Sugerencias para realizar los ejercicios de Geometría afín y euclídea de COU

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GEOMETRIA AFIN

• Recta que pasa por el punto (a,b,c) y es paralela a los planos
  
  Solución: La recta buscada tiene por ecuación:
  
  
• Proyección del punto (a,b,c) sobre el plano M:Ax+By+Cz=D en la dirección de = (i, j, k).
  
  Solución: Construimos la recta L: (x, y, z) = (a, b, c) + , entonces, el punto P' buscado es la intersección del plano M dado con la recta L hallada.
  
  
• Proyección de la recta L: (x, y, z) = P + en la dirección del vector sobre el plano M:Ax+By+Cz=D.
  
  Solución: Construimos el plano M' = P + + , entonces, la recta L' buscada es L' = M M'.
  
  
• Recta (en implícitas) que pasa por P = (a, b, c) y se apoya en las rectas L y L'.
  
  Solución: Construir, por una parte, un plano que contenga a L y a P, por otro lado, un plano que contenga a L' y a P. Entonces, hallamos la intersección de ambos planos; esta es la recta buscada. Para hallar el primer plano (, por ejemplo), usamos el haz de planos que contienen a la recta L (las ecuaciones son las de la recta L), sustituyendo el punto en las coordenadas del haz de planos, así hallamos el . El otro plano se halla de la misma forma (con la otra recta, obviamente).
  
  
• Recta paralela a L que se apoya en las rectas H y H' .
  
  Solución: Si es el vector director de la recta L , utilizando haces de planos, hallamos el plano que contiene a H y a , el plano ' que contiene a H' y a . Entonces, la recta buscada es la intersección de estos dos plano, i.e., '.
  
  
• Plano que pasa por el punto P y es paralelo a las rectas L y L' .
  
  Solución: Llamamos al vector director de L, y al vector director de L' . Entonces, el plano buscado tiene la ecuación vectorial : (x, y, z) = P + +
  
  
• Recta paralela a los planos y ' que pase por el punto P.
  
  Solución: Hallamos la recta r' intersección de los planos, i.e., r' = '. Entonces, llamamos al vector director de esta recta r' (que resulta ser el producto vectorial de los vectores característicos de y ', otro modo de hallarlo). Con todo esto, la recta r buscada es r : (x, y, z) = P +
  
  
• Plano que contiene a una recta r y es paralelo a otra recta s.
  
  Solución: Como r está contenida en el plano , su vector director (, por ejemplo) es un vector generador de . Como es paralelo a s, el vector director de s (, por ejemplo) es otro vector generador de . Ahora hallamos un punto cualquiera de la recta r (pues estará en ), llamémosle P. Entonces, la ecuación pedida del plano es:
  : (x, y, z) = P + +

GEOMETRIA AFIN EUCLIDEA

• Proyección ortogonal de un punto P = (a, b, c) sobre el plano M:Ax+By+Cz=D
  
  Solución: Lo que debemos hacer es, primero, hallar una recta perpendicular al plano M que pase por el punto P. Con esto, el punto P' es la intersección de dicha recta con el plano. Veamos los pasos con detalle:
  
  • El vector característico de M es = (A, B, C). La ecuación de la recta perpendicular a M que pase por M es:
    L : (x, y, z) = (a, b, c) + v(A, B, C).
    De aquí
  • Sustituyo estas coordenadas en la ecuación del plano:
    A(a + Av) + B(b + Bv) + C(c + Cv) = D Aa + Bb + Cc + v(A² + B² + C²) = D.
  • Ahora despejo:
  • sustituyendo en (1), obtengo las coordenadas del punto buscado, que son:
    
    
    
  
  
  
• Proyección ortogonal del punto P = (a, b, c) sobre la recta L : (x, y, z) = Q +
  
  Solución: Construimos un plano perpendicular a L que pase por el punto P. El vector = (i, j, k) (director de L) es el vector característico del plano, luego la ecuación de este plano es:
  : i(x-a) + j(y-b) + k(z-c) = 0. Escribimos la recta en paramétricas, y a partir de ahí, terminamos procediendo como en el tipo de ejercicio anterior.
  
  
• Hallar la proyección ortogonal de la recta L : (x, y, z) = (a, b, c) + (l, m, n) sobre el plano M:Ax+By+Cz=D.
  
  Solución: Construir un plano perpendicular a M que contenga a L (este plano será M' : (x, y, z) = (a, b, c) + (l, m, n) + (A, B, C) ). Entonces, M M' = L' nos da la recta buscada.
  
  
• Tengo la recta r y la recta s. Hallar la recta L perpendicular común a ambas.
  
  Solución:} Si llamamos al vector director de la recta r, y al vector director de la recta s, entonces el vector director de la recta L será = . Ahora hallamos los planos y ' usando haces de planos: que contiene a r y a , y ', que contiene a s y a . Entonces, la perpendicular común es la intersección de los planos , ' , i.e., L = '

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