Deutschsprachige
Aufsätze | Darij Grinberg
Bemerkung für Lehrer:
Ich kann meine Notizen kaum für den Schulgebrauch
empfehlen, die Darstellung ist sehr trocken und wenig
ansprechend. Wenn Sie aber doch eine Möglichkeit
gefunden haben, Teile meiner Texte irgendwo einzusetzen,
so können Sie dies unbeschwert tun - die Texte sind
Public Domain, dürfen also frei kopiert und verbreitet
werden, falls das jemand tun will.
Hinweise, Verbesserungen, Bemerkungen und
Kritik sind willkommen - meine Emailadresse ist A=gmail.com , wobei der Buchstabe A durch darijgrinberg ersetzt werden
sollte und das Zeichen = durch
das Zeichen @. (Dies soll gegen Spam
schützen.)
Alle Figuren wurden mit Roland Mechlings
Sharewareprogramm "Euklid
DynaGeo" für dynamische Geometrie gezeichnet.
QED-Mathematikolympiade
(QEDMO):
Mathematischer Teamwettbewerb innerhalb des QED-Vereins, bislang
immer organisiert von Daniel Harrer und mir. Irgendwann
(hier stand mal "bald" ;) ) soll eine
offizielle QEDMO-Website entstehen; vorläufig jedoch
verweise ich für Informationen auf den
entsprechenden MathLinks-Thread. Folgende
Musterlösungen habe ich geschrieben (jeweils gezippte
PDF-Dateien):
1. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 1.
QED-Mathematik-Olympiade.
2. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 2.
QED-Mathematik-Olympiade.
3. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Algebraaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den
Geometrieaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
4. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Algebraaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den
Geometrieaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
Darij Grinberg, Der
Neuberg-Mineurkreis, deutsche
Version meines Artikels The
Neuberg-Mineur circle
(Mathematical Reflections 3/2007). (PDF-Datei)
In der Mathésis von 1931 bewiesen V. Thébault und A.
Mineur eine bemerkenswerte Eigenschaft von Vierecken:
Sei ABCD ein beliebiges Viereck, und seien X, Y, Z und W
die Punkte auf den Geraden AB, BC, CD bzw. DA, die die
Seiten AB, BC, CD bzw. DA jeweils äußerlich im
Verhältnis der Quadrate der beiden anliegenden Seiten
teilen, d. h. für die gilt:
AX / XB = - DA2 / BC2; BY / YC = -
AB2 / CD2; CZ / ZD = - BC2
/ DA2; DW / WA = - CD2 / AB2,
wobei die Streckenlängen gerichtet sind.
Dann liegen die Punkte X, Y, Z und W auf einem Kreis.
In der obigen Notiz beweise ich dieses Resultat (ob
dieser Beweis neu ist, kann ich nicht entscheiden, da ich
den Originalartikel nie gesehen habe) sowie einen
Zusatzfakt: Ist ABCD ein Sehnenviereck, dann entartet der
Kreis durch die Punkte X, Y, Z und W zu einer Geraden.
Dieser Zusatzfakt wird auf zwei Arten bewiesen, wobei
durch den zweiten Beweis die Gerade als eine Potenzgerade
charakterisiert wird.
Darij
Grinberg, Schließungssätze
in der ebenen Geometrie.
(PDF-Datei)
Stand 2004, 26 Seiten
Eine Facharbeit (für Kenner des
baden-württembergischen Schulsystems: GFS), die -
zumindest im Wesentlichen - auch Schülern zugänglich
sein sollte. Es werden zwei sogenannte
"Schließungssätze" aus der elementaren
euklidischen Geometrie bewiesen und weitergehend
untersucht, und anhand einem von ihnen wird das Konzept
der projektiven Ebene anschaulich eingeführt. Dabei wird
eine formale Definition der projektiven Ebene gegeben,
die aber mathematisch gesehen recht unhandlich ist.
Schließlich wird ein Satz aus der projektiven Geometrie
- der Satz von Pascal - vorgestellt, allerdings ohne
Beweis.
§1. Einleitung Seite 1
§2. Der Satz von Thomsen Seite 1
§3. Die Ente im Kreis I Seite 6
§4. Die Ente im Kreis II Seite 14
§5. Etwas projektive Geometrie Seite 17
§6. Der Satz von Pascal Seite 22
Literaturhinweise Seite 26
Darij
Grinberg, Über
einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie.
(gezippte PDF-Datei)
Stand 10.8.2003, 38 Seiten
Dies ist eine Art Einführung in die
Dreiecksgeometrie. Am Anfang werden schulische Kenntnisse
über merkwürdige Punkte aufgefrischt. Dann führe ich
einige weniger bekannte Sätze auf, teils mit Beweisen.
Ursprünglich als Skript für einen Vortrag bei einem
BWM-Seminar geschrieben.
