5	18	6	24
		11	4	17	10	23
			16		22
				21

Conforme visto acima a solução para os casos ímpares é possível e existe um método de resolução.

Para os quadrados de ordem par , não se conhece (conhecia) , ate o momento nenhuma regra geral . No entanto , existem regras para os quadrados cuja ordem e um múltiplo de 4 . Descrevemos abaixo um procedimento especifico para os quadrados de ordem 4

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

1o.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

3o.

1o. Distribua os números de 1 a 16 e marque as duas diagonais (principal e secundaria) conforme a figura .

2o.permute os elementos das duas diagonais conforme a figura e esta montado o quadrado mágico , ( 3a. figura acima )

Conhecedores dos métodos acima descritos , façamos os quadrados magicos (n=7) e (n=8)

						7
					6		14
				5		13		21
			4	29	12	37	20	45	28
		3	35	11	36	19	44	27	3	35
	2		10	42	18	43	26	2	34		42
1		9	49	17	41	25	1	33	9	41		49
	8		16	48	24	7	32	8	40		48
		15	47	23	6	31	14	39	15	47
			22	5	30	13	38	21	46
				29		37		45
					36		44
						43

4	29	12	37	20	45	28
35	11	36	19	44	27	3
10	42	18	43	26	2	34
49	17	41	25	1	33	9
16	48	24	7	32	8	40
47	23	6	31	14	39	15
22	5	30	13	38	21	46

Para n = 8 teremos abaixo :

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

[Principal] [Fractais] [Logaritmos][Matriz 3x3] [Matriz 4x4] [Eq.2o.Grau] [Matemática][Quadr. Mág. 2]

1	34	33	32	9	2
29	11	18	20	25	8
30	22	23	13	16	7
6	17	12	26	19	31
10	24	21	15	14	27
35	3	4	5	28	36

				5
			4		10
		3	16	9	22	15
	2	20	8	21	14	2	20
1		7	25	13	1	19		25
	6	24	12	5	18	6	24
		11	4	17	10	23
			16		22
				21

						7
					6		14
				5		13		21
			4	29	12	37	20	45	28
		3	35	11	36	19	44	27	3	35
	2		10	42	18	43	26	2	34		42
1		9	49	17	41	25	1	33	9	41		49
	8		16	48	24	7	32	8	40		48
		15	47	23	6	31	14	39	15	47
			22	5	30	13	38	21	46
				29		37		45
					36		44
						43

4	29	12	37	20	45	28
35	11	36	19	44	27	3
10	42	18	43	26	2	34
49	17	41	25	1	33	9
16	48	24	7	32	8	40
47	23	6	31	14	39	15
22	5	30	13	38	21	46

1	34	33	32	9	2
29	11	18	20	25	8
30	22	23	13	16	7
6	17	12	26	19	31
10	24	21	15	14	27
35	3	4	5	28	36

				5
			4		10
		3	16	9	22	15
	2	20	8	21	14	2	20
1		7	25	13	1	19		25
	6	24	12	5	18	6	24
		11	4	17	10	23
			16		22
				21

						7
					6		14
				5		13		21
			4	29	12	37	20	45	28
		3	35	11	36	19	44	27	3	35
	2		10	42	18	43	26	2	34		42
1		9	49	17	41	25	1	33	9	41		49
	8		16	48	24	7	32	8	40		48
		15	47	23	6	31	14	39	15	47
			22	5	30	13	38	21	46
				29		37		45
					36		44
						43

4	29	12	37	20	45	28
35	11	36	19	44	27	3
10	42	18	43	26	2	34
49	17	41	25	1	33	9
16	48	24	7	32	8	40
47	23	6	31	14	39	15
22	5	30	13	38	21	46

1	34	33	32	9	2
29	11	18	20	25	8
30	22	23	13	16	7
6	17	12	26	19	31
10	24	21	15	14	27
35	3	4	5	28	36

				5
			4		10
		3	16	9	22	15
	2	20	8	21	14	2	20
1		7	25	13	1	19		25
	6	24	12	5	18	6	24
		11	4	17	10	23
			16		22
				21

						7
					6		14
				5		13		21
			4	29	12	37	20	45	28
		3	35	11	36	19	44	27	3	35
	2		10	42	18	43	26	2	34		42
1		9	49	17	41	25	1	33	9	41		49
	8		16	48	24	7	32	8	40		48
		15	47	23	6	31	14	39	15	47
			22	5	30	13	38	21	46
				29		37		45
					36		44
						43

4	29	12	37	20	45	28
35	11	36	19	44	27	3
10	42	18	43	26	2	34
49	17	41	25	1	33	9
16	48	24	7	32	8	40
47	23	6	31	14	39	15
22	5	30	13	38	21	46