在這道題中，筆者會應用數學證明中常常用到的兩種技巧。第一種技巧是著名的「反證法」(Proof by Contradiction)，其原理是這樣的，假設你要證明一條命題(在數學中稱一個事實為一條「命題」Proposition 或Statement)。你首先假設該命題的否定命題，然後基於這個假設繼續進行推理。如果在推理過程中產生矛盾 ，那麼由於數學是不容許存在矛盾的，你便可斷定造成矛盾的必定是最初假設的那個否定命題，這即是說那個 否定命題是錯的，從而間接證明了原來的命題是正確的。

第二種技巧是，有時在推理過程中，我們會碰到超過一種可能成立的情況(Case)。這時候我們便要羅列所有可 能的情況，逐一考察，看看哪些情況真的能成立。如果只有一個情況成立，則有唯一的解答(Unique Solution )。如果有超過一個情況成立，則解答存在但並不唯一。如果所有情況均不成立，則沒有解答。

現在先讓我們研究一下謎題的(a)部分。為方便讀者參考，以下重複顯示本題的附圖。

先看看4號的情況。根據4號的回答，我們可以推知站在他前面的3個人中，至少有一個戴著紅帽子。讓我們把 這句子稱為命題1：

現用「反證法」證明命題1如下：首先假設命題1的否定(相反)命題，即假設在1號、2號、3號之中，沒有一個 戴著紅帽子。基於這項假設，我們可以得出，1號、2號、3號所戴帽子的顏色必然為兩頂黃色和一頂藍色。但 是假如情況真是這樣，那麼當4號看見這情況，他應該能推出他自己所戴的帽子是紅色的(因為在6頂帽子中， 除了兩頂黃色和一頂藍色外，其他帽子都是紅色的)，因此他應該答「知道」。可是他答「不知道」，由此我 們得出一個矛盾，這個矛盾必然是來自最初假設的那個否定命題，因此那個否定命題是錯的，從而命題1是正 確的。

上述筆者用了較多筆墨寫這個證明，目的是讓那些不熟悉「反證法」的讀者了解這種證明方法的真諦。希望這 些讀者能仔細了解，以下的證明將不會那麼詳細。

接著我們考慮3號的情況。同樣，根據3號的回答，我們可以得出以下命題：

同樣，我們用「反證法」證明如下：首先假設在1號和2號之中，沒有一個戴著紅帽子。那麼根據剛才證完的命 題1，3號應能得知自己戴的帽子必定是紅色，即3號應該答「知道」，但實際上他答「不知道」，由此命題2得 證。

接著考慮2號的情況。根據2號的回答，我們可以得出以下命題(亦即(a)的答案)：

同樣命題3可以用「反證法」證明。假設1號戴的不是紅帽子，那麼根據命題2，2號應能推出他自己戴的帽子是 紅色的。可是2號的答案是「不知道」，此一矛盾使命題3得證。

經過上述討論後，(b)部分變得容易解答了。同樣，先從4號開始，只有一個情況能令4號肯定地回答「知道」 ，就是他前面3個人的帽子顏色是兩頂黃色和一頂藍色，由此他可以肯定自己戴的是紅帽子。我們試將這結論 記為：

接著考慮3號。有兩種情況能讓3號肯定自己帽子的顏色，這兩種情況是：

由於這兩種情況均可能成立，我們便要分別考察這種兩情況，先考察情況1。在此情況下，2號看見1號戴著黃 色的帽子，可是他卻無法據此斷定自己的帽子一定是黃色。因為當他聽到3號說「知道」時，他應推斷有上述 兩種可能情況。如果是情況1，則他的帽子是黃色；如果是情況2，則他的帽子是藍色。既然2號無法斷定自己 帽子的顏色，他便不可能答「知道」，所以情況1不成立。

接著考察情況2。這裡又有兩個可能情況：2號看見1號戴著黃帽，或者2號看見1號戴著藍帽。上段已討論過， 當2號看見1號戴黃帽時，他不能斷定自己帽子的顏色。因此現在只剩下最後一個可能：2號看見1號戴著藍帽。 在此情況下，基於命題4，2號必能斷定自己的帽子是黃色的。最後，當1號聽到2號答「知道」時，他也必能斷 定自己的帽子是藍色的。

綜合以上討論，我們可以得知(b)部分只有一個答案，就是1號戴藍帽，2號戴黃帽，3號戴黃帽，4號戴紅帽。

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