Klassische Eigenschaften von Dreiecken
§1. Einleitung Seite 1
§2. Was sind merkwürdige Punkte? Seite 2
§3. Der Schwerpunkt Seite 2
§4. Der Inkreismittelpunkt Seite 3
§5. Der Höhenschnittpunkt Seite 4
§6. Der Umkreismittelpunkt Seite 5
Vergessene/Neue Eigenschaften von Dreiecken
§7. Einleitung Seite 6
§8. Die drei Ankreismittelpunkte Seite 6
§9. Der Schwerpunkt und Flächeninhalte Seite 8
§10. Der Lamoenkreis Seite 9
§11. Einige Besonderheiten der Höhen Seite 10
§12. Die Eulergerade Seite 10
§13. Der Feuerbachkreis Seite 12
§14. Der Satz von Feuerbach Seite 14
§15. Der Gergonnepunkt Seite 15
§16. Die Geraden AX, BY und CZ Seite 16
§17. Ein weiterer Satz Seite 18
§18. Über Spiegelbilder von Höhen,
Seitenhalbierenden usw. Seite 18
§19. Der Lemoinepunkt Seite 19
§20. Die Spiegelbilder der Höhen an den
Winkelhalbierenden Seite 21
§21. Isogonale Punkte Seite 22
§22. Spiegelbilder bei Höhen und Mittelsenkrechten Seite 23
§23. Das Antimedialdreieck und das
Tangentendreieck Seite 26
§24. Eine Eigenschaft des Tangentendreiecks Seite 31
§25. Das Höhenfußpunktdreieck Seite 32
§26. Der Taylorkreis Seite 34
§27. Eine Aufgabe von Fred Lang Seite 36
§28. Schlußbemerkung Seite 37
Literaturhinweise Seite 37
Darij
Grinberg, Karl
Wilhelm Feuerbach, sein Kreis und die Dreiecksgeometrie.
(PDF-Datei)
Stand 4.10.2007, 28 Seiten
Nach einem kurzen Abriss der Biographie
des Geometers Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) wende
ich mich dem nach ihm benannten Kreis zu und beweise
seine wichtigsten Eigenschaften wie den berühmten (und
komplizierten) "Satz von Feuerbach".
Schließlich stelle ich eine Reihe von Eigenschaften des
"Feuerbachberührpunktes" ohne und mit Beweis
vor. Ursprünglich als Vortrag beim BWM-Kolloquium 2004
konzipiert.
§1. Dreiecksgeometrie Seite 1
§2. Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) Seite 1
§3. "Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte..." Seite 2
§4. Der "kleine Satz von Feuerbach" Seite 2
§5. Der Feuerbachkreis als Neunpunktekreis Seite 5
§6. Die Eulergerade Seite 6
§7. Der "große Satz von Feuerbach" Seite 9
§8. Beweis des Satzes Seite 10
§9. Merkwürdige Punkte Seite 15
§10. Weitere Eigenschaften des
Feuerbachberührpunktes Seite 15
§11. Das Dreieckszentrum X12 Seite 22
§12. Ein Kreis durch zwei Feuerbachberührpunkte Seite 24
Literaturhinweise Seite 28
Darij
Grinberg, Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa 22 von
Wilfried Haag. (gezippte
PDF-Datei)
Stand 17.9.2004, 28 Seiten
In dieser Notiz geht es vorrangig um
Anwendungen des Konzeptes von orientierten Winkeln modulo
180° in der Elementargeometrie. Erst wird eine
Erklärung dieses Winkeltyps gegeben, dann einige
Eigenschaften, teils mit Beweisen, aufgeführt.
Anschließend folgt eine Sammlung von 34 Aufgaben mit
Lösungen oder Lösungshinweisen.
Eine stark gekürzte Fassung (ohne
Aufgaben) wurde in der WURZEL veröffentlicht:
Bemerkung: Bei
der Konvertierung des Artikels zur PDF-Datei konnten Fußnoten nicht als solche beibehalten
werden; deshalb wurden sie als Text in eckigen Klammern
dargestellt.
Veröffentlichungen
in der WURZEL
Die WURZEL ist eine Zeitschrift für Mathematik aus Jena,
die jeden Monat erscheint (zweimal pro Jahr
Doppelausgaben = eine dicke Ausgabe statt zwei
gewöhnlichen).
Darij Grinberg,
Lösung der Aufgabe Eta 32, WURZEL 3+4/01,
Seite 66.
Darij Grinberg, Aufgabe
Theta 14, WURZEL 3+4/01, Seite 87.
Darij Grinberg, Der verallgemeinerte
Symmediansatz, WURZEL 5/01, Seiten 89 (Bild
auf der Titelseite), 101 und 102.
Darij
Grinberg, Einige Formeln für das konvexe
Viereck, WURZEL 6/01, Seiten 127-133.
Darij
Grinberg, Der 1. Satz des Routh, WURZEL
8/01, Seiten 180-182.
Druckfehler: S. 182, im letzten Ausdruck
der letzten Formel soll der Nenner nicht
"(Fläche ABC)3", sondern "4
mal (Fläche ABC)3" lauten.
Darij Grinberg, Aufgabe Theta 43,
WURZEL 9+10/01, Seite 231.
