廣義量詞系列：量詞的關係性質

1. 引言

在前面幾章，筆者介紹了量詞的多種性質，本章將繼續介紹量詞的其他重要性質。本章討論的量詞將以有限論 域下的「邏輯限定詞」為主，即滿足「右守恆性」、「擴展性」和「同構封閉性」(亦即「數量性」)的「有限 論域限定詞」。此外，為簡化討論，以下一般只考慮「局部限定詞」，即定義在同一論域U下的限定詞。我們把 由「邏輯限定詞」和「有限論域限定詞」組成的集合分別記作LOG和FIN。

由於限定詞可被看成表達兩個集合之間的關係，所以集合論中的各種二元關係也可以被看成限定詞的性質，本 文把這些性質統稱為「關係性質」(Relational Properties)。有關這些性質的討論，主要見於van Benthem的 Questions About Quantifiers、Zwarts的Determiners: A Relational Perspective和 Westerstahl的Some Results on Quantifiers，本章的主旨是綜合和擴充上述論文的成果。

2. 預備知識

2.1 集合與數字形式

在前面幾章，筆者曾指出「邏輯限定詞」的真值條件可以表現為集合函數Q(A)(B)和數字函數Q[x, y]這兩種形 式，其中A和B是Q的「集合論元」，x和y則是Q的「數字論元」，而且這兩類論元存在以下關係：x = |A − B|，y = |A ∩ B|。例如"every"的真值條件便可以表達為

對於「有限論域邏輯限定詞」而言，我們還可以把它們表現為「數字三角形」的形式，即由「+」號和 「−」號組成的三角形，三角形上的位置對應著下圖中的有序對：

請注意學者一般把「數字三角形」上的三個方向分別稱為「對角線」(Diagonal)、「行」(Row)和「列」 (Column)。利用「數字三角形」，我們可以很直觀地表達某些限定詞的真值條件，例如"every"在「數 字三角形」上便表現為，最右一「行」全為「+」號，其他位置全為「−」號。

「邏輯限定詞」的各種性質的定義也可以表現為集合和數字這兩種形式。Westerstahl指出，如果有關定義採取 「純全稱量化」(即除了「全稱量詞」外，不含其他量詞)的形式，那麼有一種機械的方法把該定義從集合形式 轉換為數字形式。假設有關定義的集合形式僅涉及兩個集合變項A和B，那麼我們可以利用x = |A − B|， y = |A ∩ B|，z = |B − A|和u = |U − (A ∪ B)|以及前述「集合論元」與「數字論元」 的關係，把集合形式轉換為數字形式。舉例說，下文將會介紹的「連通性」的集合定義為

根據前述「集合論元」與「數字論元」的關係，以及A = B等價於A ⊆ B ∧ B ⊆ A，上述定義等 價於

把適當的x、y、z、u代入上式，便可得到「連通性」的數字定義(註1)：

如果集合定義涉及三個集合變項，我們便要利用下圖：

舉例說，下文將會介紹的「傳遞性」的集合定義為

利用前述「集合論元」與「數字論元」的關係以及上圖，便可把上式改寫為

2.2 非平凡性與變異性

在「有限論域邏輯限定詞」中，有兩個具有特殊地位，分別是「恆真限定詞」(又稱「全集限定詞」，記作"1") 和「恆假限定詞」(又稱「空集限定詞」，記作"0")，在「數字三角形」上它們分別表現為全部取「+」號和全 部取「−」號。我們把這兩個限定詞的極端性質稱為「平凡性」(Triviality)，以下記作TRIV ，即

設P為某種限定詞性質，一般而言，P可表達為條件句(包括「無條件句」，即沒有前提，只有結論的條件句)， 我們可以把P看成由滿足該種性質的限定詞組成的集合。由於兩個「平凡限定詞」分別具有恆真和恆假的性質， 若P的結論具有Q(A)(B)的形式，必有1 ∈ P；若P的結論具有~Q(A)(B)的形式，則必有0 ∈ P。舉例 說，"1"和"0"便分別屬於以下這兩個自相矛盾的性質：

由此可見，「平凡限定詞」對於限定詞性質的研究沒有多大意義。為此我們引入「非平凡性」 (Non-Triviality)(記作~TRIV)的定義，即Q是「非平凡」的當且僅當

在「數字三角形」上，「非平凡限定詞」表現為：存在至少一個「+」號和至少一個「−」號。我們可以 把「非平凡性」看成對限定詞的一種最低要求，即限定詞不應在任何情況下都只取一個常值而毫無變化。某些 學者把這種要求加以推廣，從而得到「變異性」(Variety)(記作VAR)的概念，其定義為：Q是「變異」 的當且僅當

在「數字三角形」上，「變異限定詞」表現為：除了[0, 0]所在的「對角線」外，在每條「對角線」上，都有 至少一個「+」號和至少一個「−」號。容易看到，「變異性」是比「非平凡性」嚴格得多的要求，由此 我們有

