廣義量詞系列：單調性的進階研究

1. 引言

筆者在《廣義量詞系列：單調性推理原理》和 《廣義量詞系列：單調性推理的擴展》中詳細介紹了量詞的「單調性推理」 。「單調性」在當代形式語言學中是備受關注的課題，可用來解釋多種語言現象，例如筆者在 《日常語言中的梯級推理》一文中便指出，日常語言中常見的「梯級推理」 在本質上便是一種「單調性推理」。

除了前述各篇文章所介紹的「單調性推理」外，「單調性」本身還有很豐富的內容。本文主旨就是介紹當代學 者總結出與「單調性」有關的理論，本文還會介紹「單調性」在當代語言學上的一個重要應用－對自然語言中 各種「極性敏感詞」的語義學解釋。

為簡化討論，本文將集中介紹與「<1,1>型量詞」(即「限定詞」)有關的「單調性」課題。「單調性」是量詞關 於其各個論元的性質，由於限定詞有左、右兩個論元，所以每個限定詞各有左、右兩種「單調性」，即每個限 定詞關於其左／右論元可以是遞增、遞減或非單調的，例如"(more than 10%)"便是「左非單調、右遞 增」的，我們把此一結果標記為

有關「左／右遞增」、「左／右遞減」和「左／右非單調」的定義以及限定詞「單調性」的標記法，請參閱 《廣義量詞系列：單調性推理原理》，茲不贅。

2. 局部單調性

筆者在《廣義量詞系列：單調性推理原理》一文中指出，並非所有限定詞 關於其左、右兩個論元都是遞增／遞減的。Glockner在Fuzzy Quantifiers: A Computational Theory 一書中提出「局部單調性」(Local Monotonicity)的概念，擴大了「遞增／遞減性」的適用性(註1) 。「局部單調性」的要旨是找出左、右論元的變異範圍，使得左、右論元在這個範圍內滿足「遞增／遞減性」 。具體地說，設Q為論域U上的限定詞，X₁、Y₁、X₂、Y₂為集 合使得X₁ ⊆ X₂並且Y₁ ⊆ Y₂。現設A、A'、B、B' 為集合，那麼Q是在「局部範圍」((X₁, Y₁), (X₂, Y₂))內 「局部遞增」(Locally Increasing)的當且僅當

Q是在「局部範圍」((X₁, Y₁), (X₂, Y₂))內「局部遞減」 (Locally Decreasing)的當且僅當

在以上定義中，X₁、Y₁、X₂、Y₂分別是「局部範圍」的「左 論元下限」、「右論元下限」、「左論元上限」、「右論元上限」。請注意在確定「局部範圍」時，左、右論 元的上、下限往往互相依存，所以在以上定義中，我們難以區分限定詞Q是關於哪一論元「局部遞增／遞減」， 而只能從整體上說Q是「局部遞增／遞減」的。

舉例說，如前所述，"(more than 10%)"是「左非單調、右遞增」的。可是根據Glockner，這個限定詞 在((X, Y), (X ∪ Y, Y))內是「局部遞增」，而在((X, Y), (X ∪ ~Y, Y))內則是「局部遞減」的。以 下首先證明上述「局部遞增範圍」。為方便證明，以下把X和Y寫成不相交集合的并，即

若X ⊆ A ⊆ A' ⊆ X ∪ Y並且Y ⊆ B ⊆ B' ⊆ Y，那麼A、A'、B和B'也可寫 成不相交集合的并：

其中C ⊆ C' ⊆ (Y − X)。根據"(more than 10%)"的真值條件，

容易看到，以上兩個分數的分子之差剛好等於它們的分母之差，即|C' − C|，根據簡單的算術知識，可 知(4)中的分數必定不小於(3)中的分數(註2)。由此可推得，若(3)成立，則(4)必成立，即Q(A)(B) ⇒ Q(A')(B')。

其次證明上述「局部遞減範圍」。同樣，以下把X和~Y寫成不相交集合的并，即

若X ⊆ A' ⊆ A ⊆ X ∪ ~Y並且Y ⊆ B' ⊆ B ⊆ Y，那麼A、A'、B和B'也可寫 成不相交集合的并：

其中D' ⊆ D ⊆ (U − X − Y)。根據"(more than 10%)"的真值條件，

以上兩個分數的分子相同，而(5)中的分母不小於(6)中的分母，因此(6)中的分數必定不小於(5)中的分數。由 此可推得，若(5)成立，則(6)必成立，即Q(A)(B) ⇒ Q(A')(B')。有了「局部單調性」的概念，我們便可 以為每個「非單調限定詞」找出其「局部遞增範圍」及「局部遞減範圍」，這方面的工作還有待展開。

3. 連續性

「連續性」(Continuity)是對「單調性」概念的另一種擴展，其定義如下：設Q為限定詞，A、A'、 A''、B、B'、B''為集合，則Q是「左連續」(Left Continuous)的當且僅當

Q是「右連續」(Right Continuous)的當且僅當

以下把由「左連續限定詞」和「右連續限定詞」組成的集合分別記作CONT_l和CONT_r。 根據上述定義，所有「左(右)遞增／遞減」限定詞都是「左(右)連續」的。此外，某些限定詞雖然在某個論元 上是「非單調」的，但在該論元上卻可以是「連續」的。舉例說，"(exactly n)"雖然是「左、右非單 調」的，但卻是「左、右連續」的，以下是一些推理實例：

