doDK un pasaje al mundo de las matemáticas

 

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Glosario

Binomio de Newton Se trata de una fórmula general para obtener cualquier potencia de un binomio sin necesidad de desarrollarla:

Los números que aparecen entre paréntesis uno sobre otro son números combinatorios (ver Combinaciones). Así por ejemplo, una vez calculados los coeficientes o números combinatorios tenemos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Por supuesto, podemos hacerlo sin necesidad de la fórmula de arriba, aunque el trabajo es más largo y costoso:

(a + b)4 = (a + b) · (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a2 + ab + ba + b2) · (a + b) · (a + b) = ...

Los números combinatorios que aparecen como coeficientes se pueden calcular mediante la fórmula correspondiente o bien con ayuda del Triángulo de Tartaglia.

Combinaciones En lengua española se le llama combinaciones a una forma de calcular las posibilidades diferentes cuando elegimos un grupo de elementos de entre un conjunto.

Supongamos que tenemos un conjunto de cuatro tenistas, Agassi, Graf, Moyá y Seles, y queremos elegir a dos de ellos para formar un equipo de dobles. Las posibilidades serían:

Agassi y Graf

Graf y Moyá

Agassi y Moyá

Graf y Seles

Agassi y Seles

Moyá y Seles

En total, 6 combinaciones diferentes. Debemos fijarnos en que el orden de la elección no importa, es decir, da lo mismo elegir a la pareja Agassi-Graf que a la pareja Graf-Agassi. Si el orden fuera importante, entonces habría más posibilidades (12 en total) y se llamarían variaciones.

Para calcular las combinaciones, existe la fórmula o número combinatorio:

 

Los signos de admiración son los factoriales de los números correspondientes, (ver factorial de un número). En el ejemplo anterior tendríamos:

Correspondencia biunívoca Cuando dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, es posible establecer entre ellos una correspondencia biunívoca, es decir, asociar los elementos de los dos conjuntos uno a uno, sin que sobre ni falte ninguno.

Ejemplo: Tenemos tres amigos, Alberto, Clara y Sofía, y tres pasteles para invitarles a merendar, uno de nata, otro de chocolate y otro de crema. Si le damos un pastel a cada uno, estamos estableciendo una correspondencia biunívoca: cada uno tiene un pastel, y cada pastel es comido por uno de ellos.

También es posible que Alberto no tenga hambre y que Clara se coma dos pasteles. En ese caso tendríamos también una correspondencia, pero no biunívoca.

A las correspondencias biunívocas también se les llama aplicaciones biyectivas.

Cuadrado mágico Cuadrícula o matriz de diversos tamaños en la que disponemos los números de forma que la suma de los números de una fila, columna o diagonal principal siempre da lo mismo. habitualmente los números que se colocan son un conjunto que va desde el 1 hasta el número de casillas que contiene el cuadrado.

Como ejemplo veamos uno de los más conocidos, el cuadrado mágico de orden tres, que tiene nueve casillas, en las que hay que disponer los dígitos del 1 al 9 de forma que cualquier fila, columna o diagonal principal siempre sume lo mismo: 15.
 

8 1 6
3 5 7
4 9 2

Para ver un ejemplo de orden cuatro, obsérvese el cuadro Melancolía de Alberto Durero en el artículo las Matemáticas en el arte (1)

Descomposición factorial en números primos Todo número entero positivo se puede descomponer en forma única como producto de números primos. Este es uno de los motivos por los que los números primos son tan importantes y la principal razón por la que al 1 no se le permite ser número primo, porque si lo fuera, la descomposición no sería única.

He aquí algunos ejemplos:

4 = 22 5 = 5
6 = 2 · 3 210 = 2 · 3 · 5 · 7
12 = 22 · 3 242 = 2 · 112
100 = 22 · 52 625 = 54
27 = 33 144 = 24 · 32
Dodecaedro Es uno de los poliedros perfectos, también llamados sólidos pitagóricos o sólidos platónicos. Está formado por doce caras, cada una de ellas es un pentágono regular.

 

Factorial de un número El factorial es una forma abreviada de expresar el producto de un número entero positivo por todos los enteros positivos menores que él. Su notación es un signo de admiración, !.

Así tenemos, por ejemplo, 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Por definición se acepta que 0! = 1, y que 1! = 1.

El factorial solo se puede aplicar a los números enteros positivos, pero en matemáticas superiores existe la llamada Función Gamma de Euler, que "extiende" el factorial a todos los números, reales y complejos, salvo a los enteros negativos.

Geometrías no euclídeas Durante muchos siglos se supuso que el quinto postulado de la geometría de Euclides era deducible de los otro cuatro. El quinto postulado dice que dada una recta, por un punto exterior a ella solo puede trazarse una recta paralela. Euclides estableció sus cinco postulados o axiomas para construir, a partir de ellos, todas las propiedades de lo que se ha llamado geometría euclídea.