Darij
Grinberg, Nebenhöhen im Dreieck, WURZEL
11/01, Seiten 252-254.
Darij
Grinberg, Die Ankreise eines Dreiecks und der
Hadamard-Punkt, WURZEL 12/01, Seiten
258-262.
Darij
Grinberg, Satz von Carnot - Teil 2,
WURZEL 1/02, Seiten 6 und 7.
Dieser Artikel ist eine Ergänzung zum Artikel
"Satz von Carnot" von Oleg Faynshtein
in WURZEL 8/00.
Darij
Grinberg, Die vier Ankreise eines Vierecks,
WURZEL 2/02, Seiten 26-32.
Darij
Grinberg, Inkreis, Ankreise, Umkreis: Der
Schwerpunkt der vier Berührkreismittelpunkte,
WURZEL 3+4/02, Seite 50-52.
Darij
Grinberg, Verallgemeinerung des Satzes über
die Winkelhalbierenden, WURZEL 5/02, Seite
107-109.
Darij
Grinberg, Aufgabe Iota 31, WURZEL 7/02,
Seite 167
Darij
Grinberg, Aufgabe Iota 50, WURZEL 11/02,
Seite 255.
Darij
Grinberg, Der Steinersche Satz, WURZEL
2/03, Seiten 35-42.
Darij
Grinberg, Aufgabe Kappa 54, WURZEL
11/03, Seite 255.
Darij
Grinberg, Aufgabe Lambda 29-30, WURZEL
6/04, Seite 143.
Darij
Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° -
Teil I, WURZEL 8/04, Seiten 170-176.
Darij Grinberg,
Lösung der Aufgabe Kappa 54, WURZEL 8/04,
Seite 190.
Darij
Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° -
Teil II, WURZEL 9+10/04, Seiten 226-229.
Darij
Grinberg, Eine Aufgabe über Sehnenvierecke
aus dem BWM 2003, WURZEL 2/05, Seiten 35-41.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 10, WURZEL 2/05,
Seite 47.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij
Grinberg, Eine Aufgabe über Sehnenvierecke
aus dem BWM 2003 - Teil II, WURZEL 3+4/05,
Seiten 50-54.
Darij
Grinberg, Neues von den Umkreisbogenmitten
beim Dreieck, WURZEL 8/05, Seiten 176-179.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 40, WURZEL 8/05,
Seite 191.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 57, WURZEL 12/05,
Seite 287.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 10,
WURZEL 2/06, Seite 47.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 27,
WURZEL 6/06, Seite 143.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 31,
WURZEL 7/06, Seite 167.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 58,
WURZEL 12/06, Seite 287.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 4,
WURZEL 1/07, Seite 23.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 10,
WURZEL 2/07, Seite 47.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 16,
WURZEL 3+4/07, Seite 87.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 22,
WURZEL 5/07, Seite 111.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 32,
WURZEL 7/07, Seite 167.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 47,
WURZEL 9+10/07, Seite 231.
Diese Aufgabe
entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Einige kleinere Notizen (Der Satz von
Archimedes, Die Eulergerade eines Sehnenvierecks,
Neuer Zugang zum Feuerbachkreis, Aufgabe:
Inzidenzsatz von Kroll, Neubergsche Kreise,
Einige Sätze über isogonale Punkte, Eine
Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Mathematik und der
Nagelsche Punkt eines Dreiecks) finden Sie auf http://www.dynageo.de/discus/messages/5/112.html
Der Bundeswettbewerb
Mathematik (BWM) ist eine deutsche
Mathematikolympiade, die jährlich stattfindet und aus
drei Runden besteht: Die beiden ersten Runden sind
"Hausaufgaben"-Wettbewerbe (jeweils vier
Aufgaben zur eigenständigen Bearbeitung), die dritte
Runde ist ein Kolloquium.
Ich habe von 2000 bis 2006 am Bundeswettbewerb
Mathematik teilgenommen. Meine Lösungen seit 2003 sind
als gezippte PDF-Dateien zugänglich:
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung, allerdings eine wohl noch
untertriebene Bemerkung zur Lösung von Aufgabe 1:
"Etwas arg aufwändig")
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung, allerdings mit einem analogen
Kommentar)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung)
Eine unvollständige Liste von Lösungen anderer
Teilnehmer:
Peter Patzt: Lösungen
der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006
Hanno Becker: Lösungen
der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
(außer Aufgabe 4 b)) ; Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006.
Mirko Rösner: Lösungen
der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
Daniel Harrer: Lösungen
der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; Lösungen der 2. Runde
des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006
Thomas Kremer / Lukas Reck: Lösungen
der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004
(die eigentliche Seite ist offline, deshalb geht der Link
auf www.archive.org)
Thomas Kremer: Lösungen der 2.
Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004
Dankrad Feist: Lösungen
des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003, 2004 und 2005 und
mehr
Yasin Zähringer: Lösungen
des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003-2006
Thread
auf dem Matheplaneten über die 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
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