INTRODUÇÃO: GÊNESE
DO CONCEITO
A idéia que originou os Polígonos
canônicos (PCs) surgiu informalmente ao traçar
figuras sobre papel quadriculado. Despertou interesse especial uma certa
classe de polígonos, cujos lados seguiam as linhas ou as diagonais
das quadrículas. Adotando-se a restrição de que cada
lado não deveria abranger mais de uma quadrícula, ortogonal
ou diagonal, chegou-se ao conceito do polígono canônico --
canônico
por ser construído de acordo com regras bem definidas, que o limitam
na extensão, na forma e no número.
Um modo alternativo de conceituar o PC
é através do traçado de uma poligonal fechada entre
os pontos de interseção das quadrículas, sempre de
um ponto até um dos 8 que lhe são adjacentes nas direções
ortogonais ou diagonais, e mudando obrigatoriamente de direção
a cada segmento.
Em janeiro de 1977, bem no início
da atividade de geometria combinatória experimental que os criou,
descobriu-se que existem apenas 8 PCs convexos -- um fato intuitivamente
óbvio, uma vez que se tenha as suas representações
gráficas, mas que resta ser demonstrado formalmente.
DEFINIÇÃO FORMAL
Polígono canônico
é um polígono cujos lados são segmentos proporcionais
a 1 (em duas direções perpendiculares entre si) e à
raiz de 2 (em duas direções também perpendiculares
entre si e formando ângulos iguais a 1/2 reto com as anteriores)
e cujos ângulos internos são todos da forma k/2 retos,
onde k = 1, 2, 3, 5, 6 ou 7. Excluem-se os casos de lados cruzados
ou vértices múltiplos.
DEFINIÇÃO INFORMAL
PC é um polígono que possa
ser traçado sobre um retículo quadrado plano, de tal forma
que cada um dos seus lados seja lado ou diagonal de um dos quadrados do
retículo; isto exclui, como lados do PC, segmentos que incluam mais
de um lado ou diagonal desses quadrados. Vale a exclusão de lados
cruzados ou vértices múltiplos.
IDENTIDADE ENTRE POLÍGONOS CANÔNICOS
Considera-se que rotações,
translações ou reflexões no plano, mantidas as coincidências
(implicadas pela definição) entre os lados e vértices
do PC e aqueles do retículo, não produzem um PC diferente
do inicial.
TERMINOLOGIA
Os lados curtos e longos dos PCs (de comprimentos
proporcionais a 1 e à raiz de 2) denominam-se respectivamente lados
ortogonais
e diagonais.
Quando dois PCs apresentam ângulos
internos na mesma seqüência, com os lados o e d
intercambiados entre si, diz-se que um é dual do outro. Se
essa transformação gerar o mesmo PC, diz-se que ele é
auto-dual.
PROPRIEDADES
Definem-se a seguir algumas propriedades
mórficas,
dependentes apenas da forma do PC, e métricas, que envolvem
medidas; estas últimas têm necessariamente ligação
com a forma, podendo por isso ser denominadas de morfo-métricas.
Os símbolos que acompanham os nomes das propriedades referem-se
à tabela do Catálogo de Polígonos Canônicos,
onde n designa o número de lados do PC e Nº o
seu número de ordem entre os de n lados.
Propriedades Mórficas:
* Fórmula de Ângulos Internos
(FA): Enumeração ordenada dos ângulos internos
do PC, expressos como múltiplos de pi/4, iniciando pelo maior e
no sentido que resulta na expressão numérica mais alta. É
seguida da(s) letra(s) o (e/)ou
d, conforme o segmento seguinte
ao maior ângulo interno, no sentido acima definido, seja ortogonal
(e/)ou diagonal.
É útil na descrição
de um PC (sem representação gráfica) e na construção
dos PCs de um determinado
n, para evitar duplicidades.
* Fórmula Direcional (FD):
Seqüência de quatro inteiros que representam, em ordem:
- o número de lados do PC na direção
ortogonal mais freqüente;
- o número de lados do PC na direção
ortogonal menos freqüente;
- o número de lados do PC na direção
diagonal mais freqüente;
- o número de lados do PC na direção
diagonal menos freqüente.
* Dualidade (Du): +, - ou
A
conforme o PC seja dual do seguinte, do anterior, ou auto-dual.
* Simetria (Sm): Ay,
se o PC tiver y eixos de simetria (axial); C, se tiver apenas
centro de simetria (central).
* Número de Concavidades (K):
Concavidade é cada um dos polígonos compreendidos entre o
PC e o polígono convexo de área mínima que o circunscreve
(seu envoltório convexo).
Propriedades (Morfo-)Métricas:
* Área (A): Expressa
em múltiplos da área do quadrado fundamental do retículo.
* Perímetro (P):
Expresso em múltiplos do lado do quadrado fundamental do retículo.
* Diâmetro (D): Distância
máxima entre vértices do PC.
* Relação Área/Diâmetro
(A/D): Quociente entre A e D, nas
unidades acima.
* Relação Perímetro/Diâmetro
(P/D): Quociente entre P e D, nas
unidades acima.
* Convexidade (C): Razão
entre a área do PC e a do seu envoltório convexo.
* Fração Quadrática
(f): Fração da área do PC constituída
de quadrados do retículo.
Um valor menor de f denota um PC
mais "filiforme".
CONSTRUÇÃO
Foram objetos de trabalho duas abordagens
que visam a construção de todos os PCs com um determinado
número de lados n:
* Construção por Segmentos:
Busca construir todas as poligonais fechadas -- com as restrições
canônicas -- com n segmentos(#).
* Construção Recursiva:
Constrói PCs de
n lados a partir dos de n-1 lados,
acrescentando-lhes ou subtraindo-lhes triângulos canônicos
convenientemente situados.
TEOREMA A DEMONSTRAR
* É possível construir todos
os PCs de n lados a partir dos de n-1 lados pelo processo
recursivo, para todo n > 4.
CATÁLOGO
O Catálogo de Polígonos
Canônicos contém:
* Uma tabela
que demonstra as propriedades mórficas e (morfo-)métricas
dos PCs (até n = 9) ordenados pela FA;
* A representação
gráfica (até n = 9) normalizada (o sentido de
rotação, considerando os ângulos na seqüência
da FA, é horário; o primeiro lado do
primeiro ângulo tem sentido leste ou nordeste), com
indicação de:
* eixos e centros de
simetria;
* dualidade.
(#) Quandtet al. -- Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis / SC / Brasil
Vide também: Eric
Weisstein's World of Mathematics
Correspondência
sobre PCs