在以下的討論中，我們將會看到「變異性」如何限制限定詞的可能範圍。

3. 各種關係性質的定義

3.1 基本定義

下表列出限定詞的各種「關係性質」的定義(註2)：

請注意上表所列的各種「否」性質／「反」性質並非相關性質的矛盾概念。以「自反性」為例，以下列出其矛 盾概念以及「否自反性」的定義以作比較：

上述兩個定義顯然不是等價的。換句話說，一個限定詞若不是「自反」的，也不一定是「否自反」的，即存在 既非「自反」又非「否自反」的限定詞，例如"some"就是這樣的限定詞，因為一方面若A ≠ Φ， 我們有some(A)(A)；另一方面亦有~some(Φ)(Φ)。

不過，我們可以把「否自反性」看成「自反性」的「外補性質」。「外補性質」的定義如下：設P、P'為限定詞 的某兩種性質，我們說P'是P的「外補性質」當且僅當對任何限定詞Q，均有

此外，我們說P是「自外補性質」當且僅當對任何限定詞Q，均有

根據上表的定義，容易得到以下定理：

以下僅證(vi)以作示範。先證Q ∈ TRANS ⇒ ~Q ∈ AL-CONN，故設Q ∈ TRANS，那麼對所有 A、B、C，有

即~Q ∈ AL-CONN。同理，易證Q ∈ AL-CONN ⇒ ~Q ∈ TRANS。

3.2 六種性質的新定義

表1提供了各種限定詞性質的標準定義。可是，在「有限論域」和「邏輯性」的假設下，這些定義往往可以得到 簡化，或者變得較便於操作，以下定理提供表1中六種性質的新定義(註3)：

請注意上述定理同時提供了集合形式和數字形式，而後者是用2.1小節介紹的方法從前者轉換而來的。因此在證 明上述定理的各部分時，我們可以選擇證明其集合形式或數字形式，視乎哪一種方式較為方便。對於(i)，筆者 選擇證明其集合形式。在以下證明中，我們假設A、B為任意集合。首先設Q ∈ REF，並且A ⊆ B。根 據表1中「自反性」的定義，有Q(A)(A)。由A ⊆ B得A = A ∩ B，故有Q(A)(A ∩ B)。根據「右守 恆性」，有Q(A)(B)。由此證得若Q ∈ REF，則A ⊆ B ⇒ Q(A)(B)。

其次設A ⊆ B ⇒ Q(A)(B)成立，那麼由於A ⊆ A，必有Q(A)(A)，即Q ∈ REF。由此證得若A ⊆ B ⇒ Q(A)(B)，則Q ∈ REF。綜合以上結果，(1)得證。請注意由於I-REF是REF的「外補性質」 (定理1(i))，從(i)可得Q ∈ I-REF當且僅當~Q ∈ REF，當且僅當A ⊆ B ⇒ ~Q(A)(B)，即 Q(A)(B) ⇒ A ~⊆ B，故(ii)得證。

對於(iii)，筆者選擇證明其數字形式，為此須先把表1中「反對稱性」的定義轉換為數字形式，即

首先設Q ∈ AN-SYM，即(5)成立，並設Q[x, y]，由於Q[x, y]等價於Q[x, y] ∧ Q[x, y]，從(5)馬上 推得x = 0，由此證得若Q ∈ AN-SYM，則Q[x, y] ⇒ x = 0。

其次設Q[x, y] ⇒ x = 0，那麼從Q[x, y] ∧ Q[z, y]可馬上推得x = 0 ∧ z = 0，由此證得若 Q[x, y] ⇒ x = 0，則(5)成立，即Q ∈ AN-SYM。綜合以上結果，(iii)得證。請注意由於CONN是 AN-SYM的「外補性質」(定理1(v))，從(iii)可得Q ∈ CONN當且僅當~Q[x, y] ⇒ x = 0，即x ≠ 0 ⇒ Q[x, y]，故(iv)得證。

接著考慮(v)，根據《廣義量詞系列：量詞的代數性質》的「定理12(i)」 ，在「右守恆性」的條件下，SYM等價於INT；而《廣義量詞系列：單調性的進 階研究》的「定理2」已證明了Q ∈ INT當且僅當Q(A)(B) ⇔ Q(A ∩ B)(A ∩ B)。綜合以 上結果，(v)的集合形式得證。

最後考慮(vi)，筆者選擇證明其數字形式，為此須先把「反歐幾里德性」的定義轉換為數字形式，即

首先設Q ∈ AN-EUCLID，即(6)成立。由於(6)對任何非負整數均成立，我們可以把適當的整數代入(6)從而 得到我們需要的結果。把x₂ = x₄ = x₆ = x₇ = 0， x₃ = x和x₁ = y代入(6)，得

同理，把x₃ = x₄ = x₇ = 0，x₂ = x₆ = x， x₁ = y代入(6)，得

綜合以上結果，證得若Q ∈ AN-EUCLID，則Q[x, y] ⇔ Q[0, x + y]。

其次假設Q[x, y] ⇔ Q[0, x + y]成立。設Q[x₃ + x₄, x₁ + x₂]，從上述假設可推得Q[0, x₁ + x₂ + x₃ + x₄]。由此再次根據上述假設，又可推得Q[x₂ + x₄, x₁ + x₃]，即(6)成立。由此證得若Q[x, y] ⇔ Q[0, x + y]，則Q ∈ AN-EUCLID。綜合以上結 果，(vi)得證。

