5.4 Симметризация уравнений Максвелла

5.4  Симметризация уравнений Максвелла

 

 Не быть тебе творцом, когда тебя ведёт
 к прошедшему одно лишь гордое презренье.
 Дух – создал старое: лишь в новом он найдёт
 основу твёрдую для нового творенья.

К. П. Победоносцев

Альберт Эйнштейн открывает свою работу 1916 года «Новое формальное истолкование электродинамических уравнений Максвелла» следующей оценкой принятой формы записи уравнений Максвелла:

Используемая до сих пор теоретико-ковариантная трактовка уравнений электродинамики восходит к Минковскому. Она может быть охарактеризована следующим образом. Компоненты электромагнитного поля образуют 6-вектор (антисимметричный тензор 2-го ранга). Ему сопоставляется второй 6-вектор, дуальный первому, который в случае специальной теории относительности отличается от первого не значениями компонент, а лишь тем, как эти компоненты сопоставляются четырём координатным осям. Обе системы уравнений Максвелла можно получить, если положить дивергенцию одного из этих 6-векторов равной нулю, а дивергенцию второго положить равной 4-вектору электрического тока. [33,с.508]

В такой формулировке уравнения Максвелла принимают вид:

div*F = 0   &   div F = ρ0U. (1)

Такие «упрощённые» обозначения использовал Вольфганг Паули в §28. Ковариантность основных уравнений электронной теории [1,с.116-120]. Здесь, дополнительно изменено написание 4-вектора (плотности) электрического тока (скорости) si=ρ0ui на ρ0U, в полном соответствии с тем, как это принято в 5.2 Уравнения Максвелла выделяют гиперболическое движение источников поля.

Эйнштейн, фактически, переоткрывает в §1. Уравнения поля цитированной работы [33] известную Минковскому форму записи «магнитных» уравнений Максвелла, заменяет уравнения  div*F=0  на  rotF=0  и записывает уравнения Максвелла в виде:

rot F = 0   &   div F = ρ0U. (2)

Паули оставил нам следующее описание сложившейся к тому времени ситуации вокруг «естественной» трактовки «магнитных» уравнений Максвелла и (физически или математически) предпочтительной формы их записи:

Как известно, в обыкновенном пространстве E есть полярный, а Hаксиальный вектор, но не наоборот. Мы должны поэтому считать описание электромагнитного поля с помощью тензора F естественным, а описание поля с помощью тензора *Fискусственным. У Минковского (Минковский I, см. [2.I]) имеются оба написания уравнений поля. Первое из них [rotF=0], во многих случаях, в частности, в общей теории относительности, более наглядное и удобное, оказалось впоследствии забытым и, например, не используется Зоммерфельдом [4]. Впервые на него вновь обратил внимание Эйнштейн [33] в 1916 г. [1,§28,с.117]

Запишем «симметризованные» уравнения Максвелла подобно тому, как это было сделано в 5.2 в формулах (M.div) и (M.rot), но теперь, – с помощью 4-векторного потенциала A и *A – антисимметричного псевдотензора 3-го ранга, дуального 4-вектору потенциала A:

div A = 0,    div rot A = ρ0U,    div (ρ0U) = 0, (3)
rot*A = 0,   rot div*A = ρ0W,   rot (ρ0W) = 0. (4)

При этом, остаются справедливыми уравнения (вместе с «дуальными» им), связывающие пару потенциалов поля (A,*A) с парой тензоров Максвелла (F,*F), равно как и давно (и хорошо) известная «загадочная» пара форм записи «магнитных» уравнений (во втором столбце):

  F = rot A,     rot F = 0, (5)
*F = div*A,   div*F = 0. (6)

«Загадочность» факта существования именно пары форм для записи магнитных уравнений Максвелла rotF=0 и div*F=0 заключается, прежде всего, в их кажущейся избыточности. Если псевдотензор *F, действительно, входит только в уравнение div*F=0, и это уравнение физически «эквивалентно» (по своему действию на соответствующие компоненты поля) уравнению rotF=0, тогда можно ограничить себя выбором Эйнштейна, изложенным им в [33]. Соответственно, – «обоснованно» отмахнуться от каких-либо поисков ещё не выявленной физической нагруженности наблюдаемого «дублирования» уравнения rotF=0 ещё и уравнением div*F=0. Тем более, что обе формы записи «магнитных» уравнений Максвелла приводят, в конечном счёте, к одной и той же системе уравнений для компонент электромагнитного поля:

rot E + H/t = 0,    div H = 0, (7)

где: дифференциальные 3-операторы rot и div действуют на компоненты электрического E и магнитного H поля.

Более точно, – в обоих случаях получается ровно четыре независимых уравнения относительно компонент полей E и H, которые могут быть записаны в совпадающей 3-векторной форме (7). Оператор 4-дивергенции, действуя на антисимметричный псевдотензор 2-го ранга *F, превращает его в псевдотензор 1-го ранга, имеющий четыре компоненты. В свою очередь, – оператор 4-ротора, действуя на антисимметричный тензор 2-го ранга F, превращает его в антисимметричный тензор 3-го ранга, имеющий также четыре независимых компоненты. Обе эти «четвёрки» уравнений, представленные тензорами 1-го и 3-го ранга, допускают единую 3-векторную форму записи (7). Такое совпадение числа независимых компонент у тензоров 1-го и 3-го ранга в 4-мерном пространстве, происходит только для 4-тензоров 3-го ранга, антисимметричных по всем своим парам индексов.

