Software de Interpretación y Representación Gráfica de Funciones Matemáticas

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UTILIDADES
Curvas y el Análisis Numérico

La historia del análisis numérico data de tiempos antiguos; pero desde que aparecieron, a finales del siglo XIX, las primeras máquinas de cálculo automático se estimuló tanto el desarrollo del análisis numérico que importantes logros científicos, que antes parecían inaccesibles, se han hecho realidad. Algunos definen, el análisis numérico como la aplicación de las matemáticas a las ciencias de la computación; otros, como el arte y la ciencia de calcular. De todas formas el análisis numérico permite la elaboración minuciosa del plan que se necesita en un determinado cálculo. Además, trata cuestiones tales como: la precisión y exactitud, los errores, y la comprobación. Curvas, por su parte, ayudaría a la elección del mejor método de análisis numérico que se debe aplicar para la resolución de un determinado problema de cálculo.

A continuación se examinan varios problemas que considera el análisis numérico y cómo Curvas ayuda a solucionarlos. Cada problema contará, por lo menos, con un ejemplo y varias gráficas creadas en Curvas.

CEROS DE FUNCIONES

La determinación de los ceros de funciones o raíces de ecuaciones es un problema que sucede con frecuencia en el área científica.

Por ejemplo, en la teoría de la difracción de la luz necesitamos las raíces de la ecuación

[CHENEY, Ward; KINCAID, David. Numerical Analisys. EE.UU.: BROOKS/COLE, 1.991. 690 p.] p.57.

El análisis numérico ofrece varios procedimientos para resolver el problema de la determinación de los ceros de una función. Algunos de esos procedimientos son los siguientes:

Método de bisección: Se utiliza en funciones continuas, pero sólo encuentra un cero, más no todos, en el intervalo [a, b].

Método de Newton: Es un procedimiento general que se puede aplicar en diversas situaciones. Sin embargo, cualquier enunciado acerca del método debe contemplar la suposición de que el x inicial debe estar próximo a un cero, o que la gráfica de f tiene una forma especial.

Método de la secante: Es una variación del método de Newton que, en vez de utilizar la derivada de la función cuyo cero se busca, utiliza f' en términos de un límite.

Cálculo de ceros de polinomios: Es un procedimiento que se especializa en encontrar los ceros de funciones polinómicas.

Puesto que cada procedimiento tiene sus pros y sus contras, Curvas puede facilitar la elección del mejor procedimiento e intervalo para una función dada.

Por ejemplo, la ecuación

tiene dos raíces cercanas y si utilizamos el método de bisección, se tendría que probar varios intervalos para determinar estas raíces y, en algunos casos, se hallaría una raíz pero no la otra. De tal modo que con Curvas, después de representar gráficamente la función se puede observar los cortes con el eje x. Y si es necesario, se puede realizar un acercamiento (zoom in) o alejamiento (zoom out) de la zona en cuestión y así descubrir las dos raíces con mucha facilidad.

La anterior ecuación, se representó en Curvas como

gráfica 1 Ejemplo 1 de Ceros de Funciones: gráfica inicial

Supongamos que se desea encontrar el intervalo en x más preciso, el cual halle el valor de las dos raíces que están más a la derecha de la gráfica. El intervalo inicial {x,-3.5,3.5} tal vez resulte muy grande para un método como el de bisección que se compromete a hallar una sola raíz. De tal modo que, si aún conociendo las desventajas de este método, se desea continuar con él; entonces Curvas ayuda a obtener esos intervalos entre los cuales están las raíces. Así que la gráfica 1 de la función f se puede ampliar con sólo hacer clic en los diferentes botones de acercamiento de Curvas. De esta forma, se obtiene la gráfica 2.