En el siglo XIX algunos matemáticos, (Gauss, Lobachevski, Bolyai y Riemann), empezaron a sospechar que el quinto postulado era necesario para la geometría euclídea, y si se eliminaba o se cambiaba, surgían geometrías diferentes pero perfectamente consistentes. Si sustituimos el postulado por otro que diga que por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas paralelas, o por otro que diga que no existen rectas paralelas, surgen otras dos geometrías: la hiperbólica y la elíptica.

Infinito

El infinito, cuyo símbolo es un 8 tumbado, , es un concepto que solo nos podemos imaginar, pues no lo encontramos en nuestra experiencia con las cantidades cotidianas. El infinito tiene diversas propiedades que contradicen nuestro sentido común, e incluso hay varios tamaños de infinitos, y unos son más grandes que otros.
Ley de Bode Regla aritmética que rige la distancia entre los planetas y el sol. Si tomamos la serie 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, es decir, la serie que comienza en 0 le sigue el 3 y luego vamos multiplicando por 2 cada término hasta obtener ocho términos en total, y sumamos 4 a cada término obtenido, nos sale la serie 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196. Si multiplicamos cada término por 15, nos salen, con una aproximación muy ajustada, los millones de kilómetros que distan los primeros ocho planetas del sol, considerando entre estos ocho al planeta que existió en lo que ahora es un cinturón de asteroides, entre Marte y Júpiter. Los planetas Neptuno y Plutón no se ajustan tan bien a la misma progresión.

La ley de Bode fue descubierta por el matemático alemán Johann Titius en 1766 y publicada por el astrónomo alemán Johann Bode en 1772.

Términos sumo  4 multiplico por 15 planetas distancia media real al Sol (en millones de kilómetros)
0 4 60 Mercurio 58
3 7 105 Venus 108
6 10 150 Tierra 150
12 16 240 Marte 228
24 28 420 Ceres (asteroides) 415
48 52 780 Júpiter 778
96 100 1500 Saturno 1429
192 196 2940 Urano 2875
Número áureo También conocido como número f (fi), número de oro, divina proporción, etc. Su nombre viene del escultor griego Fidias, que lo usó mucho en sus obras. Su valor es:

Números amigos Dos números se dicen que son amigos si la suma de los divisores propios de uno, es decir los divisores excluyéndolo a él mismo, da el otro número, y la suma de los divisores propios del otro número da el primero.

La primera pareja de números amigos es 220 y 284.

Para más detalles, ver el artículo Los puntazos de Pitágoras.

Números enteros

Es el conjunto formado por los naturales, sus opuestos y el cero. Se representa por la letra Z, aunque se suele escribir con la diagonal doble: 

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Número fi Ver número áureo.
Números irracionales Son aquellos que no son enteros ni fraccionarios, es decir, aquellos números que no se pueden expresar como cociente de dos números enteros.

Los primeros números irracionales aparecieron con las raíces, como la raíz cuadrada de dos o la raíz cúbica de dos. Dichas cantidades aparecían al tratar de calcular diagonales de cuadrados, lados de polígonos y de poliedros, etc. El número pi también es irracional, lo mismo que el número fi y el número e.

Números perfectos Aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir la suma de todos los divisores excluyéndolos a ellos mismos. Ejemplo: el 6 tiene por divisores 1, 2, 3, 6. Si sumamos los divisores propios: 1+2+3 = 6, luego 6 es perfecto. El 8 tiene por divisores 1, 2, 4, 8, pero si sumamos 1+2+4 no da 8, luego 8 no es perfecto.

6 es el número perfecto más pequeño y luego tenemos al 28.

Para más detalles, ver el artículo Los puntazos de Pitágoras.

Número pi Es quizás uno de los números más conocidos en matemáticas. Se representa por la letra griega p y es la proporción exacta entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro.

Pi es un número irracional. Su valor es imposible de expresar exactamente con números decimales, tan solo podemos trabajar con aproximaciones, como 3'14 o 3'1416, que son las más corrientes. Con la ayuda de los modernos superordenadores se han calculado miles de millones de cifras decimales de pi.

En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi era un número trascendente, es decir, que no se puede obtener como solución de una ecuación polinómica de coeficientes enteros. De paso esto también resuelve el problema de la cuadratura del círculo: dado un círculo construir a partir de él con regla y compás un cuadrado que tenga exactamente el mismo perímetro que la longitud del círculo. Lindemann, al demostrar que pi era un número trascendente, demostró como consecuencia que el problema de la cuadratura del círculo no puede tener solución.

