Convenzioni

I numeri maggiori di 0 si dicono positivi, quelli minori di 0 negativi; 0 non è positivo né negativo.
Considero che anche lo 0 fa parte dei numeri naturali. Secondo altre convenzioni viene escluso da essi.
È assurdo che i matematici non si siano messi d' accordo su una cosa tanto elementare.
Molti usano diversi tipi di parentesi per rendere più evidente quale parentesi chiusa si riferisce a quale aperta. Di solito si usano le parentesi tonde - () -, le parentesi quadre - [] - e le parentesi graffe -{}-. L' annidamento di solito è {[()]}, ma si può anche trovare irregolare. Questa convenzione comunque crea problemi quando ci sono più di 3 livelli di parentesi (qualcuno ripete più volte lo stesso tipo di parentesi).
Qui userò sempre le parentesi tonde.
Le lettere, siano esse dell' alfabeto latino (il nostro) o greco, stanno ad indicare dei numeri che non conosciamo o che non vogliamo scrivere per maggiore generalità (di solito si chiamano incognite (se sono da determinare), variabili (se sono quantità che facciamo variare) o parametri (se sono quantità che consideriamo fisse, ma non ne specifichiamo il valore)). Esse non sono da considerarsi abbreviazioni, ma simboli. Distinguiamo tra lettere minuscole e maiuscole. Due lettere uguali indicano due quantità uguali per grandezza, due lettere diverse due quantità diverse.
Esempio: a+a=2a Per avere più simboli o per maggiore chiarezza nella notazione, alle lettere possiamo aggiungere indici che ce le fanno distinguere. A due quantità diverse attribuiamo due lettere con indici diversi. L' indice è un numerino che poniamo sotto la lettera. Chiaramente deve essere un numero naturale (può anche essere 0). Distinguiamo anche una lettera con indice (qualsiasi) e una senza indice.
Esempio: a1+a2+c=v0+b2+b3
Nei casi precedenti scegliamo l' indice come vogliamo, ma in altri esso può assumere una maggiore importanza, tanto che possiamo addirittura renderlo variabile e quindi indicarlo con una lettera, specialmente quando non sappiamo esattamente quanti simboli ci servono.
Esempio: a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn=0
L' indice può essere una lettera anche quando una quantità si riferisce ad un' altra che viene a sua volta indicata con una lettera. Ad esempio in un sistema di coordinate cartesiane nel piano, se chiamiamo un punto P, la sua prima coordinata si può chiamare xP, la seconda yP, perché x ed y si riferiscono a P.
Ogni volta che si fornisce un valore approssimato bisogna usare il simbolo ~ (di solito a mano si scrive con un trattino orizzontale sotto) e non il simbolo =. Se usiamo il simbolo =, dobbiamo lasciare irrisolte le operazioni oltre le quali non si può andare senza fare un' approssimazione. Il simbolo significa "è diverso da".
Quando risolviamo un' esercizio matematico dobbiamo dare la soluzione esatta (il più semplificata possibile), anche se per farlo dobbiamo lasciare delle operazioni irrisolte; solo in seguito possiamo dare il valore approssimato, ma non è sempre necessario farlo. È permesso dare solo la soluzione approssimata quando trovare quella esatta è difficilissimo o quasi impossibile (ad esempio quando si cercano le soluzioni di un polinomio di quinto grado).
Esempio:
x=(1/4)*(1+5)
x~0,81
I numeri negativi si indicano con un "-" di fronte ad un numero "ordinario". Ad esempio -5 significa "5 sotto lo 0". In questo caso il simbolo "-" perde il significato di operazione sottrazione, ma acquista quello di una funzione (che ha la precedenza sulle altre) che ad un numero associa il suo opposto rispetto alla somma. Quindi il suo significato è in realtà più esteso di quanto indicato poco fa. In particolare l' opposto di un numero negativo è un numero positivo.
Esempio: -(-7)=7
Chiaramente se si trova davanti ad una lettera di cui non conosciamo il valore, ne indica l' opposto e non sappiamo se è un numero positivo o negativo. Voglio semplicemente dire che se troviamo scritto -a, non possiamo dire che è un numero negativo, può essere qualsiasi cosa.
