x⁴+bx³+cx²+dx+e=0

先代入x=y+n消去x³的系數

(y+n)⁴+b(y+n)³+c(y+n)²+d(y+n)+e=0

y⁴+4ny³+6n²y²+4n³y+n⁴+by³+3bny²+3bn²y+bn³+cy²+2cny+cn²+dy+dn+e=0

y⁴+(b+4n)y³+(6n²+3bn+c)y²+(4n³+3bn²+2cn+d)y+n⁴+bn³+cn²+dn+e=0

∵要消去y³的系數

∴b-4n=0 n=-b/4

∴代入x=y-b/4，得y⁴+py²+qy+r=0

將其寫成(y²+ky+n)(y²-ky+m)=0

y⁴-ky³+my²+ky³-k²y²+kmy+ny²-kny+mn=0

y⁴+(m+n-k²)y²+k(m-n)y+mn=0

∴p=m+n-k²   ----- (1)

q=k(m-n)   ----- (2)

r=mn   ----- (3)

從(1)得m=k²+p-n   ----- (4)

代(4)入(2)得，

q=k(k²+p-n-n)

q=k³+pk-2nk

∴n=(k³+pk-q)/(2k)   ----- (5)

代(5)入(4)得，

m=k²+p-(k³+pk-q)/(2k)

m=(k³+pk+q0/(2k)   ----- (6)

代(5) & (6)入(3)得，

[(k³+pk+q0/(2k)][(k³+pk-q)/(2k)]=r

(k³+pk)²-q²=4rk²

k⁶+2pk⁴+(p²-4r)k²-q²=0

(k²)³+2p(k²)²+(p²-4r)(k²)-q²=0

用解三次方程的求根公式得其中一個k的值，代回(5)及(6)得m及n的值，

再代回(y²+ky+n)(y²-ky+m)=0

y²+ky+n=0 or y²-ky+m=0

y=[-k±(k²-4n)^(1/2)]/2 or y=[k±(k²-4m)^(1/2)]/2

得4個y值後，再代回x=y-b/4，就可得4個x的解。