「連續性」與「單調性」的關係還體現在以下定理中：

以下證明上述定理，我們僅考慮「左連續性」和「左單調性」的情況。首先，設Q = Q₁ ∧ Q₂，其中Q₁ ∈ ↑MON ∧ Q₂ ∈ ↓MON，我們證明 Q ∈ CONT_l。為此，設A ⊆ A' ⊆ A''，並且Q(A)(B) ∧ Q(A'')(B)。利用Q = Q₁ ∧ Q₂，我們可以把上式改寫為Q₁(A)(B) ∧ Q₂(A)(B) ∧ Q₁(A'')(B) ∧ Q₂(A'')(B)。由於Q₁ ∈ ↑MON ∧ Q₂ ∈ ↓MON，我們有Q₁(A')(B) ∧ Q₂(A')(B)，即Q(A')(B)，至此證得Q ∈ CONT_l。

其次，設Q ∈ CONT_l，我們可以定義以下兩個限定詞：

以下先來證明Q₁ ∈ ↑MON ∧ Q₂ ∈ ↓MON。設A ⊆ A'並 且Q₁(A)(B)，那麼根據(9)，∃C (C ⊆ A ∧ Q(C)(B))。由於A ⊆ A'，我們有 ∃C (C ⊆ A' ∧ Q(C)(B))。根據(9)，有Q₁(A')(B)，由此證得Q₁ ∈ ↑MON。利用類似的方法，亦可證得Q₂ ∈ ↓MON。

最後證明Q = Q₁ ∧ Q₂，即對任何A、B，Q(A)(B) ⇔ Q₁(A)(B) ∧ Q₂(A)(B)。設Q(A)(B)，那麼只要把C和D都設定為A，我們便有∃C (C ⊆ A ∧ Q(C)(B)) ∧ ∃D (A ⊆ D ∧ Q(D)(B))，根據(9)和(10)，由此證得Q(A)(B) ⇒ Q₁(A)(B) ∧ Q₂(A)(B)。其次設Q₁(A)(B) ∧ Q₂(A)(B)，那麼根據(9)和(10)，∃C (C ⊆ A ∧ Q(C)(B)) ∧ ∃D (A ⊆ D ∧ Q(D)(B))，此即∃C, D (C ⊆ A ⊆ D ∧ Q(C)(B) ∧ Q(D)(B))。由於Q ∈ CONT_l，得Q(A)(B)，由此證得Q₁(A)(B) ∧ Q₂(A)(B) ⇒ Q(A)(B)。

「定理1」告訴我們，即使某限定詞Q是「非單調」的，只要它是「連續」的，我們總能把它寫成一個「遞增」 限定詞和一個「遞減」限定詞的合取，(9)和(10)提供這兩個限定詞的公式，由此可見單調限定詞在自然語言中 的重要性。舉例說，"(exactly n)"是「左、右非單調」的，現在我們把它寫成Q₁ ∧ Q₂。根據(9)和(10)，我們有

容易看到，以上兩個限定詞實際分別等同於"(at least n)"和"(at most n)"，而這兩個限定詞 正分別是「左、右遞增」和「左、右遞減」的。由此我們有

上述結果符合我們的直觀。當然有一些限定詞具有「左非連續性」(Left Discontinuity)(記作 ~CONT_l)或「右非連續性」(Right Discontinuity)(記作~CONT_r)，例如 "(an even number of)"、"(more than n or fewer than m)"等便是「左、右非連續」的。此 外，"most"也是「左非連續」的，設A = {1}，A' = {1, 2}，A'' = {1, 2, 3}，B = {1, 3}，那麼容 易驗證「most(A)(B)」和「most(A'')(B)」成立，但「most(A')(B)」卻不成立。

4. 數字函數與數字三角形

筆者在《廣義量詞系列：量詞的普遍性質與操作》中介紹了「邏輯限定詞」 的「數字函數」形式，這種函數具有Q[x, y]的形式，並且與「邏輯限定詞」的「集合函數」形式Q(A)(B)存在 以下關係：

上式的理據是「邏輯限定詞」的真值條件只依賴於|A − B|和|A ∩ B|這兩個數值。由於存在上述對 應關係，我們可以把「邏輯限定詞」的「單調性」定義寫成「數字函數」的形式。我們首先考慮較簡單的「右 單調性」的情況。設Q為「邏輯限定詞」，x、y為非負整數，那麼Q是「右遞增」的當且僅當

Q是「右遞減」的當且僅當

以上兩式的理據是，「右單調性」的要旨為在A保持不變的條件下擴大或縮小B。由於|A| = |A − B| + |A ∩ B|，如要讓A保持不變，我們必須使「數字函數」的兩個論元之和保持不變。如要在此條件下擴大(縮 小) B，便必須使Q的第二論元增加(減小)為y'，並同時保持x + y = x' + y'。

從以上兩式，容易得到「右連續性」的定義，即Q是「右連續」的當且僅當

「左單調性」的情況則大為不同。儘管「左單調性」的要旨為在B保持不變的條件下擴大或縮小A，但由於Q的「 數字函數」形式並不包含|B − A|的信息，我們無法像(13)和(14)那樣用x和y來表達「B保持不變」這個 條件。不過，我們仍然有以下定義：Q是「左遞增」的當且僅當