Le unità di misura si denotano con una lettera o con una sequenza di lettere; possono avere anche dei prefissi che indicano i multipli ed i sottomultipli di esse. Per la sequenza di lettere evidentemente non c' è problema, ma qualcuno potrebbe pensare che le lettere singole possano confondersi ad incognite, variabili o parametri (quindi a simboli che rappresentano numeri). Non ha importanza! Le unità di misura si comportano come qualsiasi numero (e quindi anche come ciò che lo rappresenta)! Esse infatti non sono una cosa a parte, ma vanno moltiplicate al numero che le precede perché esso dice quante volte si ripete quell' unità di misura (ad esempio diciamo 5 metri). Si può quindi includerle nelle operazioni come fossero numeri o ciò che li rappresenta. Devo far notare che ci sono anche unità di misura composte da altre. Per alcune esiste un nuovo nome (ad esempio
N=kg*m/s2, il newton è uguale a kilogrammo moltiplicato per metro diviso secondo al quadrato; serve a misurare la forza), ma altre rimangono denotate come composizione di unità di misura elementari (ad esempio
kg/m3, kilogrammo diviso metro al cubo; serve a misurare la densità); quest' ultima scrittura ha il significato di operazione tra diverse unità di misura che a loro volta matematicamente si comportano come un qualsiasi numero o ciò che lo rappresenta.
Vediamo in questa tabella i più importanti prefissi usati per le unità di misura.
prefisso quante volte l' unità di misura base si legge
p 10-12 o 1/1 000 000 000 000 pico-
n 10-9 o 1/1 000 000 000 nano-
µ 10-6 o 1/1 000 000 micro-
m 10-3 o 1/1 000 milli-
c 10-2 o 1/100 centi-
d 10-1 o 1/10 deci-
da 101 o 10 deca-
h 102 o 100 etto-
k 103 o 1 000 kilo-
M 106 o 1 000 000 mega-
G 109 o 1 000 000 000 giga-
T 1012 o 1 000 000 000 000 tera-
Esempi:
1kg=1 000 g
1 hl=100 l
1 mm=1/1 000 m
Nota: µ è la lettera greca mi.
Nota: in fisica si usa anche un unità di misura che non segue questo schema: è l' angstrom e si indica Å (non Åm come sarebbe coerente); vale 10-10m. È stata introdotta perché è la grandezza tipica di un qualcosa legato al mondo atomico.
In informatica le cose si complicano un po' e i prefissi hanno un' altro significato (leggermente diverso). Lì l' unità di misura base è il byte, che equivale ad un carattere o ad un simbolo sulla tastiera. Esso è composto da 8 bit, che è la più piccola quantità di informazione pensabile: indica la presenza di "qualcosa" (in informatica si denota con 1) o l' assenza di "qualcosa" (si denota con 0), ma non può essere considerato un sottomultiplo del byte. In realtà non ha senso parlare di sottomultipli del byte per il loro stesso significato. Comunque per i byte non si usano i prefissi da e h e i prefissi k, M, G, T significano rispettivamente
1 024, 1 0242, 1 0243, 1 0244 volte un byte. 1 024 sta al posto di 1 000 nella tabella sopra. Questo perché "1 024 è circa 1 000" (per non creare una confusione ancora maggiore di quella che c' è già) e 1 024 si può scrivere come 210; infatti il 2 ha una grande importanza in informatica perché il computer fa i conti in base 2 e perché il bit può avere 2 "stati" (vedere poco sopra).
Esempi:
1*kbyte=1 024*byte
1*Gbyte=1 048 576*kbyte
1*Tbyte=1 024*Gbyte
Definizione di funzione
La definizione formale è la seguente: una funzione è data da una terna (A,B,f), dove A e B sono insiemi, A viene chiamato dominio, B codominio, e f è una legge che ad ogni elemento del dominio A associa uno ed uno solo degli elementi del codominio B.