接著我們從「數字三角形」的角度理解上述定理。(i)是說，「自反限定詞」的「數字三角形」上最右一「行」 全為「+」號(此外其他位置亦可能有「+」號)。(ii)是說，「否自反限定詞」的「數字三角形」上最右一「行」 全為「−」號(此外其他位置亦可能有「−」號)。(iii)是說，「反對稱限定詞」的「數字三角形」 上最右一「行」以外各「行」全為「−」號(此外最右一「行」上亦可能有「−」號)。(iv)是說， 「連通限定詞」的「數字三角形」上最右一「行」以外各「行」全為「+」號(此外最右一「行」上亦可能有「+ 」號)。下圖顯示上述四種性質的「數字三角形」特徵：

至於其餘兩點，(v)是說，「對稱限定詞」的「數字三角形」上每「列」要麼全為「+」號，要麼全為「− 」號。(vi)是說，「反歐幾里德限定詞」的「數字三角形」上每條「對角線」要麼全為「+」號，要麼全為「 −」號。請注意此一結果跟《廣義量詞系列：單調性的進階研究》 5.3小節中的圖完全吻合(請記著在本文中，SYM等價於INT)。由此也證明了，本文對「反歐幾里德性」的定義跟 上述網頁的定義等價。下圖顯示上述兩種性質的「數字三角形」特徵：

3.3 傳遞性與近連通性

在眾多「關係性質」中，「傳遞性」和「近連通性」最為特殊，因為它們可以表述為特別的形式，詳見以下定 理：

在上述定理中，S和T可以為空集，S < T代表S中所有元素均小於T中所有元素。請注意在上述定理中，(iv)和 (v)才是我們最終想得到的結果，(i)－(iii)可以被看成(iv)的「引理」。現在讓我們證明上述定理，以下將主 要採用上述定理的數字形式。為此首先把「傳遞性」的定義轉換為數字形式，即

把x₂ = x₆ = 1，x₃ = 0，x₅ = x，x₁ = y， x₄ = x + 1代入(7)，得

從上式可以推得

我們可以重覆運用上式，直至Q的第二論元變成0為止，因此從上式又可推得

(i)至此得證。

接著考慮(ii)，把x₁ = x₂ = x₆ = 0，x₄ = x， x₃ = y，x₅ = x + y代入(7)，得

(ii)乃得證。

接著考慮(iii)，設Q[0, x + y] ∧ Q[v, w] ∧ v ≠ 0 ∧ v + w > x + y。取v' = x，w' = v + w − x，那麼我們有v' ≥ x、w' ≥ y並且v + w = v' + w'。根據(i)，我們可以從Q[v, w]推出 Q[v + w, 0]，即Q[v' + w', 0]。由此根據(ii)，可以推出Q[v', w']。現在如果我們把x₃ = x₄ = 0、x₂ = x，x₁ = y，x₅ = v' − x， x₆ = w' − y代入(7)，便可得到

由於我們在前面假設Q[0, x + y]，並已證明了Q[v', w']，從上式可推出Q[x, y]，至此(iii)乃得證。

接著證明(iv)，首先設Q ∈ TRANS。設S = {x: Q[x, 0]}，T = {y: S < {y} ∧ Q[0, y]}，那麼S中所 有元素都少於T中所有元素。接著讓我們證明S和T具有(iv)中所述的性質，若x + y ∈ S，即Q[x + y, 0] ，那麼根據(ii)，有Q[x, y]；若x = 0 ∧ x + y = y ∈ T，那麼根據T的定義，亦有Q[x, y]。至此證 明了x + y ∈ S ∨ (x = 0 ∧ y ∈ T) ⇒ Q[x, y]。接著設Q[x, y]，這時有兩種可能情 況。第一種情況是x ≠ 0，由此根據(i)，有Q[x + y, 0]，即x + y ∈ S。第二種情況是x = 0，這時又 有兩種子情況，第一種子情況是S < {y}，由此根據T的定義，有x + y = y ∈ T。第二種子情況是S ~< {y}，即存在z ∈ S使得z ≥ y。若z = y，則有y ∈ S，亦即x + y ∈ S；若z > y，則我們有

由此根據(iii)，有Q[y, 0]。根據S的定義，有y ∈ S，亦即x + y ∈ S。至此證明了Q[x, y] ⇒ x + y ∈ S ∨ (x = 0 ∧ x + y ∈ T)。綜合以上情況，我們證明了以上定義的S和T的確具有 (iv)中所述的性質。