Q是「左遞減」的當且僅當

以下證明Q ∈ ↑MON的「數字函數」定義(即(16))與通常的「集合函數」定義等價(Q ∈ ↓MON的證明大同小異)。首先設(16)成立，並設Q(A)(B)和A ⊆ A'，那麼根據(12)，有Q[|A − B|, |A ∩ B|]。從A ⊆ A'可以推出|A − B| ≤ |A' − B| ∧ |A ∩ B| ≤ |A' ∩ B|。由此根據(16)，有Q[|A' − B|, |A' ∩ B|]。根據(12)，此即Q(A')(B)，由此證得在 「集合函數」定義下，Q ∈ ↑MON。

其次設在「集合函數」定義下，Q ∈ ↑MON，並設Q[x, y]和x ≤ x' ∧ y ≤ y'，那麼根據 (11)，存在A、B使得|A − B| = x，|A ∩ B| = y，並且Q(A)(B)。接著我們選取A'使得A ⊆ A' 並且|A' − B| = x'，|A' ∩ B| = y' (請注意根據「擴展性」，我們可以任意擴大論域，從而保證 必能選取所需的A')。由於Q ∈ ↑MON，必有Q(A')(B)。根據(12)，此即Q[x', y']，由此證得(16)成 立。

從(16)和(17)，容易得到「左連續性」的定義，即Q是「左連續」的當且僅當

筆者在上述網頁亦介紹了「數字三角形」的概念，指出可以用這種圖形來表示各種「有限論域邏輯限定詞」的 真值條件以及量詞的各種普遍性質，上述結論當然也適用於「單調性」。「數字三角形」就是由「+」號和 「−」號組成的三角形，三角形上的位置代表數字有序對[x, y]，以下是這些有序對在三角形上的分佈情 況：

「數字三角形」上對應著有序對[x, y]的位置如有「+」號或「−」號，代表Q[x, y]為真或假。利用「數 字三角形」，我們便可以形象地表達「單調性」和「連續性」。為方便表達在「數字三角形」上移動的方向， 以下沿用Peters and Westerstahl在Quantifiers in language and logic一書中的做法，把「數字三 角形」看作平面地圖，並把豎直向上的方向作為北方。首先，在「數字三角形」中，每一橫行代表某一固定的x + y值，而在同一橫行上向東(西)移動代表在維持x + y不變的情況下減少(增加) x值並同時增加(減少) y值。 由此根據(13)－(15)，「右遞增(遞減)性」在「數字三角形」上表現為，假如某一位置有「+」號，那麼與該位 置處於同一橫行並在該位置東邊(西邊)的所有其他位置都應有「+」號；而「右連續性」則表現為，假如某一橫 行上的兩個位置有「+」號，那麼夾於該兩個位置之間的所有其他位置都應有「+」號。

以下給出滿足「右遞增性」、「右遞減性」和「右連續性」的「數字三角形」的例子：

除了橫行外，「數字三角形」還包含著兩種平行的斜行：東北-西南走向的斜行(例如由[0, 1]、[1, 1]、[2, 1]組成的斜行)和西北-東南走向的斜行(例如由[1, 0]、[1, 1]、[1, 2]組成的斜行)。容易看到，從「數字三 角形」上某一位置出發，若沿著所在斜行朝西南(東北)方向移動，數字有序對的第二數值保持不變，而第一數 值則遞增(遞減)；若沿著所在斜行朝東南(西北)方向移動，則數字有序對的第一數值保持不變，而第二數值則 遞增(遞減)。

此外，如在「數字三角形」上任取兩個位置[x, y]和[x'', y'']使得x ≤ x'' ∧ y ≤ y''，那麼所有 滿足x ≤ x' ≤ x'' ∧ y ≤ y' ≤ y''的[x', y']組成一個平行四邊形，這個平行四邊形以上述 兩個位置為端點，並以該兩個位置所在斜行為邊。例如如果選取[0, 1]和[1, 2]這兩個位置，那麼由[0, 1]、 [1, 1]、[0, 2]、[1, 2]組成的平行四邊形便包含著所有[x', y']使得0 ≤ x' ≤ 1 ∧ 1 ≤ y' ≤ 2。

由此根據(16)－(18)，「左遞增(遞減)性」在「數字三角形」上表現為，假如某一位置有「+」號，那麼與該位 置處於同一斜行並在該位置西南方(東北方)或東南方(西北方)的所有其他位置都應有「+」號；而「左連續性」 則表現為，假如某兩個位置[x, y]和[x'', y'']有「+」號，而且該兩個位置滿足x ≤ x'' ∧ y ≤ y''，那麼上述平行四邊形內的所有其他位置都應有「+」號。

以下給出滿足「左遞增性」、「左遞減性」和「左連續性」的「數字三角形」的例子：

現把上述各種性質在「數字三角形」上的反映總結為下圖：

5. 基本單調性

5.1 六種基本單調性

上節的圖顯示，代表「左遞增／遞減性」的圖形各由兩個箭頭組成，這告訴我們「左遞增／遞減性」可以分解 為更基本的概念。正是基於此一觀察，Peters and Westerstahl提出六種「基本單調性」，分別代表 上圖中六個不同方向的箭頭。在這六種「基本單調性」中，兩種屬於「右單調性」，此即「右遞增性」和「右 遞減性」。如前所述，這兩種「右單調性」較為簡單，可以分別用東向和西向的箭頭代表，所以它們本身便屬 於「基本單調性」。