Quindi 2 funzioni che hanno la stessa legge, ma domini e/o codomini diversi vengono considerate distinte.
Se ci basta essere meno precisi, possiamo identificare una funzione con la legge che associa gli elementi appena nominata (a scuola questa semplificazione si adotta spesso).
Una funzione viene anche chiamata applicazione.

Una funzione verrà normalmente denotata in 2 modi o con il misto dei 2. Il primo è con una sequenza di lettere o una lettera. Dopo il nome della funzione bisogna scrivere subito tra parentesi (lasciando eventualmente uno spazio, ma senza nessun simbolo in mezzo) qual' è l' elemento al quale viene applicata la funzione, diversamente l' espressione non ha senso. Al posto dell' elemento si può scrivere un incognita, una variabile o un parametro che lo rappresenta. Se viene applicata ad una sequenza di operazioni, queste devono stare tra parentesi, infatti una funzione ha la precedenza su qualsiasi operazione. Il secondo è con operazioni applicate alla stessa incognita o allo stesso numero. Il misto dei 2 è dato da operazioni tra funzioni denotate con una sequenza di (o una) lettere (o da funzioni applicate ad operazioni).
Purtroppo si può confondere (tenendo conto solo della notazione) una funzione con un' unità di misura, un' incognita, variabile o parametro. Per effettuare la giusta distinzione bisogna considerare il contesto.
Purtroppo certe funzioni molto usate si indicano in modi molto strani. Lo vedremo negli esempi.

Sarebbe stato molto più opportuno usare sempre lo stesso tipo di notazione, inoltre sarebbe stato opportuno trovare un modo per distinguere subito già dalla notazione una funzione da un' unità di misura, un' incognita, una variabile od un parametro.
Nota: a scuola si studiano solo (quasi sempre) funzioni di una variabile, ma in matematica si considerano anche funzioni di più variabili. Ciò sembra in contrasto con la definizione perché si prende separatamente ogni volta un elemento del dominio. Il trucchetto consiste nel considerare un dominio i cui elementi sono coppie (per funzioni di 2 variabili), terne (per funzioni di 3 variabili), quaterne (per funzioni di 4 variabili) e così via (n-uple per funzioni di n variabili).

Possono essere utili anche le seguenti definizioni.
Consideriamo la variabile a e la funzione f. L' elemento f(a) per definizione di f appartiene al codominio. Esso viene chiamato immagine di a tramite f.
L' insieme formato da tutte le immagini di tutti gli elementi del dominio viene chiamato insieme immagine di f. Per definizione, l' insieme immagine è contenuto o al limite può coincidere col codominio.
Una funzione f per la quale l' insieme immagine coincide col codominio viene chiamata funzione suriettiva.
Se una funzione f associa ad elementi diversi elementi diversi, viene chiamata funzione iniettiva. Cioè una funzione è iniettiva se verifica la seguente proprietà: se ab, allora necessariamente f(a)f(b). (La definizione di iniettività di solito si trova scritta nel seguente modo equivalente a quello appena menzionato: se f(a)=f(b), allora a=b.)

Esempi di funzioni:
funzioni trigonometriche
 ctg x
tg x+sen x+3
sen (/2)=1
cos 0=1
tg 0=0
sen 0+cos 0=1
funzioni indicate tramite operazioni
x2+x+6
cos x+2*x-7
(log2x-6*x)/x3
funzione valore assoluto
La funzione valore assoluto associa ad un numero positivo lo stesso numero, ad un numero negativo il suo opposto ("l' equivalente positivo"), allo 0 lo stesso 0. È una di quelle che si denotano in modi molto strani. Per indicare "valore assoluto di a" si scrive |a|.