其次，我們使用(iv)的集合形式來證明，若存在(iv)中所述的集合S和T，滿足S < T並且

則Q ∈ TRANS。為此，設Q(A)(B) ∧ Q(B)(C)。現在有兩種可能情況，第一種情況是|A| ∈ S，由 此根據上式，有Q(A)(C)。第二種情況是A ⊆ B ∧ |A| ∈ T，由於|A| ≤ |B|，所以|B| ~∈ S，故必有B ⊆ C ∧ |B| ∈ T。由此推得A ⊆ C ∧ |A| ∈ T，即Q(A)(C) 。至此證得Q(A)(B) ∧ Q(B)(C) ⇒ Q(A)(C)，即Q ∈ TRANS。綜合以上情況，(iv)得證。

最後考慮(v)，根據「定理1(vi)」，Q ∈ AL-CONN ⇔ ~Q ∈ TRANS，而根據(iv)，~Q(A)(B)當且 僅當

(v)乃得證。

現在讓我們看(iv)和(v)分別為我們提供甚麼樣的限定詞。首先，把S = {0}，T = {1, 2, ...}代入(iv)和(v) 中的集合條件，所得限定詞分別為

Q和Q'分別是"every"和"(not every)"，容易驗證前者滿足「傳遞性」，後者滿足「近連通性」 。其次，把S = {3}，T = {5, 6, ...}代入(iv)和(v)中的條件，所得限定詞分別為

上述兩個限定詞似乎可以用自然語言分別表達為"(some or none of 3; or all of 5 or more)"和 "(some or none of 0 or 1 or 2 or 4; or not all of 5 or more)"。一般地，任意「傳遞限定詞」 均可表達為

其中s₁, ... s_m ∈ S，t₁, ... t_n∈ T，並且S < T。類似地，任意「近連通限定詞」均可表達為

其中s₁, ... s_m ∈ ~(S ∪ T)，t₁, ... t_n ∈ T，並且S < T (註4)。

從「數字三角形」的角度看，根據(iv)，「傳遞限定詞」的「數字三角形」分為上下兩部分，上半部的每條「 對角線」要麼全是「+」號，要麼全是「−」號；而下半部的每條「對角線」要麼全是「−」號，要 麼只有最右的位置取「+」號。類似地，「近連通限定詞」的「數字三角形」也分為上下兩部分，上半部的每條 「對角線」要麼全是「+」號，要麼全是「−」號；而下半部的每條「對角線」要麼全是「+」號，要麼只 有最右的位置取「−」號。下圖顯示「傳遞限定詞」和「近連通限定詞」的「數字三角形」特徵：

4. 與關係性質有關的定理

4.1 某些性質之間的包含關係

利用上述定義和結果，我們可以推導出與「關係性質」有關的一系列定理。為方便以下某些定理的證明，我們 首先引入以下定理：

定理4：在LOG ∩ FIN下，若Q(A)(B)，則存在集合A'使得Q(A)(A') ∧ Q(A')(A)。

為證明上述定理，我們首先設Q(A)(B)。根據「右守恆性」，有Q(A)(A ∩ B)。接著我們選擇集合A'使得|A| = |A'|並且A ∩ B = A ∩ A'，如下圖所示(請注意由於Q具有「擴展性」，必要時我們可以擴大論域U， 從而必能得到所需的A')：

上圖中的x和y代表所在子集的基數。根據A'的定義，我們有Q(A)(A ∩ A')。從而根據「右守恆性」，有 Q(A)(A')。由於|A ∩ A'| = |A' ∩ A| = y並且|A − A'| = |A' − A| = x，根據「邏 輯性」，我們可以從Q(A)(A')推出Q(A')(A)。

以下定理表達某些「關係性質」之間的包含關係：

以下證明上述定理。(i)和(ii)的前半部可以從表1的集合定義直接推得。設Q ∈ REF，那麼對任何B都有 Q(B)(B)。而W-REF的定義比REF的定義弱，因此如果有Q(A)(B)，自然便有Q(B)(B)，即Q ∈ W-REF，故有 REF ⊆ W-REF。同理，根據I-REF的定義以及W-UNI定義的逆否命題，容易證得I-REF ⊆ W-UNI。

(i)和(ii)的後半部可以從數字三角形的角度推得。根據表1，W-REF、Q-REF、W-UNI和Q-UNI的數字定義分別為

從「數字三角形」去理解，(8)的意思是，「弱自反限定詞」的「數字三角形」上某位置[x, y]若取「+」號， 則最右一「行」的[0, y]及其右下全部位置都取「+」號。(9)的意思是，「準自反限定詞」的「數字三角形」 上某位置[x, y]若取「+」號，則[x, y]所在的「對角線」上最右面的位置也取「+」號。(10)的意思是，「弱 全集限定詞」的「數字三角形」最右一「行」上某位置[0, w]若取「+」號，則[0, w]所在的整「列」以及其左 上方的所有「列」都取「+」號(此外其他「行」上的某些位置亦可能取「+」號)。(11)的意思是，「準全集限 定詞」的「數字三角形」最右一「行」某位置[0, w]若取「+」號，那麼[0, w]所在的整條「對角線」都取「+」 號(此外其他「行」上的某些位置亦可能取「+」號)。下圖顯示上述四種性質的「數字三角形」特徵：