其餘四種「基本單調性」則屬於「左單調性」，可分別用東南、西南、西北和東北方向的箭頭代表，前兩種為 「左遞增性」，後兩種為「左遞減性」。以下列出這四種「基本單調性」的「數字函數」和「集合函數」定義 。設Q為限定詞，x、x'、y、y'為非負整數，A、A'、B為集合，則Q是「東南方向遞增」(記作 ↑_SEMON)的當且僅當

或者

Q是「西南方向遞增」(記作↑_SWMON)的當且僅當

或者

Q是「西北方向遞減」(記作↓_NWMON)的當 且僅當

或者

Q是「東北方向遞減」(記作↓_NEMON)的當且僅當

或者

下圖顯示上述四種「基本單調性」：

請注意上述四種「基本單調性」之間存在微妙的關係。舉例說，設Q ∈ ↑_SEMON，即Q滿 足(20)。我們可以把(20)改寫為

上述條件等價於

根據(22)，我們有Q~_r ∈ ↑_SWMON，由此證得Q ∈ ↑_SEMON ⇒ Q~_r ∈ ↑_SWMON。同理亦易證Q ∈ ↑_SWMON ⇒ Q~_r ∈ ↑_SWMON，由此可知 ↑_SEMON與↑_SWMON互為「右補性質」。根據相似的推理，亦可證明 ↓_NWMON則與↓_NEMON互為「右補性質」。

5.2 基本單調性的複合

我們可以把上述六種「基本單調性」兩兩加以組合，從而得到各種複合性質。如前所述，傳統的兩種「左單調 性」便可以看成「基本單調性」的複合，即

請注意上式顯示，傳統的兩種「左單調限定詞」是相關的「基本單調限定詞」的子集。事實上，根據上一小節 的定義，所有「左遞增限定詞」都同時滿足(20)和(22)，而所有「左遞減限定詞」都同時滿足(24)和(26)。

限定詞的「左、右單調性」也可看成兩種「基本單調性」的複合。以↑MON↑為例，這個「單調性」似 乎是三種「基本單調性」複合的結果，即↑_SEMON ∩ ↑_SWMON ∩ MON↑。可是在上式中，↑_SEMON是多餘的，這是因為

證明如下：設Q ∈ ↑_SWMON ∩ MON↑、x = x' ∧ y ≤ y'，並且Q[x, y] 。取x'' = x + (y' − y)和y'' = y，那麼根據(21)，有Q[x'', y'']。由於y'' ≤ y'並且x'' + y'' = x' + y'，根據(13)，我們有Q[x', y']。由此根據(19)，證得Q ∈ ↑_SEMON。

請注意上述證明其實利用了以下原理，如要向東南方某位置移動，可以先向西南方移動至與該位置同一緯度上 的位置，然後朝正東方移動至該位置。由此我們可以把全部四種「左、右單調性」都看成兩種「基本單調性」 的複合：

現把上述結果總結成下圖：

「基本單調性」的以下四種複合在自然語言中似乎難以找到對應概念：↓_NEMON ∩ MON↑、↑_SWMON ∩ MON↓、↑_SEMON ∩ MON↑、 ↓_NWMON ∩ MON↓。不過，如果我們定義以下限定詞(在以下定義中，n為自然數，q為 小於1的分數)：

那麼我們有

現證明(33)和(35)如下，(34)和(36)的證明大同小異。先證(33)，容易看到Q₁ ∈ MON↑ ，所以以下只證Q₁ ∈ ↓_NEMON。設Q₁(A)(B)以及A' ⊆ A ∧ A ∩ B = A' ∩ B，那麼根據Q₁的真值條件，我們有|A| ≤ n ∧ |A ∩ B| / |A| ≥ q。根據設定條件，我們亦有|A'| ≤ |A| ∧ |A ∩ B| = |A' ∩ B|，由此得|A'| ≤ |A| ≤ n ∧ |A' ∩ B| / |A'| ≥ |A ∩ B| / |A| ≥ q，因此Q₁(A')(B) 。根據(26)，證得Q₁ ∈ ↓_NEMON。

其次證(35)，容易看到Q₃ ∈ MON↑，所以以下只證Q₃ ∈ ↑_SEMON。設Q₃(A)(B)以及A ⊆ A' ∧ A − B = A' − B，那 麼根據Q₃的真值條件，我們有|A| ≥ n ∧ |A − B| / |A| ≤ q。根據設定條件， 我們亦有|A| ≤ |A'| ∧ |A − B| = |A' − B|，由此得|A'| ≥ |A| ≥ n ∧ |A' − B| / |A'| ≤ |A − B| / |A| ≤ q，因此Q₃(A')(B)。根據(20)，證得 Q₃ ∈ ↑_SEMON。

可是，上述Q₁－Q₄是否對應著自然語言中的任何限定詞？根據Peters and Westerstahl，Q₁在自然語言中可以用"(at least q of n or fewer)"來表達(註3)。類似 地，我們也可以用"(at most q of n or more)"來表達Q₂。至於Q₃和 Q₄，根據以下關係：|A − B| / |A| ≤ q ⇔ |A ∩ B| / |A| ≥ 1 − q ，我們可以把它們分別表達為"(at least 1 − q of n or more)"和"(at most 1 − q of n or fewer)"。