gráfica 2 Ejemplo 1 de Ceros de Funciones: ampliación de la gráfica

Como se puede observar en la gráfica 2, se puede encontrar un intervalo en x más exacto. En este caso, los valores del intervalo en x (valores a los extremos de la línea horizontal negra en la parte inferior de la gráfica 2) son -0,20 y 0,66. Y, puesto que el método de bisección se compromete a hallar una raíz, se puede usar los siguientes intervalos en x para localizar las dos raíces:

gráfica 3 Ejemplo 2 de Ceros de Funciones: gráfica inicial

A simple vista, se puede observar que una de las raíces es 0, puesto que h(0) = 0. No obstante, la otra es difícil de determinar de este modo. De tal forma, que se puede hacer uso de las herramientas de visualización de Curvas y hacer un acercamiento como lo muestra la gráfica 4.

gráfica 4 Ejemplo 2 de Ceros de Funciones: ampliación

Como se puede observar, la otra raíz para h(x) (en la parte derecha de la gráfica 4) es cercana a 0.89. Por lo tanto, los valores de x donde h(x) = 0 también son los valores de x para los cuales f(x) = g(x).

INTERPOLACIÓN

La interpolación es el problema de la estimación del valor de una función a partir de valores conocidos de cada lado del mismo. Sin embargo, además del problema de estimar la función si se conoce un conjunto de puntos, existen otros subproblemas relacionados al tipo de interpolación que se debe utilizar. En el caso de los Sistemas de Cartografía Automática se utilizan bases de datos gráficas para geo-referenciar datos alfanuméricos, y la interpolación se hace necesaria, por ejemplo, cuando se quiere interpolar un conjunto de puntos que representan las coordenadas geográficas donde las mediciones de pluviosidad tienen el mismo valor. Para tal efecto, el análisis numérico cuenta con varias formas de realizar la interpolación que van desde la poligonal y Spline hasta otras más complejas y, por supuesto, más exactas como la de Kriging. Por ejemplo, dada la siguiente tabla de puntos:

Se obtiene, aplicando el método de Newton para interpolación con curva polinómica, la función

p(x) = 4x³ + 35x² - 84x - 955

Curvas, en este caso, ayudaría a verificar que todos los puntos coinciden con el del polinomio obtenido por el método de Newton. Además, si se aplica otros métodos de interpolación, se puede determinar cuál es el mejor tipo de interpolación para el anterior conjunto de puntos. Se representó en Curvas la función p(x) como

p = 4*x^3 + 35*x^2 - 84*x - 955, {x,-17.5,10.5}, {y,-1495,2425}

y se obtuvo la gráfica 5.

gráfica 5 Ejemplo 1 de interpolación (1)

Ahora bien, si la figura 6, mostrando el conjunto de puntos dados en la tabla y unidos por una línea, es similar a una porción de la función de la gráfica 5, entonces es porque el método de interpolación que se escogió fue el correcto.

figura 6 Ejemplo 1 de interpolación (2)

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

La diferenciación y la integración son los conceptos fundamentales del Cálculo. La noción de derivada es la idea central del cálculo diferencial y surgió por un problema de geometría: el problema de hallar la tangente en un punto en una curva. Desde su desarrollo, se ha utilizado la derivada en el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, además de la distancia y la cantidad. Por ejemplo, se puede utilizar la noción derivada para determinar la velocidad con que debería ser impulsado un cohete para que nunca volviera a la Tierra, para hallar la razón de crecimiento del número de bacterias en un cultivo o para describir el cambio de la corriente en un circuito eléctrico.

Por su parte, la noción de integral definida es la idea central del cálculo integral y surgió de otro problema geométrico: el problema de hallar el área de una región. En cuanto a las aplicaciones, por ejemplo, se puede utilizar la integral definida para calcular el flujo de sangre a través de una arteriola o para estimar la depresión del equipo de una fábrica.

Ahora bien, el análisis numérico proporciona varios métodos y procedimientos en los cuales se puede estimar cómo es la derivada en un punto de una curva o de una integral, basándose en los valores de una función f en ciertos puntos. Algunos de tales métodos y procedimientos son: diferenciación numérica, extrapolación de Richardson, integración numérica basada en interpolación, cuadratura gaussiana e integración de Romberg.