按照上述理解，容易看到(8) ⇒ (9)並且(10) ⇒ (11)，由此證得W-REF ⊆ Q-REF和W-UNI ⊆ Q-UNI。綜合以上結果，(i)和(ii)得證。

接著考慮(iii)。首先設Q ∈ AN-SYM，並設Q(A)(B) ∧ Q(B)(C)，那麼根據「定理2(iii)」，有A ⊆ B ∧ B ⊆ C。由此得A ⊆ C。另外，根據「右守恆性」，我們可以從Q(A)(B)推得Q(A)(A ∩ B)，由此得Q(A)(A)(因為A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A)，並由此得Q(A)(A ∩ C)(因為A ⊆ C ⇔ A ∩ C = A)。最後，根據「右守恆性」，可以推得Q(A)(C)。至此證得(Q(A)(B) ∧ Q(B)(C)) ⇒ Q(A)(C)，即Q ∈ TRANS。

其次設Q ∈ TRANS，並設Q(A)(B)。根據「定理4」，存在集合A'使得Q(A)(A') ∧ Q(A')(A)。根據「傳 遞性」，我們可以從Q(A)(A')和Q(A')(A)推出Q(A)(A)。至此證明了Q(A)(B) ⇒ Q(A)(A)，即Q ∈ Q-REF。綜合以上結果，(iii)得證。

接著考慮(iv)。首先設Q ∈ CONN，那麼根據「定理1(v)」，~Q ∈ AN-SYM。由此根據(iii)，有~Q ∈ TRANS。再根據「定理1(vi)」，Q ∈ AL-CONN。利用類似方法，亦可證得Q ∈ AL-CONN ⇒ Q ∈ Q-UNI，(iv)乃得證。

最後，(v)可以從表1的集合定義直接推得，設Q ∈ SYM，那麼對任何A、B都有Q(A)(B) ⇒ Q(B)(A)。 而W-SYM的定義比SYM的定義弱，因此如有Q(A)(B) ∧ Q(B)(C)，就自然有Q(B)(A)，即Q ∈ W-SYM，由 此證得(v)。

4.2 一些否定性結果

利用前述的定義和定理，我們還可以推導出一些否定性結果。首先，表1所列的某些性質在LOG ∩ FIN − TRIV的條件下並無實例，請看以下定理：

為證明(i)，首先寫出S-LIN的數字定義如下：

設有Q ∈ S-LIN，並設x、y為任意非負整數，把x代入z，上式便等價於Q[x, y]，即對任意非負整數Q[x, y]均成立，但這違反「非平凡性」，所以S-LIN = Φ。從(i)可以馬上證得(ii)，這是因為如果有Q ∈ A-SYM，那麼根據「定理1(iv)」，必有~Q ∈ S-LIN，但這與(i)矛盾，所以A-SYM = Φ。

接著證明(iii)，首先寫出EUCLID的數字定義如下：

把x₂ = x₃ = x₅ = 0，x₄ = x，x₁ = y， x₆ = z代入(13)，得

把x₂ = x₃ = x₄ = x₆ = 0，x₁ = x₅ = u代入(13)，得

把x₁ = x₄ = x₅ = x₆ = 0，x₂ = x₃ = u代入(13)，得

接著把y = z = 0，x = u代入(14)，得

最後把x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = 0，x₅ = v， x₆ = w代入(13)，得

可是，根據(14)，如果Q[x, y]，那麼可以推出Q[0, u]，其中u ≥ y。由此根據(15)－(17)，可以推出Q[0, 0]。最後根據(18)，可以推出Q[v, w]。由於x、y、v、w為任意非負整數，這即是說，Q的「數字三角形」要麼 全為「+」號，要麼全為「−」號，這違反「非平凡性」，所以不可能有Q ∈ EUCLID，(iii)得證。

最後使用CIRC的集合定義證明(iv)，為此設有Q ∈ CIRC，並設Q(A)(B) ∧ Q(A)(C)。根據「定理4」， 存在集合A'使得Q(A)(A') ∧ Q(A')(A)。根據「循環性」，我們可以從Q(A)(A')和Q(A')(A)推出Q(A)(A)。 由此根據「循環性」和Q(A)(C)推得Q(C)(A)。由此再根據「循環性」和Q(A)(B)推得Q(B)(C)。至此證明了 (Q(A)(B) ∧ Q(A)(C)) ⇒ Q(B)(C)，即Q ∈ EUCLID。但根據(iii)，EUCLID = Φ，所以不可 能有Q ∈ CIRC，(iv)乃得證。

除了上述四種性質表現為空集外，某些性質的交集也表現為空集，請看以下定理：

以下證明上述定理。首先考慮(i)，設有Q ∈ REF ∩ AL-CONN。根據「定理5(iv)」，Q ∈ Q-UNI 。根據REF的定義，對任何A都有Q(A)(A)。由此根據Q-UNI的定義，對任何A、B，都有Q(A)(B)，違反「非平凡性 」，由此可知不存在Q ∈ REF ∩ AL-CONN，(i)乃得證。從(i)容易推出(ii)，這是因為如果有Q ∈ I-REF ∩ TRANS，那麼根據「定理1(i)和(vi)」，必有~Q ∈ REF ∩ AL-CONN，但這與(i) 矛盾，(ii)乃得證。