最後，請注意(33)－(36)只提供了上述四種複合的一些特例，並未概括出這四種複合的本質屬性。現把(33)－ (36)總結成下圖：

5.3 反歐幾里德性、相交性與光滑性

把六種「基本單調性」兩兩組合，共有15種可能性，在上一小節，我們已討論了其中10種可能組合((27)－ (36))；在本小節，我們將研究其餘5種組合，這5種組合各對應著一種特殊的限定詞性質。首先考慮MON↑ ∩ MON↓，這類限定詞在「數字三角形」上表現為，如果某位置有「+」號，那麼處於該位置所在橫行 並在該位置東邊和西邊的所有其他位置都有「+」號。換句話說，對於每個橫行而言，要麼整行都是「+」號， 要麼整行都是「−」號。這類限定詞的真值條件只依賴於|A|，在文獻上這種性質稱為「反歐幾里德 性」(Antieuclidity)(註4)，即Q是「反歐幾里德」的當且僅當

以下把由「反歐幾里德限定詞」組成的集合記作AN-EUCLID。根據上述討論，我們有

容易看到，兩個「平凡限定詞」1(A)(B) ⇔ A = A和0(A)(B) ⇔ A ≠ A都是「反歐幾里德」的，由 此可見，「反歐幾里德性」是「平凡性」概念的推廣。在自然語言中，"(some or none of n)"和 "(some or none of n or more)"似乎就是「反歐幾里德限定詞」的例子，因為我們可以把這兩個限定 詞的真值條件定為

筆者在《廣義量詞系列：量詞的代數性質》中介紹了「相交性」 (記作INT)和「右補相交性」(記作RC-INT)，這兩種性質表面上看跟「單調性」沒有甚麼關連，但其 實都可看成兩種「基本單調性」的複合，即

以上兩個等式顯示，若Q ∈ INT，則Q的「數字三角形」每條東北-西南走向的斜行要麼全為「+」號，要麼 全為「−」號。同理，若Q ∈ RC-INT，則Q的「數字三角形」每條西北-東南走向的斜行要麼全為「+ 」號，要麼全為「−」號。由此我們有以下結果：Q是「相交」的當且僅當

Q是「右補相交」的當且僅當

為證明(38)和(39)，我們要使用以下兩個定理：

現證明「定理2」。首先設(i)成立，並取C = D = A ∩ B，那麼A ∩ B = C ∩ D，由此必有Q(A)(B) ⇔ Q(C)(D) = Q(A ∩ B)(A ∩ B)，即(ii)成立。其次設(ii)成立以及A ∩ B = C ∩ D，那 麼必有Q(A)(B) ⇔ Q(A ∩ B)(A ∩ B) = Q(C ∩ D)(C ∩ D) ⇔ Q(C)(D)，即(i)成立 。

接著證明「定理3」。首先設(i)成立，並取C = A − B，D = ~(A − B)，那麼A − B = C − D，由此必有Q(A)(B) ⇔ Q(C)(D) = Q(A − B)(~(A − B))，即(ii)成立。其次設 (ii)成立以及A − B = C − D，那麼必有Q(A)(B) ⇔ Q(A − B)(~(A − B)) = Q(C − D)(~(C − D)) ⇔ Q(C)(D)，即(i)成立。

借助「定理2」，我們可以證明(38)。首先設Q ∈ INT，並設Q(A)(B)和A ⊆ A' ∧ A ∩ B = A' ∩ B，那麼根據「定理2(i)」，有Q(A')(B)。由此根據(22)，證得Q ∈ ↑_SWMON。 現在再設Q(A)(B)和A' ⊆ A ∧ A ∩ B = A' ∩ B，那麼根據「定理2(i)」，有Q(A')(B)。由此 根據(26)，證得Q ∈ ↓_NEMON。綜合以上結果，我們有INT ⊆ ↑_SWMON ∩ ↓_NEMON。

其次設Q ∈ ↑_SWMON ∩ ↓_NEMON，我們要證明「定理2(ii)」成立。 為此，設Q(A)(B)。由於A ∩ B ⊆ A並且A ∩ B = (A ∩ B) ∩ B，根據(26)，有Q(A ∩ B)(B)。根據「右守恆性」(註5)，有Q(A ∩ B)(A ∩ B)。由此證得Q(A)(B) ⇒ Q(A ∩ B)(A ∩ B)。現在再設Q(A ∩ B)(A ∩ B)。由於A ∩ B ⊆ A並且(A ∩ B) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (A ∩ B)，根據(22)，有Q(A)(A ∩ B)。再根據「右守恆性」，有Q(A)(B)。由此證得 Q(A ∩ B)(A ∩ B) ⇒ Q(A)(B)。至此我們證明了「定理2(ii)」成立，由此得 ↑_SWMON ∩ ↓_NEMON ⊆ INT。綜合以上結果，(38)得證。