|3|=3
|-4|=4
|0|=0
|4-6|=2
funzione arrotondamento
La funzione arrotondamento associa ad un suo numero la sua approssimazione, prima di usarla però bisogna mettersi d' accordo a quante cifre decimali si effettua l' arrotondamento. Ricordo come si fa un' approssimazione: prima si taglia dal numero i decimali che non si desidera tenere, poi si guarda che cifra rappresenta il primo decimale tagliato; se è compresa tra 0 e 4, si lascia le altre cifre come stanno; se è compresa tra 6 e 9 evidentemente si aumenta di 1 l' ultima cifra prima del taglio, perché così facendo il numero ottenuto è più vicino a quello originale di quello per il quale abbiamo effettuato soltanto il taglio (ad esempio arrotondando a 2 cifre decimali 2,1372 scriveremo 2,14 perché gli è più vicino di 2,13); se è 5 per convenzione si aumenta di 1 l' ultima cifra prima del taglio (questa convenzione è ragionevole perché normalmente dopo questo 5 ci sono altri decimali, il che rende in questo caso il numero ottenuto un po' più vicino al numero originale rispetto all' altra possibilità). Le stesse regole si applicano per usare il simbolo ~. Non c' è un modo standard di indicare questa funzione, a volte si usa semplicemente il simbolo ~ e la funzione non viene denotata; qui userò round (viene dall' inglese).
Scelgo di arrotondare a 3 cifre decimali.
round =3,142
round (2)=1,414
round (3)=1,732
round (log 2)=0,301
round (1/16)=round 0,0625=0,063
round 6,84511=6,845
round 0,79988=0,800=0,8
round 6,999623=7,000=7
round 6,666666=6,667
round 2,12=2,12
round 4=4
funzione parte intera inferiore
La funzione parte intera inferiore associa ad un numero il numero intero che viene subito prima di esso. Se il numero è già intero, gli associa il numero stesso. È una di quelle che si denotano in modi molto strani. Per indicare "parte intera inferiore di a" si scrive a.
4=4
3,678=3
5,972=5
2,44=2
=3
3=1
log 2=0
-3,567=-4
-7,77=-8
-4,223=-5
funzione parte intera superiore
La funzione parte intera superiore associa ad un numero il numero intero che viene subito dopo di esso. Se il numero è già intero, gli associa il numero stesso. È una di quelle che si denotano in modi molto strani. Per indicare "funzione parte intera superiore di a" si scrive a.
4=4
3,678=4
5,972=6
2,44=3
=4
3=2
log 2=1
-3,567=-3
-7,77=-7
-4,223=-4
Le coppie date da un numero e dalla funzione applicata a quel numero possono essere interpretate come coordinate di un punto nel piano: (x;f(x)). Questi punti rappresentano il grafico della funzione. Ciò ovviamente vale se sia il dominio che il codominio sono l' insieme dei numeri reali, perché essi si possono rappresentare su un solo asse; i numeri complessi invece si possono rappresentare solo su 2 assi e quindi su una superficie. Quindi è possibile costruire un grafico tridimensionale di una funzione che ha dominio nei numeri reali e codominio nei numeri complessi o viceversa; purtroppo nel nostro mondo (che ha 3 dimensioni) non è possibile costruire il grafico di una funzione che ha sia per dominio che per codominio i numeri complessi (tranne nel caso che per uno o per l' altro tra i numeri complessi si utilizzino solo quelli reali o solo quelli immaginari), perché dovrebbe essere quadridimensionale.
 Ecco 2 grafici di funzioni che hanno sia per dominio che per codominio i numeri reali, creati col programma per disegnare grafici contenuto in questo sito alla pagina dei programmi (sull' asse x c' è la quantità variabile, sull' asse y il valore della funzione).
Grafico di 1/x
Grafico di x3+x2-2x-1
Non è sempre necessario un computer per disegnare un grafico. Si può fare anche a mano (con l' aiuto di un righello) in modo approssimato, ma in certi casi abbastanza buono calcolando il valore della funzione per molti valori di x e cercando di collegare i punti ottenuti in modo sensato; per riuscirci bene bisogna però avere delle conoscenze specifiche che sono un capitolo a parte nella matematica; le tecniche più raffinate fanno già parte della matematica superiore (ad esempio l' utilizzo di derivate), quelle meno raffinate invece fanno parte della matematica elementare, ma risultano utili per un minor numero di funzioni e danno risultati inferiori.

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