利用(i)、(ii)以及「定理5(iv)和(iii)」，容易證得(iii)及(iv)。但我們可以從另一角度去證明，方法是證 明根據有關性質的集合定義，

首先證明(19)，設Q ∈ S-LIN，那麼根據表1，容易看到Q ∈ CONN。此外，只要把A代入S-LIN定義中 的B，便可得到Q(A)(A)，即Q ∈ REF，由此證得S-LIN ⊆ REF ∩ CONN。其次設Q ∈ REF ∩ CONN，我們考慮兩種情況。若A = B，那麼根據REF的定義，必有Q(A)(A)，即Q(A)(B) ∨ Q(B)(A)。若 A ≠ B，那麼根據CONN的定義，必有Q(A)(B) ∨ Q(B)(A)，因此Q ∈ S-LIN。綜合以上結果，(19)乃 得證。

(20)可以證明如下：

證明了(19)和(20)後，根據「定理6(i)和(ii)」，(iii)和(iv)得證。

接著我們從「數字三角形」的角度證明(v)，設有Q ∈ W-REF ∩ CONN。根據3.2小節對CONN的「數字 三角形」的描述，Q的「數字三角形」上最右一「行」以外的各「行」全為「+」號。另外，根據4.1小節對W-REF 的「數字三角形」的描述，Q的「數字三角形」上某位置[x, y]若取「+」號，則最右一「行」的[0, y]及其右 下全部位置都取「+」號。結合前面的討論，必有整個「數字三角形」都是「+」號，違反「非平凡性」，由此可 知不存在Q ∈ W-REF ∩ CONN，(v)乃得證。從(v)以及「定理1(iii)和(v)」，容易推得(vi)。

接著考慮(vii)，設有Q ∈ SYM ∩ TRANS，根據TRANS和SYM的集合定義，容易推得(Q(A)(B) ∧ Q(B)(C)) ⇒ Q(C)(A)，即Q ∈ CIRC，但這與「定理6(iv)」矛盾，所以不存在Q ∈ SYM ∩ TRANS，(vii)乃得證。從(vii)以及「定理1(vi)和(vii)」，容易推得(viii)。

接著我們從「數字三角形」的角度證明(ix)，設有Q ∈ SYM ∩ REF。根據「定理2(i)」，Q的「數字三 角形」上所有[0, y]位置都取「+」號。由此根據「定理2(v)」，所有[x, y]位置都取「+」號，違反「非平凡 性」，由此可知不存在Q ∈ SYM ∩ REF，(ix)乃得證。從(ix)以及「定理1(i)和(vii)」，容易推得 (x)。

(xi)可以根據REF和I-REF的集合定義直接推得，由於REF和I-REF的集合定義不可能同真，所以不可能有Q ∈ REF ∩ I-REF。

最後，設有Q ∈ AN-SYM ∩ CONN，那麼根據「定理2(iv)和(iii)」，可以推出x ≠ 0 ⇒ x = 0，此一矛盾說明不存在Q ∈ AN-SYM ∩ CONN，(xii)乃得證。

以上的定理都假設限定詞具有「非平凡性」，現在如果把「非平凡性」改為更嚴格的「變異性」，我們將有更 多否定性結果，以下僅提供兩個簡單的結果：

我們從「數字三角形」的角度證明上述定理。首先考慮(i)，設有Q ∈ AN-EUCLID。根據3.2小節對 AN-EUCLID的「數字三角形」的描述，Q的「數字三角形」的每條「對角線」要麼全為「+」號，要麼全為「 −」號，但這與「變異限定詞」的「數字三角形」特徵相悖，(i)乃得證。

其次考慮(ii)，設有Q ∈ Q-REF ∩ Q-UNI。根據Q-REF和Q-UNI的數字定義(9)和(11)，我們有 Q[x, y] ⇔ Q[0, x + y]。但根據「定理2(vi)」，這正是AN-EUCLID的數字定義，即在LOG ∩ FIN − TRIV下，

由此從(i)可馬上推出(ii)。

4.3 某些限定詞的特徵性質

某些限定詞可以被表述為某些關係性質的交集，請看以下定理(在以下各點中，n為非負整數)：

首先證明(i)和(ii)，設Q ∈ REF ∩ AN-SYM，根據「定理2(i)和(iii)」，Q(A)(B) ⇔ x = 0，即 Q的「數字三角形」上最右一「行」全為「+」號，其他位置全為「−」號，但這正是"every"的「 數字三角形」，(i)乃得證。根據「定理1(i)和(v)」以及~every = (not every)，我們可以從 (i)直接推出(ii)。