借助「定理3」，我們可以證明(39)。首先設Q ∈ RC-INT，並設Q(A)(B)和A ⊆ A' ∧ A − B = A' − B，那麼根據「定理3(i)」，有Q(A')(B)。由此根據(20)，證得Q ∈ ↑_SEMON。現在再設Q(A)(B)和A' ⊆ A ∧ A − B = A' − B，那麼根據「 定理3(i)」，有Q(A')(B)。由此根據(24)，證得Q ∈ ↓_NWMON。綜合以上結果，我們有 INT ⊆ ↑_SEMON ∩ ↓_NWMON。

其次設Q ∈ ↑_SEMON ∩ ↓_NWMON，我們要證明「定理3(ii)」成立。 為此，設Q(A)(B)。由於A − B ⊆ A並且A − B = (A − B) − B，根據(24)，有 Q(A − B)(B)。根據「右守恆性」，有Q(A − B)(~(A − B))。由此證得Q(A)(B) ⇒ Q(A − B)(~(A − B))。現在再設Q(A − B)(~(A − B))。由於A − B ⊆ A 並且(A − B) − ~(A − B) = A − ~(A − B)，根據(20)，有Q(A)(~(A − B))。再根據「右守恆性」，有Q(A)(B)。由此證得Q(A − B)(~(A − B)) ⇒ Q(A)(B)。至此我 們證明了「定理3(ii)」成立，由此得↑_SEMON ∩ ↓_NWMON ⊆ RC-INT。綜合以上結果，(39)得證。

由「基本單調性」複合而成的最後兩種性質是「光滑性」(Smoothness)(記作SMO)和「右補光滑 性」(Right-Complemented Smoothness)(記作RC-SMO)，其定義如下：

容易看到「右補光滑性」的確是「光滑性」的「右補」性質，這是因為構成「右補光滑性」的兩種「基本單調 性」正好分別是構成「光滑性」的某種「基本單調性」的「右補」性質。

自然語言中有哪些量詞屬於SMO或RC-SMO？筆者在5.2小節證明了Q₁和Q₃分別屬於 ↓_NEMON和↑_SEMON。如果略去這兩個量詞真值條件中有關|A|的部分，那麼這 兩個量詞分別相等於"(at least q)"和"(at least 1 − q)"。由於q和1 − q是任 意分數，所以我們得到(at least q) ∈ SMO。請注意"(at least q)"是「左非單調」的， 但卻具有兩種「左基本單調性」，由此可見「基本單調性」是對傳統「單調性」概念的另一種推廣。

根據上述結果以及(20)和(26)，我們有以下兩個推理實例：

請注意在上面第一個推理中，我們是以一個否定概念來定義B (即「不參加女子體操隊的個體」)，從而 使A − B和A' − B變成肯定概念，(即分別等於「參加女子體操隊的女生」和「參加女子體操隊的 學生」。這樣做的原因是在日常語言中，難以找到否定概念A − B和A' − B使A − B = A' − B成立。

同理，我們亦可推得(at most q) ∈ RC-SMO (註6)。根據上述結果以及(22)和(24)，我們有以下 兩個推理實例：

「光滑性」和「右補光滑性」與「右單調性」存在特殊的關係，我們可以從這兩種性質分別推出「右遞增性」 和「右遞減性」，即

直觀地說，上述結果反映了如下事實：如要朝東(西)方移動，可以先向東北(西北)方移動一段適當距離，然後 向東南(西南)方移動同一個距離。現把本小節介紹的五種性質總結成下圖：

6. 單調性與布爾運算

6.1 加乘性質

「單調性」與三種「布爾運算」(即集合論上的「并」、「交」、「補」和邏輯學上的「析取」、「合取」、「 否定」)存在微妙的關係，本小節首先討論與「并／析取」和「交／合取」有關的某些限定詞性質，這些性質統 稱為「加乘性質」(註7)。為簡化討論，以下筆者集中討論「右論元」的情況，惟請注意，以下介紹 的內容都可推廣至「左論元」。首先看以下定理：

以下僅證明「定理5」(「定理4」的證明大同小異)。首先證(i) ⇒ (ii)，設(i)成立並且Q(A)(B ∪ B')。由於B ∪ B'是B和B'的母集，根據(i)，必有Q(A)(B) ∧ Q(A)(B')。其次證(ii) ⇒ (iii)， 設(ii)成立並且Q(A)(B) ∨ Q(A)(B')。由於B = B ∪ (B ∩ B')，根據(ii)，我們可以從Q(A)(B)推 得Q(A)(B) ∧ Q(A)(B ∩ B')，由此又可推得Q(A)(B ∩ B')。同樣，由於B' = B' ∪ (B ∩ B')，我們也可以從Q(A)(B')推得Q(A)(B ∩ B')。綜合以上兩個推理，得到(ii) ⇒ (iii)成立。最後 用反證法來證明(iii) ⇒ (i)，設(iii)成立並且Q(A)(B)和B' ⊆ B，但~Q(A)(B')。當B' ⊆ B時 ，B' = B ∩ B'。而(iii)的逆否定命題為~Q(A)(B ∩ B') ⇒ ~(Q(A)(B) ∨ Q(A)(B'))，由此可 推得~Q(A)(B) ∧ ~Q(A)(B')，但這與Q(A)(B)矛盾，至此定理得證。