После Минковского, по большей части, были утрачены и острота переживания «загадочности» факта наличия сразу пары форм записи «магнитных» уравнений Максвелла, и настойчивость в усилиях по выявлению как физического, так и эвристического значения этого факта. На передний план стала выдвигаться «избыточность» и необходимость делать выбор одной из форм записи в качестве основной, лучше (адекватнее) отражающей физическую природу поля.

Для последующих поколений физиков основной источник, питающий их устойчивый интерес к поиску истинных («симметризованных») уравнений поля, лежал совсем в другом месте. Он представлял собой легче схватываемое и наследуемое, легче передающееся при «физических контактах», предположение-предощущение об «искалеченности» «магнитных» уравнений поля отсутствием в них магнитных монополей в качестве источников магнитного поля.

Образцом для подражания была вторая пара уравнений Максвелла – «электрические» уравнения divF=ρ0U, которые в областях пространства, «лишённых» электрических зарядов, упрощаются до однородных уравнений относительно полей E и H:

rot HE/t = 0,    div E = 0. (8)

ВНИМАНИЕ! Физический постулат о существовании таких областей пространства, «лишённых» вакуумных (эфирных) источников поля, – только исторически обусловленная ГИПОТЕЗА, крайне сильно упрощающая физическую ситуацию. На основании такого предельного упрощения и была создана классическая теория свободного поля излучения. Именно это упрощение исходной теоретической модели ответственно за возникновение проблем при описании актов излучения и взаимодействия этого излучения с веществом. Другим, «дуальным» ему, упрощающим постулатом была *ГИПОТЕЗА о статичности (отсутствии движения) источников поля у покоящегося электрона электронной теории Лоренца. Эта ПАРА упрощающих постулатов, превращённых со временем в стойкие «самоочевидные» догмы, – привела к «неустранимому» разрыву между полученной, таким путём, классической теорией поля и наблюдаемыми в физических экспериментах фактами, – привела к целому столетию господства феноменологии квантовой теории. Программа Субквантовой Теории Поля – SubQFT – лишает эту, столь длительно пользующуюся полным доверием, пару постулатов их статуса безусловных фундаментальных физических оснований теории поля. Нельзя построить полноценную Теорию Поля в рамках этой пары догматов. Или мы остаёмся в рамках квантовой феноменологии, или, – строим SubQFT. Это принципиально важный момент, о котором следует постоянно помнить, с которым необходимо считаться при чтении этой статьи, равно как и других на этом сайте, при каждом акте самостоятельного анализа и оценке предлагаемого здесь материала.

Именно такие, волевым образом упрощённые, уравнения Максвелла для свободного поля в областях пространства, «лишённых» источников, представленные там уравнениями (7) и (8), очень наглядно и успешно демонстрировали симметрию полей E и H в записи «магнитных» (7) и однородных «электрических» (8) уравнений поля. Отталкиваясь, прежде всего, от этой симметрии, свойственной рукотворному свободному полю излучения электронной теории Лоренца, приобрела популярность квантовая «программа» Дирака, нацеленная на поиск магнитных монополей и «восстановление» «магнитных» уравнений до неоднородных (по образу и подобию «электрических»). Классический вариант попытки реализации этой «программы» находим в предлагаемом решении к Задаче 4.21. из «Сборника задач по теории относительности и гравитации» [32,с.35,194]

div*F = Kμ = μ0U, (9)

где: Kμ«ток проводимости магнитного заряда» (взятый со знаком минус); μ0 – (лоренц-инвариантная) скалярная плотность «магнитного заряда» (или магнитных монополей).

 Последние изменения: 09 июня 2003EN Вернуться к оглавлению

Цитируемая литература:
1. Паули В. Теория относительности: пер. с англ. – 2-е изд. M.: «Наука», 1983
2. Минковский Г.,
I   Das Relativitätsprinzip. Доклад математическому обществу в Гёттингене 5 ноября 1907 г. Напечатано в Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver., 1915, Bd 24, S. 372; Ann. d. Phys., 1915, Bd 47, S. 927;
II   Die Grundgleichungen für Elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. – Gött. Nachr., 1908, S. 53; Math. Ann., 1910, v. 68, p. 472, и отдельно: Leipzig, 1911;
III   Raum und Zeit. Доклад, прочитанный собранию естествоиспытателей в Кёльне 21 сентября 1908 г., напечатан в Phys. Ztschr., 1909, Bd 10, S. 104, и в сб.: Das Relativitätsprinzip. – Leipzig, 1913 (Русский перевод «Пространство и время», в сб.: Принцип относительности. – М. ОНТИ, 1935)
4. Sommerfeld A. Ann. d. Phys., 1910, Bd 33, S. 670; Bd 32, S. 749; 649
32. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации, M.: «Мир», 1979
33. Эйнштейн А. «Новое формальное истолкование электродинамических уравнений Максвелла» в: АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН: СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ в четырёх томах, т.1, Работы по теории относительности 1905–1920, М.: «Наука», 1965
 
Основная страница – http://www.ltn.lv/~elefzaze/
html/php вёрстка: Александр А. Зазерский
©1998–2004  Александр С. Зазерский