接著證明(iii)和(iv)，根據3.2和3.3小節對REF和TRANS的「數字三角形」的描述，Q ∈ REF ∩ TRANS 當且僅當其「數字三角形」分為上下兩部分，上半部的每條「對角線」全是「+」號，而下半部的每條「對角線 」只有最右的位置取「+」號，即S = {0, ... n}，T = {n + 1, ...}。具有上述特徵的Q就是"(some or none of n or fewer; or all of n + 1 or more)"。由於任何非負整數n均可滿足上述條件且不違反「非 平凡性」，(iii)乃得證。

根據「定理1(i)和(vi)」，Q ∈ I-REF ∩ AL-CONN當且僅當~Q ∈ REF ∩ TRANS，當且僅當Q 的「數字三角形」分為上下兩部分，上半部的每條「對角線」全是「−」號，而下半部的每條「對角線」 只有最右的位置取「−」號，即S = {0, ... n − 1}，T = {n, ...}。由於~(S ∪ T) = Φ ，具有上述特徵的Q就是"(not all of n or more)"。由於任何非負整數n均可滿足上述條件且不違反「 非平凡性」，(iv)乃得證。

接著證明(v)和(vi)，根據3.2和4.1小節對SYM和W-REF的「數字三角形」的描述，Q ∈ W-REF ∩ SYM且 不違反「非平凡性」，當且僅當其「數字三角形」有一條從右上到左下的「分界線」，在該「分界線」左上方 各「列」均取「−」號，右下方各「列」均取「+」號。具有上述特徵的Q就是"some"或"(at least n)" (其中n ≥ 2)，(v)乃得證。根據「定理1(iii)和(vii)」以及~some = no和 ~(at least n) = (at most n − 1)，我們可以從(v)直接推得(vi)。

為證明(vii)和(viii)，我們首先推導W-SYM的一個只涉及數字變項x、y、z、w的數字定義。根據表1，W-SYM的 集合定義涉及Q(A)(B)、Q(B)(C)和Q(B)(A)，其中Q(A)(B)和Q(B)(A)可分別表達為Q[x, y]和Q[z, y]。此外，由 於|B| = |B − A| + |B ∩ A| = |B − C| + |B ∩ C|，如果我們把|B ∩ C|寫成w，便 可以把Q(B)(C)表達為Q[y + z − w, w]。由此可得W-SYM的數字定義如下：Q ∈ W-SYM當且僅當對任 意非負整數x、y、z以及w ≤ y + z，均有

根據上式，Q ∈ W-SYM當且僅當其「數字三角形」上若有兩點取「+」號，只要該兩點不在同一「列」或同 一條「對角線」上，那麼其中一點所在「列」以及另一點所在「對角線」的交點也取「+」號(如果該交點在「 數字三角形」上的話)。下圖顯示W-REF的「數字三角形」特徵：

接著證明(vii)，根據3.2小節以及上面對AN-SYM和W-SYM的「數字三角形」的描述，Q ∈ W-SYM ∩ AN-SYM且不違反「非平凡性」，當且僅當其「數字三角形」的最右一「行」上剛好有一點取「+」號，而「數字 三角形」的其餘部分則全為「−」號。具有上述特徵的Q就是(all of n)" (其中n ≥ 0)， (vii)乃得證。

最後證明(viii)，根據3.2小節以及上面對CONN和W-SYM的「數字三角形」的描述，Q ∈ W-SYM ∩ CONN且不違反「非平凡性」，當且僅當其「數字三角形」只有唯一一個位置[0, 0]取「−」號。具有上述 特徵的Q就是"(some or none of 1 or more)"。

請注意如果我們把上述定理中的~TRIV改為VAR，(i)和(ii)不受影響，這是因為"every"和"(not every)"符合VAR的定義。其餘各點中的限定詞則大幅減少，為證明這一點，我們首先引入以下定理：

我們從「數字三角形」的角度證明(i)，由於根據「定理5(iii)」，AN-SYM ⊆ TRANS，所以我們只需證明 TRANS ⊆ AN-SYM。設Q ∈ TRANS，根據3.3小節對TRANS的「數字三角形」的描述，如果S不等於Φ 和{0}，那麼Q的「數字三角形」上除了[0, 0]外，還有某些「對角線」全為「+」號，違反「變異性」，因此必 有S等於Φ或{0}，即Q的「數字三角形」只有最右一「行」有「+」號，但這正是AN-SYM的「數字三角形」特 徵，由此證得TRANS ⊆ AN-SYM，(i)乃得證。

接著證明(ii)，由於根據「定理5(iv)」，CONN ⊆ AL-CONN，所以我們只需證明AL-CONN ⊆ CONN。設 Q ∈ AL-CONN，那麼根據「定理1(vi)」，~Q ∈ TRANS。根據(i)，~Q ∈ AN-SYM。再根據「定理 1(v)」，Q ∈ CONN。由此證得AL-CONN ⊆ CONN，(ii)乃得證。

接著我們有以下定理：

本定理可從「定理9」推得。首先(i)可以從「定理9(i)」和「定理10(i)」直接推得。同理，(ii)也可以從「定 理9(ii)」和「定理10(ii)」直接推得。