為方便以下討論，首先定義下表所示的各種「基本加乘性質」(在以下定義中，Q為限定詞，A、B、B' 為集合)：

從上表的定義以及「定理4」和「定理5」，我們有

由此可見，在上述八種「基本加乘性質」中，其中四種其實等價於「右遞增／遞減性」。現在我們把這四種「 基本加乘性質」跟其餘四種結合，從而得到四種「加乘性質」。下表列出這四種「加乘性質」的定義：

從上表的定義可見，各種「加乘性質」其實就是相應的「次加乘性質」和「超加乘性質」的結合，即

比較(44)－(47)與(42)、(43)，我們也可看到「右可加／可乘限定詞」都是「右遞增」，而「右反加／反乘限 定詞」都是「右遞減」的，因此各種「加乘性質」其實都是「單調性」的次類。

根據限定詞的真值條件，我們可以確定自然語言中具有上述四種「加乘性質」的限定詞的例子，例如

其中"some"的「右可加性」可證明如下：首先設some(A)(B ∪ B')，由此我們有

上面最後一行告訴我們some(A)(B) ∨ some(A)(B')，至此證明了"some"是「右可加」 的。

以下是上述結果的推理實例：

請注意並非所有「右遞增(遞減)限定詞」都具有「右可加／可乘(反加／反乘)性」，舉例說，「右遞減限定詞」 "(at most n)"便既非「右反加」亦非「右反乘」，這可以從以下兩個無效推理得到證實：

上面第一個無效推理的反例是，論域中共有四名學生A、B、C、D，其中只有A和B唱歌，並且只有C和D跳舞。在 此情況下，左邊的語句是假的，但右邊的語句卻是真的。第二個無效推理的反例則是，論域中共有四名學生A、 B、C、D，其中只有A、B、C唱歌，並且只有B、C、D跳舞。在此情況下，左邊的語句是真的，但右邊的語句卻是 假的。上述例子顯示，A-ADD_r和A-MULT_r是MON↓的真子集。同理，我們也不難找 到例子顯示ADD_r和MULT_r是MON↑的真子集。

6.2 同態性與反態性

在本小節，筆者首先介紹下表所示三種與「補／否定」有關的性質(在以下定義中，Q為限定詞，A、B為集合) (註8)：

從上述定義可見，「右自對偶性」其實是「右協調性」與「右完備性」的結合，即

「右自對偶性」跟上一小節介紹的四種「加乘性質」存在以下關係：

以下只證「定理7(ii)」，其餘各式的證明大同小異。設Q ∈ A-MULT_r ∩ SD_r ，那麼

由此證得Q ∈ A-ADD_r。

把「右自對偶性」與各種「加乘性質」結合，便可定義下表所示的性質：

根據上表的定義和「定理6」，一個「右同態」限定詞Q具有「右可加性」、「右可乘性」和「右自對偶性」這 三種性質，即Q可把其第二論元上的「并」、「交」、「補」運算轉化為整個量化句的「析取」、「合取」、「 否定」運算，這就是「右同態」一名的由來(註9)。類似地，根據上表和「定理7」，一個「右反態」限定詞Q具 有「右反加性」、「右反乘性」和「右自對偶性」這三種性質，即Q可把其第二論元上的「并」、「交」、「補 」運算轉化為整個量化句的「合取」、「析取」、「否定」運算，這就是「右反態」一名的由來。

自然語言中是否存在「右同態」或「右反態」限定詞？答案是表示個體的限定詞"the (one)" (其後須 為單數名詞)是「右同態」的，這可以從以下推理實例中得到驗證：

如果我們把考慮的範圍擴大至「<−,1>型量詞」，那麼我們將發現單數專有名詞"John"等也是「 同態」量詞(註10)。

至於「(右)反態」量詞，則情況較為複雜。從邏輯上說，上述「(右)同態」量詞的否定都具有「(右)反態性」 。可是，自然語言似乎沒有"(not the (one))"這樣的否定限定詞。至於"(not John)"這樣的否 定專有名詞，其在日常語言中的使用似乎很受限制，儘管Zwarts在Three Types of Polarity一文中曾 舉出以下推理實例以驗證"not + 專有名詞"的「右反乘性」：

筆者在《廣義量詞系列：量詞的普遍性質與操作》中曾指出，我們可以把 二元「命題聯結詞」 "if" 、 "and" 、 "or" 、"without"等處理成「真值限 定詞」，例如"without"的真值條件是

把這些「命題聯結詞」看成限定詞，我們便可以研究它們的各種「加乘性質」。舉例說，我們有

如果我們把考慮的範圍擴大至一元「命題聯結詞」"not"，那麼我們將發現這個「命題聯結詞」具有「 反態性」，證明如下：首先設not(p ∨ q)，轉換為命題邏輯中的通常形式就是~(p ∨ q)。根據「 德.摩根律」，這等價於~p ∧ ~q，亦即not(p) ∧ not(q)，由此證得"not"具有 「反加性」。其次設not(~p)，轉換為命題邏輯中的通常形式就是~(~p)，但這又可以轉換為 ~(not(p))，由此證得"not"具有「自對偶性」。

現把本節介紹的各種性質與「右單調性」和「右連續性」的關係總結成下圖：

7 極性敏感詞

7.1 從否定語境到否定層級

在本節，筆者將介紹「單調性」在「極性敏感詞」(Polarity Sensitive Item)上的應用。在語法學 上，「極性」(Polarity)是「肯定」和「否定」的統稱。以往的語法學家認為，自然語言中某些詞項的合法性 取決於句子的「極性」，故把這類詞項統稱為「極性敏感詞」。「極性敏感詞」可分為兩類，「負極性詞」 (Negative Polarity Item)只能出現於「否定語境」中，例如英語的"any"就是如此，試比較以下兩句：

