Perimetri e superfici dei solidi

Per le definizioni delle figure piane e dei solidi guardate la pagina sul calcolo di aree e volumi.

Figure piane

Il perimetro di una figura piana ci dice quanto sono lunghi il suoi bordi, quindi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

Rettangolo

Se chiamiamo la lunghezza di un lato a, l' altra b e il perimetro p, possiamo scrivere
p=a+b+a+b
p=1(a+b)+1(a+b)
p=(1+1)(a+b)
p=2(a+b)
 p=2(a+b)

Quadrato

Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a e il perimetro p, possiamo scrivere
p=a+a+a+a
p=1a+1a+1a+1a
p=(1+1+1+1)a
p=4a
 s=4a

Parallelogrammo

Il perimetro di un parallelogrammo è evidentemente uguale a quello di un rettangolo che ha i lati della stessa lunghezza. Quindi se chiamiamo la lunghezza di un lato a, l' altra b e il perimetro p, possiamo scrivere
p=2(a+b)

Rombo
 Il perimetro di un rombo è evidentemente uguale a quello di un quadrato che ha il lato della stessa lunghezza.

Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a e il perimetro p, possiamo scrivere
s=4a

Triangolo

Se chiamiamo le lunghezze dei lati a, b e c e il perimetro p, possiamo scrivere
p=a+b+c

Trapezio

Se chiamiamo le lunghezze dei lati a, b, c e d e il perimetro p, possiamo scrivere
p=a+b+c+d

Cerchio

Il perimetro del cerchio è chiaramente la lunghezza della circonferenza. Essa è lunga un certo numero di volte il raggio o il diametro. Si osserva che è lunga esattamente volte il diametro. Se chiamiamo la lunghezza del diametro d (r è il raggio) il perimetro p, possiamo scrivere
p=d Siccome d=2r possiamo anche scrivere
p=2r

Corona circolare
 Il perimetro della corona circolare è la somma delle 2 circonferenze che la delimitano.

Se chiamiamo il diametro maggiore D, quello minore d, il raggio maggiore R e quello minore r e il perimetro p, possiamo scrivere
p=d+D
p=(d+D)
p=(2r+2R)
p=(2(r+R))
p=2(r+R)
 p=(d+D) o p=2(r+R)

Solidi
 La superficie di un solido ci dice quanto è grande l' area che lo ricopre, quindi è la somma delle aree delle figure che lo delimitano.

Cuboide

Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono un cuboide.
Quindi se chiamiamo la lunghezza di un lato a, le altre b e c e la superficie S, possiamo scrivere
S=bc+ac+bc+ac+ab+ab
S=1bc+1bc+1ac+1ac+1ab+1ab
S=(1+1)bc+(1+1)ac+(1+1)ab
S=2bc+2ac+2ab
S=2ab+2ac+2bc
S=2(ab+ac+bc)
 S=2(ab+ac+bc)

Cubo

Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono un cubo.
Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a e la superficie S, possiamo scrivere
S=a2+a2+a2+a2+a2+a2
S=1a2+1a2+1a2+1a2+1a2+1a2
S=(1+1+1+1+1+1)a2
S=6a2
 S=6a2

Prisma retto

Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono un prisma. Dobbiamo però considerare un prisma generico e non quello specifico della figura, comunque deve trattarsi di un prisma retto sennò tutto si complica.
Quindi se chiamiamo i lati della superficie di base a1, a2, ..., an, la sua area s e il suo perimetro p, l' altezza h e la superficie S, possiamo scrivere
S=a1h+a2h+...+anh+s+s
S=(a1+a2+...+an)h+1s+1s
S=ph+(1+1)s
S=ph+2s
 S=ph+2s

Piramide retta

Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono una piramide. Dobbiamo però considerare una piramide generica e non quella specifica della figura, comunque deve trattarsi di una piramide retta sennò tutto si complica.

Quindi se chiamiamo i lati della superficie di base a1, a2, ..., an, la sua area s, le altezze dei singoli triangoli h1, h2, ..., hn e la superficie S, possiamo scrivere
S=a1h1/2+a2h2/2+...+anhn/2+s
S=a1h1(1/2)+a2h2(1/2)+...+anhn(1/2)+s
S=(a1h1+a2h2+...+anhn)(1/2)+s
S=(a1h1+a2h2+...+anhn)/2+s
 S=(a1h1+a2h2+...+anhn)/2+s

Sfera

La superficie che ricopre una sfera è chiaramente grande un certo numero di volte il quadrato che ha per lato il raggio. Si osserva che è grande esattamente 4 volte questo quadrato. Se chiamiamo la lunghezza del raggio r e la superficie S, possiamo scrivere
S=r24.


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