其次考慮(iii)，設Q ∈ W-REF ∩ SYM。在「定理9(v)」的結果中，若Q = (at least n)(其中 n ≥ 2)，那麼Q的「數字三角形」的靠左面n「列」全為「−」號，這亦意味著首n條「對角線」全為「 −」號，違反「變異性」，因此Q只能是"some"，(iii)乃得證。根據「定理1(iii)和(vii)」以及 ~some = no，(iv)亦得證。

接著考慮(v)，設有Q ∈ W-SYM ∩ AN-SYM。根據「定理9(vii)」，Q的「數字三角形」只有最右一「行 」上某個位置取「+」號，其餘的位置全為「−」號。但這顯然違反「變異性」，因此不存在這樣的Q， (v)乃得證。

最後，根據「定理9(viii)」，Q ∈ W-SYM ∩ CONN當且僅當Q = (some or none of 1 or more)，但這個限定詞顯然違反「變異性」，(vi)乃得證。

現把以上提到的各個定理總結成下圖：

請注意為簡化上圖，上圖以LOG ∩ FIN ∩ VAR作為論域。上圖並不包括S-LIN、A-SYM、EUCLID、CIRC和 AN-EUCLID，這是因為這五種性質在上述論域下等於空集。此外，從上圖還可以容易推導出上文沒有提出的結果 ，例如在LOG ∩ FIN ∩ VAR下，TRANS ∩ CONN = Φ，W-REF ∩ W-UNI = Φ等等。

4.4 與單調性的關係

本文介紹的某些「關係性質」與「單調性」存在一定關係。事實上，根據「定理9」、「定理11」以及相關限定 詞的「單調性」，我們容易推導出某些結果，例如由於"some"以及"(at least n)"是「左、右 遞增」的，我們可以從「定理9(v)」得出以下結論：在LOG ∩ FIN − TRIV下，W-REF ∩ SYM ⊆ ↑MON↑。可是，這樣得來的結果似乎沒有多大意義。為此，我們放寬對限定詞的限制，看看 在這種情況下「關係性質」與「單調性」存在甚麼關係。事實上，我們有以下定理：

以下證明(i)，設Q ∈ REF ∩ TRANS，並設Q(A)(B)和A' ⊆ A。根據「自反性」，必有Q(A')(A') 。由於A' ⊆ A，這等價於Q(A')(A' ∩ A)。由此根據「右守恆性」，有Q(A')(A)。根據「傳遞性」， 可以從Q(A')(A)和Q(A)(B)推得Q(A')(B)。至些證得Q ∈ ↓MON。

其次設Q(A)(B)和B ⊆ B'。根據「自反性」，必有Q(B)(B)。由於B ⊆ B'，這等價於Q(B)(B ∩ B')。由此根據「右守恆性」，有Q(B)(B')。根據「傳遞性」，可以從Q(A)(B)和Q(B)(B')推得Q(A)(B')。至些 證得Q ∈ MON↑。綜合以上結果，(i)乃得證。

至於(ii)，根據「定理1(i)和(vi)」，Q ∈ I-REF ∩ AL-CONN當且僅當~Q ∈ REF ∩ TRANS。根據(i)，我們有~Q ∈ ↓MON↑，由此得Q ∈ ↑MON↓，(ii)乃得證。

「對稱性」與「單調性」有一種特殊的聯繫，詳見以下定理：

以下只證明(i)，(ii)的證明大同小異。設Q ∈ ↑MON，並設Q(A)(B)和B ⊆ B'。根據「對稱性」 ，我們有Q(B)(A)。由此根據「左遞增性」，有Q(B')(A)。由此再根據「對稱性」，有Q(A)(B')。至此證明了Q ∈ ↑MON ⇒ Q ∈ MON↑。類似地，我們亦可證明Q ∈ MON↑ ⇒ Q ∈ ↑MON。綜合以上結果，(i)乃得證。

現在如果假設Q ∈ CONS_r ∩ SYM，我們將可得到以下結果：

以下證明(i)，首先設Q ∈ Q-REF，並設Q(A)(B)和B ⊆ B'。由於如前所述，在CONS_r下， SYM等價於INT，而A ∩ B = (A ∩ B') ∩ (A ∩ B)，我們可以從Q(A)(B)推出Q(A ∩ B')(A ∩ B) (註5)。由此根據Q-REF的定義，有Q(A ∩ B')(A ∩ B')。由此再根據「定理2(v)」， 有Q(A)(B')。至此證得Q ∈ MON↑。根據「定理13(i)」，亦有Q ∈ ↑MON。由此證得Q-REF ⊆ ↑MON↑。

其次設Q ∈ ↑MON↑，並設Q(A)(B)。根據「右守恆性」，有Q(A)(A ∩ B)。由於A ∩ B ⊆ A，由此根據「右遞增性」，有Q(A)(A)。至此證得Q ∈ Q-REF，即↑MON↑ ⊆ Q-REF 。綜合以上結果，(i)乃得證。

(ii)可以證明如下：

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