反之，「正極性詞」(Positive Polarity Item)則被「否定」語境排斥，例如英語的"already"就是 如此，試比較以下兩句：

可是，後來有一些語言學家(例如Ladusaw)指出，「極性敏感詞」的合法性並非完全取決於「否定語境」，例如 下句雖然沒有否定詞，但"any"在下句中卻是合法的：

Ladusaw提出「極性敏感詞」的合法性乃取決於比「否定語境」範圍更廣的「遞減語境」。事實上，上述兩個包 含"any"的句子的共同點是兩者的"any"都處於「遞減語境」中，即否定詞"not"和「右遞減限定詞」"at most three"為"any"提供了所需的「遞減語境」。

後來，有一些語言學家(例如Zwarts、van der Wouden等)進一步發現，「遞減語境」仍然不足以解釋「極性敏 感詞」的語法表現，這是因為每一個「極性敏感詞」在不同的「遞減語境」下可能有不同的語法表現。因此， 他們主張把「遞減語境」區分為三個「否定層級」，分別對應著三類性質。第一個層級稱為「經典否定」 (Classical Negation)，對應著「反態性」，造成此一層級的詞項是典型的否定詞"not"。第二個 層級稱為「正規否定」(Regular Negation)，對應著「反加性」，造成此一層級的典型詞項是限定詞 "no"。第三個層級稱為「極小否定」(Minimal Negation)，對應著「遞減性」，造成此一層 級的典型詞項是限定詞"(at most n)" (註12)。

從上述分級可見，「經典否定」就是傳統的否定概念，其餘兩個層級則是對傳統否定概念的推廣。從「否定性」 (Negativity)的角度來看，「經典否定」的「否定性」最強，「極小否定」的「否定性」最弱，「正規否定」 則介乎兩者之間。

7.2 極性敏感詞的分類

van der Wouden在Negative contexts: collocation, polarity and multiple negation一書中提出把 「極性敏感詞」分為「強」(Strong)、「中」(Medium)、「弱」(Weak)三個類別，這三個類別在上述三種「否 定層級」中各有不同的語法表現。下表是van der Wouden總結出來的結果(下表亦列出各類「極性敏感詞」的例 子以及造成各種「否定層級」的典型限定詞／命題聯結詞)：

上表中的「+」和「−」分別代表「合法」和「不合法」。上表顯示，只有「弱負極性詞」才可同時出現 於三種「否定層級」中，並且只有「強正極性詞」才同時被三種「否定層級」排斥，其餘各類「極性敏感詞」 的語法表現則介乎這兩個極端之間。以下提供上述六類「極性敏感詞」在各種「否定層級」中的例句，這些「 否定層級」都處於右論元中。在以下例句中，藍色粗體詞代表造成「否定層級」的詞項，紅色詞 則代表「極性敏感詞」。首先看「負極性詞」，全部例句都來自英語。

「強負極性詞」：

「中負極性詞」：

「弱負極性詞」：

其次看「正極性詞」，由於英語在這方面的表現不太典型，以下採用荷蘭語的例子：

「強正極性詞」：

「中正極性詞」：

「弱正極性詞」：

除了上述六類「極性敏感詞」外，van der Wouden其實還討論了少數兼有「正極性詞」和「負極性詞」特點的 「二極性詞」(Bipolar Item)以及只能出現於「反乘性」語境的詞項。由此可見，表5並未概括自然語言中的所 有「極性敏感詞」，這一課題還有待學者繼續深入研究。

7.3 左論元性質

在前面，筆者一直集中討論右論元上的「加乘性質」、「同態／反態性」以及「極性敏感」現象，但上述概念 和結果其實都可推廣至左論元。在本小節筆者無意重新介紹各種概念和結果，只想討論兩個較為特別的限定詞 －"every"和"without"。根據前面的討論，"every"和"without"都具有「右可 乘性」，所以「負極性詞」不能出現於它們的右論元位置。但若從左論元的角度考慮，則情況會大為不同。容 易證明，"every"和"without"都具有「左反加性」，其中"without"的「左反加性」可 證明如下：設without(p ∨ p')(q)，由此我們有

上面最後一行告訴我們without(p)(q) ∧ without(p')(q)，至此證明了"without" 是「左反加」的。

由此可知，"every"和"without"都可以在其左論元上造成「正規否定」語境，因此根據表5，其 左論元應容許「中負極性詞」、「弱負極性詞」和「弱正極性詞」並且排斥「強負極性詞」、「強正極性詞」 和「中正極性詞」。以下提供這兩個詞項與某些荷蘭語「正極性詞」共用的例句。首先看"every"的例 句：

請注意上面各句都使用「關係分句」的形式把包含「正極性詞」的成分嵌入到左論元(即主語)中。其次看 "without"的例句：

請注意由於"zonder"是一個介詞，它通常都出現於句中而非句首，所以其右論元常常被置於其前。換句話說， 我們要把上面各句的表層形式"q zonder p"理解成"without(p)(q)"。

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