Sin embargo, en las situaciones que se apegan a la realidad, la información que se tiene disponible no determina completamente a f, y cualquier estimación numérica de su derivada o de su integral deberá tomarse con escepticismo, a menos que venga acompañada de alguna cota para los errores comprendidos.

[CHENEY, Ward; KINCAID, David. Numerical Analisys. EE.UU.: BROOKS/COLE, 1.991. 690 p.] p.444.

Ahora bien, con respecto a la diferenciación, no toda función, así sea continua (ver limites y continuidad de funciones), es derivable. De tal modo que antes de usar algún método de derivación en un punto determinado, es conveniente constatar gráficamente si ese punto es derivable. Por ejemplo, la función

gráfica 7 Ejemplo de diferenciación

En cuanto a la integración, a veces se tiene una función a la cual no se le puede definir su antiderivada, ya sea porque no la tiene o, porque se tiene un conjunto de puntos de la función y no la función misma. En el primer caso, donde existe la función mas no así su antiderivada, se podría crear un polinomio equivalente a esta función, buscar por medio de Curvas los intervalos donde la función original y el polinomio son semejantes, e integrar el polinomio con respecto a estos intervalos. En el otro caso, donde sólo se tiene los puntos, se procede con una interpolación y se integra con respecto al polinomio que se originó.

Por ejemplo, se necesita integrar la función tan(x) para valores pequeños de x (cercanos a 0); no obstante, su integral es complicada. De tal modo que si sólo se necesita integrar tan(x) para valores pequeños, con Curvas se puede visualizar y constatar que, para estos valores, la función tangente (gráfica 8) es equivalente a la función identidad (gráfica 9). De tal modo que, en este caso, es más adecuado integrar a través de la función identidad.

gráfica 8 Ejemplo 1 de integración: tan(x) para valores pequeños

gráfica 9 Ejemplo 1 de integración: función identidad, f(x) = x

Otro ejemplo, donde se aplica Curvas a la integración, es que la integral

no existe. No obstante, con Curvas si se aproxima la función

(ver gráfica 10)

con el polinomio

sería semejante a la de f(x) si existiera. Si se quiere una mayor aproximación es necesario aumentar los términos del polinomio.

gráfica 10 Ejemplo 2 de integración: función exponencial

gráfica 11 Ejemplo 2 de integración: función polinómica

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

El problema de determinar la continuidad de funciones se hizo evidente cuando, en el siglo XVIII, se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos.

En particular, los trabajos de J. B. J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios del siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.

[APOSTOL, Tom M. Calculus, volumen 1. España: REVERTE, 1.988. 813 p.] p.156.

Prescindiendo del rigor, se puede definir de forma intuitiva el concepto de continuidad de la siguiente forma:

Supongamos una función f que tiene el valor f(x) en un cierto punto p. Se dice que f es continua en p si en todo punto próximo x el valor de la función f(x) es próximo a f(x). Otro modo de expresar este hecho, es el siguiente: Si x se mueve hacia p, el correspondiente valor de la función f(x) debe llegar a ser tan próximo a f(p) como se desee, cualquiera que sea la forma con que x tienda a p.

[APOSTOL, Tom M. Calculus, volumen 1. España: REVERTE, 1.988. 813 p.] p.155.

En cuanto a la definición de límite de una función:

Consideremos un intervalo abierto que contiene a a. Sea f una función definida en todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. La afirmación

significa que para todo e > 0 existe d > 0 tal que:

si 0 < | x - a | < d, entonces | f(x) - L | < e

[SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. EE.UU.: WADSWORTH, 1.982. 967 p.] p.57.

Ahora bien, una definición formal sobre la continuidad de una función es:

Una función f es continua en un número real a si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

[SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. EE.UU.: WADSWORTH, 1.982. 967 p.] p.75.

Para hallar derivada, como se describió en la sección anterior, se utiliza la definición de límite y, por lo tanto, si el limite no existe entonces tampoco existirá la derivada. Por ejemplo, en la función

el límite en x = -8 no existe, tal y como muestra la gráfica 12.

gráfica 12 Ejemplo de límites

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