首先讓我們從直觀去試解這道題，然後嘗試總結一些規律出來。驟看這道題，我們很容易便想到在1至100這些
數字中，以0或5結尾的數字都會令最後結果增添0。由於在1至100中，共有20個數字是以5或0結尾(10、20...
100；5、15...95)，我們可能會想1 x 2 x ...100的結尾應該有20個0。但是，且慢，100這個數不只給我們一
個0，所以答案不只20。而且，不好，25 x 4 = 100，所以25這個數字也給我們兩個0。情況好像很複雜，還有
遺漏嗎？
來到這裡，我們便得嘗試總結一些規律出來，看看為何100和25給我們增添兩個0，而15這個數則只給我們增添
一個0，而其餘某些數(例如3)則不會為我們增添0。其實，為甚麼5、10這些數會令結果增添0？原因很簡單，就
是這些數字含有5這個因子，而只要把5乘以一個偶數便可得到一個以0結尾的整數。不過，100和25這兩個數不
僅含有一個5作為因子，而是含有兩個5，這兩個5只要各自乘以一個偶數便可得到兩個以0結尾的整數(換句話說
，只要把100和25各乘以一個4的倍數便可得到以00結尾的整數)。這就是為何100和25會給我們增添兩個0。可是
，在1至100之間，不僅100和25含有兩個5作為因子，還有50和75這兩個數字也是這樣。因此，我們可以總結說
，在1至100之間，25、50、75和100這4個數字每個都會為我們增添2個0，而其餘16個以0或5結尾的數字則每個
只為我們增添1個0。因此，1 x 2 x ... 100的結尾應該共有4 x 2 + 16 = 24個0。
說到這裡，有些人可能會指出，20 x 5也等於100，那麼20豈不是也給我們增添兩個0嗎？以上的計算好像還有
遺漏啊。但請注意，5和20都是以0或5結尾的數字，因此我們在本文第一段點算1至100中以5或0結尾的數字時，
已把這兩個數包括在內了。這兩個數合在一起剛好為我們增添兩個0，所以本文第一段的點算沒有遺漏。這跟25
不同，25要與4一起才增添兩個0，而4並不是以5或0結尾的數字。在本文第一段點算1至100中以5或0結尾的數字
時，我們並沒有把4包括在內，所以我們在數25時，要把它數兩次，而在數20時，卻只需把它數一次。
我們還可以從另一個角度看以上的分析，從而找出一條「公式」以概括以上的推理。上述討論其實就等同於，
首先找出在1至100的數之間，有多少個數含有5作為因子，應該共有100 / 5 = 20個。這20個數會為我們的結果
增添20個0。接著我們再找出在1至100之間，有多少個數含有25(即兩個5)作為因子，應該共有100 / 25 = 4個
。請注意這4個數已包含在剛才算出的20個數之內，所以這4個數會為我們再增添4個0。由於在1至100之間不可
能存在含有125(即三個5)作為因子的數，我們不用再計下去。因此我們所求的答案是20 + 4 = 24。總結一下，
我們所求的「公式」就是100/5 + 100/25 = 24。
可是，我們還有遺漏嗎？只要我們想一想「九因歌」(即乘法表)，應能發現只有在5乘以一個偶數的情況下才會
產生10的倍數。除此以外，再沒有其他可能。所以以上的推理應該沒有遺漏了。
接著我們可以把以上推理推廣至一般情況。設有一個正整數n，我們要求n!的末尾有多少個連續的零。但在進行
討論之前，我們先引入一個「floor函數」。任給一個實數x，floor(x)就是少於x的最大整數(註1)。依照以上
分析，我們首先求1至n之間，有多少個數含有5作為因子，應該共有floor(n/5)個(註2)，這些數會為我們增添
floor(n/5)個零。接著我們求1至n之間，有多少個數含有52作為因子，應該共有floor(n/52
)個。由於這些數已包含在先前的n/5個數中，因此這些數會為我們再增添floor(n/52)個零
。接著我們再求1至n之間，有多少個數含有53作為因子，應該共有反floor(n/53)個，
這些數會為我們再增添floor(n/53)個零.....如此類推。因此，我們得到以下「公式」：
可是這條「公式」沒有說清楚要加到哪一項為止。為了使我們的公式更清晰，我們作出以下推理。由於任何整 數的因數都必定小於或等於該數，上述公式只會加到floor(n/5k)項，使得5k <= n。 接著讓我們從這一不等式求出k的值，我們在等號兩邊同時進行對數運算(註3)：
我們可以取k = floor(log(n)/log(5))，因此我們的公式便成為：
現在我們可以運用上述公式來計算1013!的末尾有多少個連續的零了。由於floor(log(1013)/log(5)) = floor(4.3) = 4，我們把k = 4代入上式，得
即1013!的末尾共有251個連續的零。
可是我們還有一個問題未解決。上述公式能成立(註4)的一個先決條件是，在1至n這些數中有足夠的偶數「分配
」給各個含有5作為因子的數，使它們能「配對」相乘得出10的倍數。而且如果某一整數含有k個5作為因子，它
便必須與一個含有(至少)k個2作為因子的偶數相乘，才能使以上公式成立。因此我們還必須證明，在1至n這些
數中，的確有「足夠」的偶數使上式成立。這一點是容易證明的，我們可以把n!這個連乘積看成為質因數的連
乘積(註5)。那麼我們便可把這個問題看成，在n!的質因數分解中，5的冪次是否小於或等於2的冪次？因為如果
5的冪次小於或等於2的冪次，那麼便有足夠的2與各個5「配對」了。如何求5的冪次和2的冪次呢？5的冪次其實
就是n!中所含5這個因子的次數，這正是上面公式(A)所求的數。至於2的冪次，其計算原理跟5的冪次的計算原
理完全相同，因此我們可以容易得出求2的冪次的公式如下：
比較公式(A)和(B)，我們容易看到，由於2 < 5，所以n/2 > n/5以及log(n)/log(2) > log(n)/log(5)，因此公
式(A)的結果必然小於(B)的結果。由此便可證明公式(A)的確是我們所要求的公式。
筆者之所以費這麼大力氣去證明以上這個頗為明顯的事實，是因為假如我們不是求n!，而是求一個更一般的(不
包含0的)整數集的連乘積的末尾有多少個連續的零，那麼我們便必須小心考慮是否有足夠的2去和5「配對」(註
6)。以下我用一個簡單的例子去說明這個問題。
假設我們要求3 x 4 x 5 x 30 x 75這個數的末尾有多少個零。在進行質因數分解後，我們得出這個連乘積含有
3個2以及5個5作為因子(寫成算式就是3 x 4 x 5 x 30 x 75 = m x 23 x 55，其中m為
一個整數)。由此我們看到這個連乘積雖然含有5個5，可是卻只有3個2「分配」給其中3個5，因此3 x 4 x 5 x
30 x 75的末尾只含有3個零而非5個零(請讀者自行用計算機驗證)。由此我們得出一個更一般情況的解：
| 任給一個不包含0的整數集，假如我們要求這個集中各整數的連乘積的末尾有多少個連續的零，我們只需求各個 整數的質因數分解中2的冪次以及5的冪次，把這兩種冪次加起來比較其大小，較小的數字就是我們要求的答案 。 |