Números primos Se consideran primos aquellos números enteros positivos distintos del 1 que no son divisibles entre ningún otro número entero positivo salvo él mismo y el 1. Otra definición sería aquél número entero positivo que no se puede descomponer como producto de dos o más números enteros positivos distintos de 1.

Mediante el método conocido como criba de Eratóstenes es fácil determinar los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... 

Poliedro Cualquier cuerpo sólido o tridimensional cuya superficie está compuesta por caras planas. Un cubo, una pirámide, un prisma, son poliedros, pero una esfera, un cilindro, un cono, no lo son.
Progresiones aritméticas Se trata de una sucesión de números caracterizada porque la diferencia entre un número y el anterior es constante. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14,... En esta sucesión la diferencia entre un número y el anterior siempre vale 3, es decir, los números van de tres en tres.

Si tenemos la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100, se trata de una progresión aritmética, cuya diferencia constante es 1 (los números aumentan de uno en uno).

Pentagrama En matemáticas se le llama así a la estrella de cinco puntas que se forma al unir los vértices no contiguos de un pentágono regular. Para los pitagóricos el pentagrama tenía propiedades mágicas, y lo usaban como símbolo de su comunidad. A lo largo de los siglos se ha mantenido como un emblema de la magia y de las fuerzas ocultas, y ha sido adoptado por numerosos grupos y sociedades secretas.

Entre las numerosas propiedades matemáticas del pentagrama se encuentra la de contener en sus proporciones al número fi o número de oro. En efecto, la proporción entre el lado más largo de uno de los triángulos que forman sus puntas y la base de dicho triángulo es exactamente el número fi.

Pirámide

Es un poliedro en cuya base hay un polígono, generalmente regular, y cuyas caras laterales son triángulos.

Las construcciones en forma de pirámide de base cuadrada se dieron en la antigüedad entre diversas civilizaciones. Las más famosas son las tres de la planicie de Gizeh o Giza, cerca de El Cairo, Egipto, entre las que se encuentra la más alta de todas, la de Keops, conocida como la Primera Maravilla del Mundo Antiguo. 

Simetría axial La palabra axial se refiere a un eje o axis. La simetría axial se da en una figura geométrica cuando presenta un eje de simetría. Si giramos la figura respecto a este eje, la figura se conserva, no varía de aspecto.

En las letras del alfabeto podemos ver ejemplos de lo dicho. La A es simétrica respecto a un eje vertical que pasa por su centro. La C, la D, la E, por ejemplo, son simétricas respecto a un eje horizontal.

Simetría central Se dice que una figura geométrica presenta simetría central si al girarla media vuelta queda exactamente igual que antes. También podemos decir que los puntos de la figura tienen su simétrico respecto al centro de la figura.

Con las letras del alfabeto podríamos poner ejemplos de simetría central: la N, la S, la Z, presentan simetría central. La H, la I, la O, la X, también tienen simetría central, y además presentan otro tipo de simetría, la axial.

Tetractys Si tomamos diez puntos y los distribuimos en forma de triángulo equilátero se forma la tetractys, símbolo sagrado entre los pitagóricos, que veían en el número 10 una alegoría de Dios y del Universo, de las dimensiones de la naturaleza y de la escala musical.
Variaciones En lengua española se le llama variaciones a una forma de calcular las posibilidades diferentes cuando tomamos varios elementos de entre un conjunto y los colocamos en órdenes distintos.

Supongamos que tenemos un conjunto de cuatro tenistas, Agassi, Graf, Moyá y Seles, organizamos un torneo entre los cuatro y nos preguntamos de cuántas formas distintas podrían quedar campeón y subcampeón. Las posibilidades serían:

Campeón

Subcampeón

Agassi Graf
Agassi Moyá
Agassi Seles
Graf Agassi
Graf Moyá
Graf Seles
Moyá Agassi
Moyá Graf
Moyá Seles
Seles Agassi
Seles Graf
Seles Moyá

En total, 12 variaciones diferentes. Debemos fijarnos en que aquí el orden de la elección sí importa, es decir, no da lo mismo que salga la pareja Agassi-Graf que la pareja Graf-Agassi, porque en el primer caso Agassi es el campeón y en el segundo lo es Graf. Aquí el orden es importante, si no lo fuera, estaríamos en el caso de las combinaciones.

Para calcular las variaciones, existe la fórmula:

V(m,n) = m · (m-1) · ... · (m-n+1)

Donde m es el número de elementos que tiene el conjunto, y n es la cantidad de elementos que tomamos.

En el ejemplo anterior tendríamos m=4 (total de tenistas) y n=2 (tomamos dos tenistas, uno para campeón y otro para subcampeón:

V(4,2) = 4 · 3 = 12

 

 

 

 

Última actualización de esta página en la web: 05/12/2007 . Publicada por primera vez: 01/10/2003

Créditos y Colaboraciones

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